Partiel de probabilités discrètes : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « partiel de probabilités discrètes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce partiel de trois heures couvre les probabilités discrètes du semestre 3 de L2 ; il se prépare à la fin du semestre, une fois les couples de variables étudiés. Les questions de cours portent sur l’indépendance d’événements et de variables. Ensuite, des lancers répétés font appel à la continuité monotone et à la formule de Bayes. Vous exploiterez aussi un tableau de loi conjointe, puis une fonction génératrice qui identifie la loi des clients acheteurs. Enfin, le problème suit deux guichets dont les durées de service sont géométriques : minimum de deux variables, conditionnement et loi des grands nombres. Aucune variable à densité n’intervient.
Ce qu’évalue le contrôle : partiel de probabilités discrètes
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Probabilités sur un univers dénombrable et Lois discrètes, espérance et variance et Couples de variables, indépendance et grands nombres (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer des propriétés de l’indépendance et construire un couple non corrélé mais dépendant
- Utiliser la continuité monotone, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes sur des lancers répétés
- Exploiter une loi conjointe : marginales, covariance, variance d’une somme et loi conditionnelle
- Identifier une loi grâce à sa fonction génératrice
- Étudier le minimum de deux durées géométriques puis appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Avant de commencer le devoir
Commencez par les questions de cours, car leurs résultats resservent ensuite dans le problème. Pour chaque espérance, justifiez d’abord son existence, puis nommez le théorème utilisé (linéarité, transfert ou indépendance). Avec une variable géométrique, passez de préférence par la queue de loi \(P(X > k)\) : les calculs deviennent alors très courts. Enfin, contrôlez chaque loi trouvée en vérifiant que la somme des probabilités vaut 1.
Le sujet du contrôle : partiel de probabilités discrètes
Exercice 1 – Questions de cours sur l’indépendance (3 points)
Toutes les variables considérées sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).
- Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants. Démontrer que \(A\) et \(\overline{B}\) sont encore indépendants.
- Soient \(X\) et \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans des ensembles finis. Prouver que \(E(XY) = E(X)\,E(Y)\), puis en déduire que \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\).
- Soit \(X\) une variable de loi uniforme sur \(\{-2, -1, 1, 2\}\), et \(Y = |X|\). Calculer \(\mathrm{Cov}(X, Y)\), puis montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes. Quelle réciproque ce calcul met-il en défaut ?
Exercice 2 – Une pièce choisie au hasard (4 points)
Noémie possède une pièce truquée \(Q\) qui donne pile avec la probabilité \(\frac{1}{3}\). Elle la lance indéfiniment, les lancers étant indépendants, et note \(T\) le rang du premier pile.
- Pour \(n \geq 1\), on note \(A_n\) l’événement « aucun pile lors des \(n\) premiers lancers ». Calculer \(P(A_n)\), puis montrer par continuité monotone que la probabilité de ne jamais obtenir pile est nulle.
- Reconnaître ensuite la loi de \(T\), puis donner son espérance et sa variance.
- Calculer alors la probabilité que \(T\) soit pair.
Dans la dernière question, Noémie choisit d’abord au hasard, avec la même probabilité, la pièce \(Q\) ou une pièce équilibrée \(E\), puis elle lance la pièce choisie jusqu’au premier pile. L’arbre partiel ci-dessous décrit les deux premiers lancers ; on y note \(P_k\) et \(F_k\) les événements « pile » et « face » au \(k\)-ième lancer.
- Compléter les probabilités manquantes de l’arbre. Sachant que le premier pile est apparu au deuxième lancer, quelle est la probabilité que Noémie ait choisi la pièce truquée ?
Exercice 3 – Un tableau de loi conjointe (4 points)
Un couple \((X, Y)\) de variables aléatoires a la loi conjointe suivante, où chaque case donne \(P(X = i, Y = j)\).
| \(i = 0\) | \(i = 1\) | \(i = 2\) | |
| \(j = 0\) | \(\frac{2}{12}\) | \(\frac{3}{12}\) | \(\frac{1}{12}\) |
| \(j = 1\) | \(\frac{1}{12}\) | \(\frac{2}{12}\) | \(\frac{3}{12}\) |
- Déterminer d’abord les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
- Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles donc indépendantes ?
- Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\) et \(E(XY)\), puis la covariance \(\mathrm{Cov}(X, Y)\).
- En déduire la variance de \(X + Y\).
- Donner enfin la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X = 2\).
Exercice 4 – Clients et acheteurs : un amincissement de Poisson (3 points)
Le nombre \(X\) de clients qui entrent dans une librairie en une heure suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda > 0\). Chaque client achète un livre avec la probabilité \(p \in ]0, 1[\), indépendamment des autres. On note \(A\) le nombre d’acheteurs ; ainsi, sachant \(X = n\), la variable \(A\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\).
- Calculer la fonction génératrice \(G_X(t) = E\left(t^X\right)\) pour tout réel \(t\).
- Avec la formule des probabilités totales, montrer que \(G_A(t) = G_X(1 – p + pt)\) pour tout \(t \in [-1, 1]\).
- En déduire la loi de \(A\).
- On prend \(\lambda = 6\) et \(p = \frac{1}{3}\). Donner le nombre moyen d’acheteurs par heure, puis la probabilité qu’aucun livre ne soit vendu en une heure.
Exercice 5 – Problème : deux guichets et un client en attente (6 points)
Un bureau de poste ouvre deux guichets à l’instant 0. Le client \(A\) se présente alors au guichet 1 et le client \(B\) au guichet 2. Leurs durées de service \(S\) et \(T\), en minutes, sont indépendantes et suivent la loi géométrique de paramètre \(p \in ]0, 1[\). Un troisième client \(C\) arrive aussi à l’instant 0 : il attend que le premier guichet se libère, puis il est servi pendant une durée \(U\), de même loi géométrique, indépendante de \((S, T)\). On pose \(M = \min(S, T)\) et l’on note \(q = 1 – p\).
La figure illustre par exemple le cas où \(S = 2\) et \(T = 4\).
- Pour tout entier \(k \geq 0\), montrer que \(P(S > k) = q^k\).
- Calculer \(P(M > k)\), puis en déduire que \(M\) suit la loi géométrique de paramètre \(r = p(2 – p)\). Donner \(E(M)\) et \(V(M)\) lorsque \(p = \frac{1}{2}\).
- Calculer \(P(S = T)\), puis \(P(S < T)\) à l’aide d’un argument de symétrie.
- Le temps total passé au bureau par \(C\) est \(D = M + U\). Lorsque \(p = \frac{1}{2}\), calculer \(E(D)\) et \(V(D)\).
- Montrer que, pour tout \(k \geq 1\), \(P(M = k, S \leq T) = P(M = k)\,P(S \leq T)\). Interpréter ce résultat pour le client \(C\).
- On observe ce bureau pendant \(n\) jours indépendants, toujours avec \(p = \frac{1}{2}\), et l’on note \(\overline{M}_n\) la moyenne des \(n\) valeurs de \(M\). Avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, trouver un entier \(n\) tel que \(P\left(\left|\overline{M}_n – \frac{4}{3}\right| \geq \frac{1}{3}\right) \leq 0{,}05\). Quel théorème décrit le comportement de \(\overline{M}_n\) quand \(n\) tend vers l’infini ?
Réviser partiel de probabilités discrètes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours probabilités sur un univers dénombrable puis lois discrètes, espérance et variance puis couples de variables, indépendance et grands nombres ; entraînez-vous sur les exercices probabilités sur un univers dénombrable et lois discrètes, espérance et variance et couples de variables, indépendance et grands nombres avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «partiel de probabilités discrètes : contrôle de maths en L2» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
