Réduction de Gauss et signature : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « réduction de Gauss et signature », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place à la fin du chapitre sur les formes quadratiques, au semestre 4. D’abord, vous écrirez la matrice et la forme polaire d’une forme de trois variables. Ensuite, la réduction de Gauss de cette même forme donne son rang, sa signature, son noyau et son cône isotrope, que la figure montre dans un plan. Le troisième exercice traite une forme sans aucun terme carré, tandis que le quatrième discute la signature selon un paramètre. Enfin, le problème réduit une conique en base orthonormée : vous devrez la tracer. La calculatrice est interdite, mais toutes les valeurs propres sont entières.
Ce qu’évalue le contrôle : réduction de Gauss et signature
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Formes quadratiques, Sylvester et coniques (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Écrire la matrice et la forme polaire d’une forme quadratique
- Réduire une forme quadratique par la méthode de Gauss, avec ou sans terme carré
- Déterminer le rang, la signature, le noyau et le cône isotrope d’une forme quadratique
- Discuter la signature d’une famille de formes selon un paramètre réel
- Réduire une conique en base orthonormée, puis la tracer avec ses axes
Avant de commencer le devoir
Après chaque réduction de Gauss, développez votre résultat pour retrouver la forme de départ : cette vérification prend une minute et sauve tout l’exercice. Contrôlez aussi que les formes linéaires obtenues sont linéairement indépendantes, car sinon la signature lue serait fausse. De plus, quand aucun carré n’apparaît, factorisez d’abord un produit de deux formes. Enfin, dans le problème, vérifiez vos vecteurs propres en calculant le produit par la matrice, puis placez les sommets avant de tracer.
Le sujet du contrôle : réduction de Gauss et signature
Exercice 1 – Matrice et forme polaire (3 points)
Dans \(\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique, on considère la forme quadratique définie par :
\[q(x, y, z) = x^2 + 3y^2 – z^2 + 4xy – 2yz.\]
- Écrire d’abord la matrice symétrique \(A\) de \(q\) dans la base canonique.
- Donner l’expression de la forme polaire \(\varphi\) de \(q\) en fonction des coordonnées de \(u = (x, y, z)\) et \(u^{\prime} = (x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})\).
- Calculer \(q(1, -1, 1)\) et \(q(1, 0, 1)\). Le vecteur \(w = (1, 0, 1)\) appartient-il au noyau de \(q\) ? Justifier.
Exercice 2 – Un cône isotrope formé de deux plans (4,5 points)
On reprend la forme quadratique \(q\) de l’exercice 1. La figure représente, dans le plan d’équation \(z = 1\) rapporté aux coordonnées \((x, y)\), deux droites \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) ainsi que quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) à coordonnées entières.
- Effectuer la réduction de Gauss de \(q\) et vérifier le résultat en développant.
- En déduire le rang et la signature de \(q\). La forme est-elle non dégénérée ?
- Déterminer ensuite une base du noyau de \(q\).
- Montrer que le cône isotrope de \(q\) est la réunion de deux plans, dont on donnera des équations. Expliquer alors la figure : pourquoi les deux droites se coupent-elles en \(D\) ?
Exercice 3 – Une forme sans terme carré (3,5 points)
Sur \(\mathbb{R}^3\), on étudie la forme quadratique \(Q(x, y, z) = xy – xz + 3yz\).
- Écrire la matrice de \(Q\) dans la base canonique, puis remarquer que sa diagonale est nulle.
- Vérifier que \(Q(x, y, z) = (x + 3z)(y – z) + 3z^2\).
- En utilisant l’identité \(4uv = (u + v)^2 – (u – v)^2\), écrire \(Q\) comme combinaison de trois carrés de formes linéaires, puis prouver que ces formes sont linéairement indépendantes.
- Donner le rang et la signature de \(Q\). Existe-t-il un vecteur non nul \(v\) tel que \(Q(v) = 0\) ?
Exercice 4 – Signature selon un paramètre (3 points)
Pour tout réel \(a\), on pose \(q_a(x, y) = x^2 + 2axy + 4y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). La figure montre les courbes d’équation \(q_a(x, y) = 4\) pour trois valeurs de \(a\) prises parmi 1, 2 et 3, dans le désordre.
- Réduire tout d’abord \(q_a\) par la méthode de Gauss.
- Discuter, selon les valeurs de \(a\), le rang et la signature de \(q_a\). Pour quelles valeurs est-elle définie positive ?
- Associer chacune des courbes (I), (II) et (III) à sa valeur de \(a\), en justifiant à l’aide de la signature.
Exercice 5 – Problème : une ellipse inclinée (6 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère alors la forme quadratique \(f(x, y) = 6x^2 – 4xy + 3y^2\) et la courbe \(\Gamma\) d’équation \(f(x, y) = 14\).
- Réduire \(f\) par la méthode de Gauss. En déduire sa signature, puis justifier que \(f\) est définie positive.
- Écrire la matrice \(M\) de \(f\), calculer ses valeurs propres et déterminer une base orthonormée \((u_1, u_2)\) de vecteurs propres.
- On note \((X, Y)\) les coordonnées dans la base \((u_1, u_2)\). Donner l’équation de \(\Gamma\) dans ces coordonnées, puis préciser sa nature et ses demi-axes.
- Calculer les coordonnées des quatre sommets de \(\Gamma\) dans le repère initial. Tracer ensuite \(\Gamma\) avec ses deux axes de symétrie.
- En déduire la plus petite et la plus grande distance entre l’origine et un point de \(\Gamma\).
Réviser réduction de Gauss et signature avant le contrôle
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