Groupes et théorème de Lagrange en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Lois de groupe ou non

Dire, en justifiant, si chacun des ensembles suivants est un groupe pour la loi indiquée.

1. \(\mathbb{Q}^{*}\) muni de \(x \star y = \frac{xy}{2}\).
2. L’ensemble des entiers impairs muni de l’addition.
3. \(\mathbb{R}\) muni de \(x \star y = x + y – xy\).
4. \(\{1, -1, \mathrm{i}, -\mathrm{i}\}\) muni de la multiplication des complexes.

Exercice 2 – Un sous-groupe de matrices affines

Pour \(a > 0\) et \(b \in \mathbb{R}\), on note \(A(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), et \(\mathcal{A}\) l’ensemble de ces matrices.

1. Calculer \(A(a,b)\,A(c,d)\) et l’inverse de \(A(a,b)\).
2. En déduire que \(\mathcal{A}\) est un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\).
3. Le groupe \(\mathcal{A}\) est-il abélien ?

Exercice 3 – Ordres dans Z/24Z

1. Déterminer l’ordre des classes de 9, 10, 15 et 16 dans \(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\).
2. Donner la liste des générateurs de \(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\).
3. Déterminer les éléments d’ordre 8.

Exercice 4 – Décomposer une permutation de S8

On considère la permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}_8\) définie par

\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 8 & 3 & 1 & 4 & 7 & 2 & 6 \end{pmatrix}.\]

1. Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
2. En déduire l’ordre de \(\sigma\) et sa réciproque \(\sigma^{-1}\).
3. Calculer \(\sigma^{2030}\).

Exercice 5 – Ce que permet le théorème de Lagrange

Soit \(G\) un groupe d’ordre 35.

1. Quels sont les ordres possibles d’un sous-groupe de \(G\) ? d’un élément de \(G\) ?
2. On suppose que \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes d’ordres 5 et 7. Déterminer \(H \cap K\).
3. Montrer qu’un groupe d’ordre 13 est cyclique, et dénombrer ses générateurs.

Exercice 6 – Deux morphismes vers les complexes

1. Montrer que \(f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{C}^{*}, \times)\), \(k \mapsto \mathrm{i}^k\), est un morphisme. Déterminer son noyau et son image.
2. Montrer que \(g : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^{*}, \times)\), \(t \mapsto \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi t}\), est un morphisme. Déterminer son noyau et son image.
3. Déterminer l’ordre de \(g\big(\frac{5}{6}\big)\) dans \(\mathbb{C}^{*}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Somme et intersection de sous-groupes de Z

1. Montrer que \(84\mathbb{Z} + 120\mathbb{Z} = \{84u + 120v \mid u, v \in \mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\).
2. Déterminer l’entier \(d \geqslant 0\) tel que \(84\mathbb{Z} + 120\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}\), et trouver \(u, v\) tels que \(84u + 120v = d\).
3. Déterminer l’entier \(m \geqslant 0\) tel que \(84\mathbb{Z} \cap 120\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}\).

Exercice 8 – Une loi transportée par le cube

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \oplus y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}\), où \(\sqrt[3]{\ }\) désigne la racine cubique réelle.

1. Montrer que \(c : x \mapsto x^3\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie \(c(x \oplus y) = c(x) + c(y)\).
2. En déduire que \((\mathbb{R}, \oplus)\) est un groupe abélien, et préciser son neutre et le symétrique de \(x\).
3. Calculer \(2 \oplus (-1)\) et \(1 \oplus 1 \oplus 1\).

Exercice 9 – Sous-groupes des racines douzièmes de l’unité

1. Montrer que \(\mathbb{U}_d \subset \mathbb{U}_n\) si et seulement si \(d\) divise \(n\).
2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\mathbb{U}_n\) de cardinal \(d\). Montrer que \(H = \mathbb{U}_d\).
3. En déduire la liste des sous-groupes de \(\mathbb{U}_{12}\) et leurs inclusions, puis les générateurs de \(\mathbb{U}_{12}\).

Exercice 10 – Ordre d’un produit

Soit \(G\) un groupe, et \(a, b \in G\) d’ordres finis \(m\) et \(n\).

1. Montrer que \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\}\) lorsque \(m\) et \(n\) sont premiers entre eux.
2. On suppose \(ab = ba\) et \(\mathrm{pgcd}(m,n) = 1\). Montrer que \(ab\) est d’ordre \(mn\).
3. Dans \(\mathfrak{S}_3\), calculer \((1\ 2)(1\ 2\ 3)\) et comparer son ordre au produit des ordres de \((1\ 2)\) et de \((1\ 2\ 3)\). Quelle hypothèse de la question 2 fait défaut ?

Exercice 11 – Classes à gauche et à droite dans S3

Dans \(\mathfrak{S}_3\), on note \(H = \{\mathrm{id}, (1\ 3)\}\).

1. Vérifier que \(H\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_3\).
2. Déterminer les classes à gauche \(\sigma H\), puis les classes à droite \(H\sigma\).
3. Comparer \((1\ 2)H\) et \(H(1\ 2)\). Vérifier le théorème de Lagrange sur cet exemple.

Exercice 12 – Sous-groupe engendré par deux permutations de S4

On numérote les sommets d’un carré de 1 à 4 dans le sens direct. On note \(\rho = (1\ 2\ 3\ 4)\) et \(\tau = (2\ 4)\), qui correspondent au quart de tour et à la symétrie d’axe la diagonale passant par 1 et 3.

1. Déterminer l’ordre de \(\rho\) et de \(\tau\), puis vérifier que \(\tau \rho \tau = \rho^{-1}\).
2. En déduire que \(D = \langle \rho, \tau \rangle\) est égal à \(\{\rho^k, \rho^k \tau \mid 0 \leqslant k \leqslant 3\}\).
3. Montrer que \(D\) a exactement 8 éléments, et calculer son indice dans \(\mathfrak{S}_4\).

Exercice 13 – Morphismes entre groupes finis

Soit \(f : G \to G^{\prime}\) un morphisme entre deux groupes finis.

1. Montrer que \(f(x) = f(y)\) si et seulement si \(y \in x\,\mathrm{Ker}\, f\).
2. En déduire que \(|G| = |\mathrm{Ker}\, f| \times |\mathrm{Im}\, f|\).
3. Montrer que tout morphisme d’un groupe d’ordre 15 vers un groupe d’ordre 8 est trivial.
4. Déterminer tous les morphismes de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\).

Exercice 14 – Éléments d’ordre donné dans un groupe cyclique

On travaille dans \(G = \mathbb{Z}/36\mathbb{Z}\).

1. Déterminer les éléments d’ordre 9, puis le nombre d’éléments d’ordre 12.
2. Soit \(H\) un sous-groupe d’ordre 9. Montrer que tout \(x \in H\) vérifie \(9x = \bar{0}\), puis que \(H = \langle \bar{4} \rangle\).
3. Plus généralement, montrer qu’un groupe cyclique d’ordre \(n\) possède exactement un sous-groupe d’ordre \(d\) pour chaque diviseur \(d\) de \(n\).

Exercice 15 – Ordres des éléments de S5

1. Dresser la liste des décompositions possibles d’une permutation de \(\mathfrak{S}_5\) en cycles disjoints, avec l’ordre correspondant.
2. Dénombrer les permutations de chaque type et vérifier que le total vaut \(5!\).
3. Combien d’éléments de \(\mathfrak{S}_5\) sont d’ordre 2 ? d’ordre 6 ? Montrer qu’aucun n’est d’ordre 10.

Pour approfondir

Exercice 16 – Éléments d’ordre 2 et groupes abéliens

Soit \(G\) un groupe fini.

1. On suppose \(|G|\) pair. En regroupant chaque élément avec son symétrique, montrer que \(G\) contient un élément d’ordre 2.
2. On suppose que \(x^2 = e\) pour tout \(x \in G\). Montrer que \(G\) est abélien.
3. Montrer sur \(\mathfrak{S}_3\) que l’hypothèse « pour tout \(x\) » de la question 2 ne peut pas être affaiblie en « pour un élément \(x \neq e\) ».

Exercice 17 – Groupes d’ordre 4

Soit \(G\) un groupe d’ordre 4.

1. Montrer que les éléments différents de \(e\) sont d’ordre 2 ou 4.
2. Si \(G\) possède un élément d’ordre 4, montrer que \(G\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\).
3. Sinon, montrer que \(G = \{e, a, b, ab\}\) et dresser sa table. En déduire que \(G\) est isomorphe au groupe des isométries d’un rectangle non carré.
4. Les deux groupes obtenus sont-ils isomorphes ?

Exercice 18 – Réunion de deux sous-groupes

Soient \(H\) et \(K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\).

1. Montrer que \(H \cup K\) est un sous-groupe si et seulement si \(H \subset K\) ou \(K \subset H\).
2. En déduire qu’un groupe n’est jamais la réunion de deux sous-groupes distincts de lui-même.
3. Montrer en revanche que le groupe des isométries d’un rectangle non carré est la réunion de trois sous-groupes distincts de lui-même.

Exercice 19 – Problème : battages parfaits d’un jeu de cartes

Un paquet de \(2n\) cartes occupe les positions \(0, 1, \dots, 2n – 1\). Un battage parfait coupe le paquet en deux moitiés égales, puis intercale exactement les cartes : celle en position \(k \leqslant n – 1\) va en position \(2k\), et celle en position \(n + j\) va en position \(2j + 1\). On note \(s \in \mathfrak{S}(\{0, \dots, 2n – 1\})\) la permutation obtenue. La figure illustre le cas \(n = 4\).

1. Pour \(n = 4\), écrire \(s\), la décomposer en cycles disjoints et donner son ordre. Combien de battages rendent l’ordre initial ?
2. Dans le cas général, montrer que \(s(2n – 1) = 2n – 1\) et que \(s(k) \equiv 2k \pmod{2n – 1}\) pour \(0 \leqslant k \leqslant 2n – 2\).
3. Montrer par récurrence que \(s^m(k) \equiv 2^m k \pmod{2n – 1}\) pour \(0 \leqslant k \leqslant 2n – 2\) et \(m \in \mathbb{N}\).
4. En déduire que \(s^m = \mathrm{id}\) si et seulement si \(2^m \equiv 1 \pmod{2n – 1}\). Que vaut l’ordre de \(s\) ?
5. Pour un jeu de 52 cartes, déterminer l’ordre de \(s\) et le cycle contenant la position 1.
6. Toujours pour 52 cartes, déterminer la longueur du cycle contenant la position 17. Expliquer pourquoi la longueur de chaque cycle divise l’ordre de \(s\).
7. Déterminer le nombre de battages qui rendent l’ordre initial d’un paquet de 10 cartes.

Pour aller plus loin

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