Calcul de rayons et de sommes : corrigé du contrôle de maths en MP

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Barème du contrôle corrigé : calcul de rayons et de sommes

Le corrigé détaillé : calcul de rayons et de sommes

Exercice 1 – Règle de d’Alembert et coefficients factoriels (4 points)

1. Preuve de la règle pour le rayon

   Fixons \(z \neq 0\) et posons \(u_n = |a_n z^n| > 0\). Alors \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |z|\), qui tend vers \(\ell |z|\).

   Si \(|z| < \frac{1}{\ell}\), cette limite est strictement inférieure à 1. Par conséquent, la règle de d’Alembert pour les séries numériques donne la convergence de \(\sum u_n\), donc la convergence absolue de \(\sum a_n z^n\). Ainsi \(R \geq \frac{1}{\ell}\).

   Si au contraire \(|z| > \frac{1}{\ell}\), la limite dépasse 1 : la suite \((u_n)\) est alors croissante à partir d’un certain rang, et elle ne tend pas vers 0. La série \(\sum a_n z^n\) diverge donc grossièrement, et \(R \leq \frac{1}{\ell}\). On conclut que \(R = \frac{1}{\ell}\).

2. Coefficients factoriels

   Notons \(c_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3\, 5^n}\), qui est non nul. On simplifie le quotient :

   \(\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3 \times 5} = \frac{3(3n+2)(3n+1)}{5(n+1)^2}\).

   En haut comme en bas, seuls les termes en \(n^2\) comptent, soit \(27n^2\) contre \(5n^2\) ; ce quotient tend vers \(\ell = \frac{27}{5}\). D’après la question 1, le rayon vaut \(R = \frac{5}{27}\).

3. Une série lacunaire

   Écrite sous la forme \(\sum c_k z^k\), cette série a des coefficients \(c_k\) nuls dès que \(k\) n’est pas multiple de 3. Le quotient \(\frac{c_{k+1}}{c_k}\) n’est donc pas défini, et la question 1 ne s’applique pas.

   On applique plutôt la règle de d’Alembert à la série numérique de terme \(v_n = \frac{n}{8^n} |z|^{3n}\), pour \(z \neq 0\). En effet, \(\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{n+1}{n} \times \frac{|z|^3}{8}\) tend vers \(\frac{|z|^3}{8}\). Il y a convergence absolue quand \(|z|^3 < 8\), soit \(|z| < 2\), et divergence grossière quand \(|z| > 2\). Le rayon vaut donc 2.

Barème : question 1 sur 1,5 point (0,75 par inégalité) ; question 2 sur 1,5 point (1 pour la simplification, 0,5 pour la limite et le rayon) ; question 3 sur 1 point (0,25 pour l’explication, 0,75 pour le rayon).

Piège classique : conclure \(R = \frac{27}{5}\) en confondant la limite du quotient avec le rayon, qui en est l’inverse.

Exercice 2 – Rayons sans quotient exploitable (4 points)

1. Un quotient qui oscille

   Pour \(n = 2p\), on a \(a_{2p} = 3^{2p} = 9^p\) ; pour \(n = 2p + 1\), on a \(a_{2p+1} = 1^{2p+1} = 1\). D’une part, \(\frac{a_{2p+1}}{a_{2p}} = 9^{-p}\) tend vers 0. D’autre part, \(\frac{a_{2p+2}}{a_{2p+1}} = 9^{p+1}\) tend vers \(+\infty\). Le quotient n’a donc pas de limite.

   Pour tout \(n\), on a cependant \(0 < a_n \leq 3^n\). Ainsi, quand \(|z| < \frac{1}{3}\), on obtient \(|a_n z^n| \leq (3|z|)^n\), terme général d’une série géométrique convergente : la série converge absolument, et \(R \geq \frac{1}{3}\).

   Quand \(|z| > \frac{1}{3}\), la sous-suite \(\left|a_{2p} z^{2p}\right| = (3|z|)^{2p}\) tend vers \(+\infty\). Les termes ne sont donc pas bornés, et \(R \leq \frac{1}{3}\). Le rayon vaut \(\frac{1}{3}\).

2. Nombre de diviseurs

   Comme 1 divise \(n\) et que tout diviseur positif de \(n\) appartient à \(\left\{1, \ldots, n\right\}\), on a \(1 \leq d(n) \leq n\). Or les séries \(\sum z^n\) et \(\sum n z^n\) ont toutes deux pour rayon 1.

   Par comparaison des rayons, la majoration \(d(n) \leq n\) donne \(R \geq 1\), tandis que la minoration \(d(n) \geq 1\) donne \(R \leq 1\). Le rayon vaut 1.

3. Effet d’un facteur polynomial et d’un carré

   Soit \(z\) tel que \(|z| < 2\), et choisissons \(r\) avec \(|z| < r < 2\). Puisque \(r < 2\), le lemme d’Abel assure que \((b_n r^n)\) est bornée, par un réel \(M\). Alors \(\left|n^5 b_n z^n\right| \leq M\, n^5 \left(\frac{|z|}{r}\right)^n\), terme d’une série convergente car \(\frac{|z|}{r} < 1\). De plus, si \(|z| > 2\), la suite \((b_n z^n)\) n’est pas bornée, et à plus forte raison \(\left(n^5 b_n z^n\right)\) non plus. Le rayon de \(\sum n^5 b_n z^n\) vaut 2.

   Pour la seconde série, posons \(w = z^2\). La série \(\sum b_n w^n\) converge absolument si \(|w| < 2\) et a des termes non bornés si \(|w| > 2\). Par suite, \(\sum b_n z^{2n}\) converge absolument quand \(|z| < \sqrt{2}\), et ses termes ne sont pas bornés quand \(|z| > \sqrt{2}\). Son rayon vaut \(\sqrt{2}\).

Barème : question 1 sur 1,5 point (0,5 pour le quotient, 1 pour le rayon) ; question 2 sur 1 point ; question 3 sur 1,5 point (0,75 par rayon).

Piège classique : annoncer que le rayon de \(\sum b_n z^{2n}\) vaut 4, alors que la condition porte sur \(|z|^2\), et non sur \(|z|\).

Exercice 3 – Sommes par dérivation et intégration (5 points)

1. Deux dérivations successives

   Le quotient \(\frac{(n+1)^2}{n^2}\) tend vers 1, donc le rayon vaut 1 d’après la règle de d’Alembert. Pour \(x \in \left] -1, 1 \right[\), on part de \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\).

   Une série entière se dérive terme à terme sur son intervalle ouvert de convergence, sans changer de rayon. On obtient ainsi \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\), puis, en multipliant par \(x\), \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\).

   Dérivons encore : \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}\). Après multiplication par \(x\), \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\) pour \(|x| < 1\).

   Enfin, \(\frac{1}{3}\) appartient à l’intervalle ouvert, d’où \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{4}{9} \times \frac{27}{8}\). Cette somme vaut \(\frac{3}{2}\). On contrôle avec les premiers termes : \(\frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{9}{27} \approx 1{,}11\), ce qui reste inférieur à \(1{,}5\).

2. Rayon et convergence normale

   Le quotient \(\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\) tend vers 1, donc le rayon vaut 1. Pour \(x \in \left[ -1, 1 \right]\), on a de plus \(\left| \frac{x^n}{n(n+2)} \right| \leq \frac{1}{n(n+2)} \leq \frac{1}{n^2}\), majorant indépendant de \(x\) et sommable : on a bien une convergence normale sur tout le segment \(\left[ -1, 1 \right]\).

   Les fonctions \(x \mapsto \frac{x^n}{n(n+2)}\) sont polynomiales, donc continues. Une limite uniforme de fonctions continues étant continue, \(f\) est définie et continue sur \(\left[ -1, 1 \right]\), bornes comprises.

3. Décomposition et logarithme

   On vérifie que \(\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right)\), car \((n+2) – n = 2\). Par ailleurs, l’intégration terme à terme de \(\sum t^n\) sur \(\left[ 0, x \right]\) donne \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\) pour \(|x| < 1\).

   Pour \(x \neq 0\), on décale l’indice : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+2} = \frac{1}{x^2} \sum_{m=3}^{+\infty} \frac{x^m}{m} = \frac{1}{x^2}\left( -\ln(1-x) – x – \frac{x^2}{2} \right)\).

   Les deux séries convergent, donc on peut les soustraire. Après regroupement des logarithmes, on obtient, pour \(x \in \left] -1, 1 \right[\) non nul :

   \(f(x) = \frac{(1 – x^2) \ln(1-x)}{2x^2} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{4}\).

4. Valeurs aux deux bords

   Grâce à la continuité de \(f\) sur \(\left[ -1, 1 \right]\), on a \(f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x)\). Or \((1 – x^2) \ln(1-x) = (1+x) \times (1-x)\ln(1-x)\) tend vers 0 par croissances comparées. Donc \(f(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Ce résultat confirme le calcul direct par télescopage : \(\sum \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right)\).

   En \(-1\), l’expression trouvée est continue, et son premier terme s’annule car \(1 – (-1)^2 = 0\). Ainsi \(f(-1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\). Sur la figure, la courbe de \(S_{12}\) atteint environ \(0{,}68\) en 1 et \(-0{,}25\) en \(-1\) : la convergence, plus lente en 1, reste donc cohérente avec ces valeurs.

   

Barème : question 1 sur 2 points (0,25 pour le rayon, 1,25 pour la somme, 0,5 pour la valeur numérique) ; question 2 sur 1 point ; question 3 sur 1,25 point (0,25 pour la décomposition, 1 pour l’expression) ; question 4 sur 0,75 point.

Piège classique : remplacer directement \(x\) par 1 dans la formule logarithmique, qui n’est valable que sur l’intervalle ouvert ; seule la continuité de \(f\) autorise le passage à la limite.

Exercice 4 – Problème : une suite récurrente et sa série (7 points)

1. Majoration géométrique

   Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P(n)\) la propriété « \(0 < a_n \leq 3^n\) et \(0 < a_{n+1} \leq 3^{n+1}\) ». D’abord, \(P(0)\) est vraie, car \(a_0 = 1 \leq 1\) et \(a_1 = 1 \leq 3\).

   Supposons ensuite \(P(n)\) vraie. Alors \(a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n > 0\) comme somme de réels strictement positifs. De plus, \(a_{n+2} \leq 3^{n+1} + 6 \times 3^n = 9 \times 3^n = 3^{n+2}\). Ainsi \(P(n+1)\) est vraie, et la récurrence est établie.

   Quand \(|z| < \frac{1}{3}\), on a donc \(|a_n z^n| \leq (3|z|)^n\), terme d’une série géométrique convergente. La série converge absolument sur ce disque, d’où \(R \geq \frac{1}{3}\).

2. Équation satisfaite par la somme

   Soit \(|z| < \frac{1}{3}\). Les trois séries \(\sum a_n z^n\), \(\sum a_n z^{n+1}\) et \(\sum 6a_n z^{n+2}\) convergent, car elles valent \(S(z)\), \(z S(z)\) et \(6z^2 S(z)\). Après décalage des indices, on peut alors les combiner terme à terme :

   \(\left(1 – z – 6z^2\right) S(z) = a_0 + (a_1 – a_0) z + \sum_{n=2}^{+\infty} \left(a_n – a_{n-1} – 6a_{n-2}\right) z^n\).

   Or chaque coefficient de la somme est nul d’après la relation de récurrence, et \(a_1 – a_0 = 0\). Il reste \(\left(1 – z – 6z^2\right) S(z) = a_0 = 1\).

3. Éléments simples et terme général

   On vérifie que \((1 – 3z)(1 + 2z) = 1 + 2z – 3z – 6z^2 = 1 – z – 6z^2\). Ce polynôme ne s’annule qu’en \(\frac{1}{3}\) et \(-\frac{1}{2}\), les deux points orange de la figure ; il ne s’annule donc pas sur le disque \(|z| < \frac{1}{3}\), où l’on peut diviser.

   Cherchons \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\frac{1}{(1-3z)(1+2z)} = \frac{\alpha}{1-3z} + \frac{\beta}{1+2z}\). En multipliant par \(1 – 3z\) puis en évaluant en \(\frac{1}{3}\), on trouve \(\alpha = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5}\). De même, l’évaluation en \(-\frac{1}{2}\) donne \(\beta = \frac{1}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{2}{5}\).

   Pour \(|z| < \frac{1}{3}\), on a aussi \(|3z| < 1\) et \(|2z| < 1\), donc \(S(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{3}{5} \times 3^n + \frac{2}{5} \times (-2)^n \right) z^n\). Deux séries entières égales sur un disque non réduit à 0 ont les mêmes coefficients. Par conséquent, \(a_n = \frac{3^{n+1} + (-1)^n\, 2^{n+1}}{5}\). On contrôle : \(a_2 = \frac{27 + 8}{5} = 7\) et \(a_3 = \frac{81 – 16}{5} = 13\).

4. Rayon exact et cercle frontière

   D’après la formule, \(\frac{a_n}{3^n} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5}\left(-\frac{2}{3}\right)^n\), qui tend vers \(\frac{3}{5}\). Pour \(|z| = \frac{1}{3}\), on a donc \(|a_n z^n| = \frac{a_n}{3^n} \to \frac{3}{5} \neq 0\).

   

   Puisque ses termes restent loin de 0, la série diverge grossièrement en tout point du cercle \(|z| = \frac{1}{3}\). Elle ne converge donc pas sur un disque de rayon strictement plus grand. Avec la question 1, on conclut que \(R = \frac{1}{3}\).

5. Deux sommes numériques en un cinquième

   Le point \(\frac{1}{5}\) vérifie \(\frac{1}{5} < \frac{1}{3}\) : il est bien dans le disque de convergence. Comme \(1 – \frac{1}{5} – \frac{6}{25} = \frac{14}{25}\), on obtient \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{5^n} = S\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{25}{14}\).

   Sur \(\left] -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right[\), la fonction \(S(x) = \frac{1}{1 – x – 6x^2}\) se dérive terme à terme : \(S^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = \frac{1 + 12x}{\left(1 – x – 6x^2\right)^2}\). Ensuite, \(\sum_{n=0}^{+\infty} n a_n x^n = x S^{\prime}(x)\).

   En \(x = \frac{1}{5}\), on a \(1 + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}\) et \(\left(\frac{14}{25}\right)^2 = \frac{196}{625}\). Il vient alors \(\frac{1}{5} \times \frac{17}{5} \times \frac{625}{196} = \frac{17 \times 25}{196}\). Finalement, \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n\, a_n}{5^n} = \frac{425}{196}\).

Barème : question 1 sur 1,5 point (1 pour la récurrence, 0,5 pour le rayon) ; question 2 sur 1,5 point ; question 3 sur 1,5 point (0,5 pour la décomposition, 0,75 pour le développement, 0,25 pour l’unicité) ; question 4 sur 1 point ; question 5 sur 1,5 point (0,5 puis 1).

Piège classique : lire le rayon sur le pôle le plus éloigné, \(-\frac{1}{2}\) ; c’est au contraire le pôle de plus petit module, ici \(\frac{1}{3}\), qui fixe le rayon.

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