Formule des queues et covariance : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : formule des queues et covariance

Le sujet du contrôle : formule des queues et covariance

Exercice 1 – Deux formules des queues (3 points)

Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\). On rappelle que l’espérance d’une variable positive est définie dans \([0, +\infty]\), même lorsqu’elle est infinie.

1. Démontrer que \(E(X) = \sum_{n=1}^{+\infty} P(X \geq n)\), cette égalité ayant lieu dans \([0, +\infty]\). Le théorème utilisé pour intervertir deux sommes sera cité avec ses hypothèses. (1,5 point)
2. Établir de même que \(\sum_{n=1}^{+\infty} n \, P(X \geq n) = E\left(\frac{X(X+1)}{2}\right)\) dans \([0, +\infty]\). (1,5 point)

Exercice 2 – Une loi d’espérance finie sans variance (3,5 points)

Soit \(c\) un réel et \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que, pour tout entier \(n \geq 1\) :

\[P(X = n) = \frac{c}{n(n+1)(n+2)}.\]

La figure représente, pour \(n\) de 1 à 8, les probabilités \(P(X = n)\) en bleu et \(P(X \geq n)\) en orange, avec la valeur de \(c\) trouvée à la question 1.

1. Décomposer \(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) comme différence de deux termes consécutifs d’une suite simple, puis en déduire que \(c = 4\). (1 point)
2. Calculer \(P(X \geq n)\) pour tout \(n \geq 1\), et vérifier les valeurs lues sur la figure pour \(n = 1\) et \(n = 2\). (1 point)
3. Justifier que \(X\) admet une espérance, puis la calculer grâce à l’exercice 1. (0,5 point)
4. Montrer enfin que \(X\) n’admet pas de moment d’ordre 2. Que dire alors de sa variance ? (1 point)

Exercice 3 – Covariance nulle et dépendance (4 points)

Un couple \((X, Y)\) de variables aléatoires prend ses valeurs dans \(\{-1, 0, 1\} \times \{0, 1\}\). Sa loi conjointe figure dans le tableau ci-dessous ; sur la figure, l’aire de chaque disque est proportionnelle à la probabilité indiquée.

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), puis leurs espérances. (1 point)
2. Calculer \(\mathrm{Cov}(X, Y)\). Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ? (1 point)
3. Calculer \(\mathrm{Cov}(X^2, Y)\) et interpréter le signe obtenu. (1 point)
4. En déduire \(V(X + Y)\), puis \(V(X^2 + Y)\). (1 point)

Exercice 4 – Cauchy-Schwarz probabiliste (4 points)

Toutes les variables de cet exercice sont réelles, discrètes et définies sur un même espace probabilisé.

1. Soit \(X\) et \(Y\) deux variables admettant un moment d’ordre 2. Montrer d’abord que \(XY\) admet une espérance, puis que \(E(XY)^2 \leq E(X^2) \, E(Y^2)\). On étudiera la fonction \(t \mapsto E\left((X + tY)^2\right)\) sans oublier le cas où \(E(Y^2) = 0\). (1,5 point)
2. En déduire que \(|\mathrm{Cov}(X, Y)| \leq \sigma(X) \, \sigma(Y)\). Calculer ensuite le coefficient de corrélation de \(X^2\) et de \(Y\) dans l’exercice 3. (1 point)
3. Soit \(Z\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{N}\) admettant un moment d’ordre 2, avec \(E(Z) > 0\). Prouver que \(P(Z \geq 1) \geq \frac{E(Z)^2}{E(Z^2)}\), en remarquant que \(Z = Z \, \mathbf{1}_{\{Z \geq 1\}}\). Appliquer ce résultat lorsque \(Z\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda > 0\). (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : lampes allumées sur un cercle (5,5 points)

Une guirlande circulaire porte \(n\) lampes \(L_1, \ldots, L_n\), avec \(n \geq 3\). Chaque lampe s’allume indépendamment des autres avec la probabilité \(p \in \, ]0, 1[\). On note \(X_i\) l’indicatrice de l’événement « la lampe \(L_i\) est allumée », et l’on convient que \(X_{n+1} = X_1\), car \(L_n\) et \(L_1\) sont voisines.

Pour tout \(i \in [\![1, n]\!]\), on pose \(Y_i = X_i X_{i+1}\), puis \(N = Y_1 + \cdots + Y_n\). Ainsi, \(N\) compte les paires de lampes voisines toutes deux allumées. La figure montre une configuration avec \(n = 8\), où les paires comptées sont surlignées en vert.

1. Donner la loi de \(Y_i\), puis calculer \(E(N)\). (1 point)
2. Soit \(i \neq j\). Calculer \(\mathrm{Cov}(Y_i, Y_j)\) en distinguant deux cas, selon que les paires \(\{L_i, L_{i+1}\}\) et \(\{L_j, L_{j+1}\}\) ont une lampe commune ou non. (1,5 point)
3. Dénombrer les paires \(\{i, j\}\) d’indices distincts du premier cas, puis montrer que \(V(N) = n p^2 (1 – p)(1 + 3p)\). (1,5 point)
4. Comparer \(V(N)\) à la variance d’une variable de loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p^2)\), et expliquer l’écart. (0,5 point)
5. On prend \(n = 8\) et \(p = \frac{1}{2}\). Lire sur la figure la valeur observée de \(N\), puis calculer \(E(N)\), \(V(N)\) et l’écart type de \(N\). (1 point)

Réviser formule des queues et covariance avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours espérance, variance et covariance d’une variable discrète ; entraînez-vous sur les exercices espérance, variance et covariance d’une variable discrète avant de retenter le sujet.

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