Groupes quotients en L3 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Classes de Z/21Z modulo le sous-groupe engendré par 6

Dans le groupe additif \(G = \mathbb{Z}/21\mathbb{Z}\), on note \(H\) le sous-groupe engendré par \(\bar 6\).

1. Déterminer l’ordre de \(\bar 6\) et la liste des éléments de \(H\).
2. Montrer ensuite que \(H = \langle \bar 3 \rangle\).
3. Écrire toutes les classes de \(G\) modulo \(H\). En déduire l’indice \([G:H]\).
4. Enfin, identifier le groupe quotient \(G/H\).

Exercice 2 – Classes à gauche et à droite d’un stabilisateur dans S4

On note \(H = \{\tau \in S_4 \mid \tau(4) = 4\}\) et \(\sigma = (1\,4)\).

1. Justifier que \(H\) est un sous-groupe de \(S_4\) d’ordre 6.
2. Montrer d’abord que \(\sigma H = \{\tau \in S_4 \mid \tau(4) = 1\}\).
3. De même, montrer que \(H\sigma = \{\tau \in S_4 \mid \tau(1) = 4\}\).
4. Exhiber un élément de \(\sigma H\) qui n’est pas dans \(H\sigma\). Le sous-groupe \(H\) est-il distingué ?
5. Enfin, décrire les quatre classes à gauche de \(S_4\) modulo \(H\).

Exercice 3 – Signature et puissances d’une permutation de S8

Soit \(\sigma \in S_8\) définie par \(\sigma(1) = 5\), \(\sigma(2) = 7\), \(\sigma(3) = 1\), \(\sigma(4) = 4\), \(\sigma(5) = 8\), \(\sigma(6) = 6\), \(\sigma(7) = 2\) et \(\sigma(8) = 3\).

1. Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
2. Calculer l’ordre et la signature de \(\sigma\). La permutation \(\sigma\) est-elle dans \(A_8\) ?
3. Calculer ensuite \(\sigma^{2026}\).
4. Enfin, écrire \(\sigma\) comme produit de transpositions.

Exercice 4 – Calculs de mots dans le groupe diédral D5

On note \(D_5 = \langle r, s \rangle\) le groupe des isométries du pentagone régulier \(A_0A_1A_2A_3A_4\). Ici, \(r\) est la rotation d’angle \(2\pi/5\) et \(s\) la réflexion d’axe passant par \(A_0\). On a \(r^5 = s^2 = e\) et \(srs = r^{-1}\).

1. Montrer que \(r^3 s r^4 s r = e\).
2. Écrire \(s r^2 s r^3 s\) sous la forme \(r^k\) ou \(sr^k\).
3. Déterminer ensuite l’ordre de \(r^2 s\).
4. Enfin, écrire \((sr)^{-1} r^3\) sous la forme \(r^k\) ou \(sr^k\).

Exercice 5 – Matrices de déterminant positif

On note \(G = \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) et \(G^+ = \{M \in G \mid \det M > 0\}\).

1. Montrer que \(G^+\) est un sous-groupe distingué de \(G\), et que \(G/G^+\) est isomorphe à \(\{-1, 1\}\).
2. Ensuite, décrire les deux classes de \(G\) modulo \(G^+\) à l’aide de \(J = \operatorname{diag}(-1, 1)\).
3. Enfin, montrer que \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\) est distingué dans \(G^+\) et identifier \(G^+/\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\).

Exercice 6 – Générateurs et sous-groupes de Z/20Z

1. Donner la liste des générateurs de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\).
2. Donner la liste de tous les sous-groupes de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\), avec leur ordre et un générateur.
3. Ensuite, déterminer les éléments d’ordre 4 et les éléments d’ordre 10.
4. Enfin, calculer \(\langle \bar 4 \rangle \cap \langle \overline{10} \rangle\) et \(\langle \bar 4 \rangle + \langle \overline{10} \rangle\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Centre de D6 et quotient par le centre

On note \(D_6 = \langle r, s \rangle\) le groupe des isométries de l’hexagone régulier, avec \(r^6 = s^2 = e\) et \(srs = r^{-1}\).

1. Montrer que le centre d’un groupe est distingué, ainsi que chacun de ses sous-groupes.
2. Ensuite, déterminer le centre \(Z\) de \(D_6\).
3. On note \(\rho\) et \(\sigma\) les classes de \(r\) et de \(s\) dans \(D_6/Z\). Calculer l’ordre de \(D_6/Z\), l’ordre de \(\rho\) et celui de \(\sigma\).
4. Enfin, montrer que \(D_6/Z\) est isomorphe à \(D_3\).

Exercice 8 – Un quotient du réseau des points entiers du plan

Dans le groupe additif \(\mathbb{Z}^2\), on pose \(H = \{(a, b) \in \mathbb{Z}^2 \mid a + 2b \equiv 0 \pmod 3\}\). La figure colore les points entiers selon le reste de \(a + 2b\) modulo 3.

1. Montrer que \(H\) est un sous-groupe distingué de \(\mathbb{Z}^2\) et que \(\mathbb{Z}^2/H \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).
2. Ensuite, donner un représentant simple de chaque classe.
3. Montrer par ailleurs que \(H = \mathbb{Z}(1, 1) + \mathbb{Z}(3, 0)\).
4. Enfin, dans quelle classe se trouvent \((7, 5)\) et \((5, -7)\) ?

Exercice 9 – Matrices triangulaires et matrices unipotentes

On note \(T\) l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\) avec \(a, c \in \mathbb{R}^*\) et \(b \in \mathbb{R}\). On note \(U\) le sous-ensemble défini par \(a = c = 1\), et \(\Delta\) celui défini par \(b = 0\).

1. Montrer que \(T\) est un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\).
2. Montrer ensuite que \(U\) est distingué dans \(T\) et que \(T/U \simeq \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^*\).
3. De plus, montrer que \(U\) est isomorphe au groupe additif \(\mathbb{R}\).
4. Enfin, montrer que \(\Delta\) est un sous-groupe de \(T\) qui n’est pas distingué.

Exercice 10 – Deuxième et troisième théorèmes d’isomorphisme dans Z

On pose \(H = 12\mathbb{Z}\) et \(K = 18\mathbb{Z}\).

1. Déterminer \(H + K\) et \(H \cap K\).
2. Écrire le deuxième théorème d’isomorphisme pour \(H\) et \(K\). Vérifier que les deux groupes obtenus ont le même ordre.
3. Ensuite, donner explicitement le morphisme qui réalise cet isomorphisme.
4. Enfin, identifier le quotient \((\mathbb{Z}/36\mathbb{Z})/(6\mathbb{Z}/36\mathbb{Z})\) et préciser l’ordre de \(6\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}\).

Exercice 11 – Lemme chinois pour Z/45Z

1. Justifier que \(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) et donner l’isomorphisme.
2. Trouver l’unique \(x \in \{0, \ldots, 44\}\) tel que \(x \equiv 4 \pmod 9\) et \(x \equiv 2 \pmod 5\).
3. Ensuite, déterminer l’ordre de \((\bar 3, \bar 2)\) dans \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\).
4. En revanche, montrer que \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) n’est pas cyclique.

Exercice 12 – Le groupe de Klein dans S4 et A4

On pose \(V = \{\mathrm{id}, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}\).

1. Dresser la liste des éléments de \(A_4\), classés selon leur décomposition en cycles.
2. Montrer que \(V\) est un sous-groupe de \(A_4\), isomorphe à \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\).
3. Montrer ensuite que \(V\) est distingué dans \(S_4\). On pourra utiliser la formule \(\sigma(a\,b)(c\,d)\sigma^{-1} = (\sigma(a)\,\sigma(b))(\sigma(c)\,\sigma(d))\).
4. Enfin, écrire les classes de \(A_4\) modulo \(V\) et montrer que \(A_4/V \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).

Exercice 13 – Quotients du groupe multiplicatif des complexes

On note \(\mathbb{U}\) le groupe des complexes de module 1 et \(\mathbb{U}_n\) celui des racines \(n\)-ièmes de l’unité.

1. Montrer que \(\mathbb{C}^*/\mathbb{U} \simeq \mathbb{R}_+^*\).
2. De même, montrer que \(\mathbb{C}^*/\mathbb{R}_+^* \simeq \mathbb{U}\).
3. Soit \(n \geq 2\). Montrer que \(\mathbb{U}/\mathbb{U}_n \simeq \mathbb{U}\) et que \(\mathbb{C}^*/\mathbb{U}_n \simeq \mathbb{C}^*\).

Exercice 14 – Conjugaison des cycles et sous-groupe non distingué de A4

1. Soit \(c = (a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)\) un cycle de \(S_n\) et \(\sigma \in S_n\). Montrer que \(\sigma c \sigma^{-1} = (\sigma(a_1)\,\sigma(a_2)\,\cdots\,\sigma(a_k))\).
2. Application : dans \(S_6\), calculer \(\sigma c \sigma^{-1}\) pour \(\sigma = (1\,4\,2)(3\,5\,6)\) et \(c = (1\,2\,3\,6)\).
3. Montrer ensuite que \(H = \langle (1\,2\,3) \rangle\) n’est pas distingué dans \(A_4\).
4. En déduire qu’un sous-groupe distingué de \(A_4\) qui contient un 3-cycle contient au moins deux 3-cycles qui ne sont pas puissances l’un de l’autre.

Exercice 15 – Ordre d’une classe dans un quotient de Z/30Z

Soit \(G = \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\), \(H = \langle \bar 6 \rangle\) et \(Q = G/H\).

1. Déterminer l’ordre de \(H\) et celui de \(Q\).
2. Montrer ensuite que \(Q \simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) grâce à un morphisme explicite.
3. Par exemple, calculer l’ordre de \(\bar 4\) dans \(G\), puis celui de sa classe dans \(Q\).
4. Montrer en général que l’ordre de \(xN\) dans \(G/N\) divise l’ordre de \(x\) dans \(G\). Donner un élément de \(G\) d’ordre 10 dont la classe est d’ordre 2.

Pour approfondir

Exercice 16 – Sous-groupes distingués du groupe diédral

Soit \(n \geq 3\) et \(D_n = \langle r, s \rangle\), avec \(r^n = s^2 = e\) et \(srs = r^{-1}\).

1. Montrer que tout sous-groupe de \(\langle r \rangle\) est distingué dans \(D_n\).
2. Ensuite, calculer \(r^j (sr^k) r^{-j}\) et \(s (sr^k) s\) pour tous entiers \(j\) et \(k\).
3. On suppose \(n\) impair. Soit \(N\) un sous-groupe distingué de \(D_n\) qui contient une réflexion. Montrer que \(N\) contient toutes les réflexions, puis que \(N = D_n\).
4. En déduire la liste des sous-groupes distingués de \(D_n\) pour \(n\) impair.
5. Pour \(n = 6\), montrer que \(\langle r^2, s \rangle\) est un sous-groupe distingué de \(D_6\) qui contient une réflexion et qui est différent de \(D_6\).

Exercice 17 – Le quotient de S4 par le groupe de Klein

On reprend le sous-groupe \(V\) de l’exercice 12, distingué dans \(S_4\). On note \(\pi : S_4 \to S_4/V\) la projection canonique et \(H = \{\tau \in S_4 \mid \tau(4) = 4\}\).

1. D’abord, calculer \(|S_4/V|\).
2. Montrer ensuite que \(H \cap V = \{\mathrm{id}\}\).
3. En déduire que la restriction de \(\pi\) à \(H\) est un isomorphisme de \(H\) sur \(S_4/V\).
4. Conclure que \(S_4/V \simeq S_3\) et que \(S_4/V\) n’est pas abélien.
5. Enfin, montrer que \(HV = S_4\) et retrouver le résultat avec le deuxième théorème d’isomorphisme.

Exercice 18 – Sous-groupe des commutateurs du groupe diédral

Pour \(x, y\) dans un groupe \(G\), on pose \([x, y] = xyx^{-1}y^{-1}\). On note \(D(G)\) le sous-groupe engendré par tous les commutateurs.

1. Montrer que \(g[x, y]g^{-1} = [gxg^{-1}, gyg^{-1}]\). En déduire que \(D(G)\) est distingué dans \(G\).
2. Soit \(N \trianglelefteq G\). Montrer que \(G/N\) est abélien si et seulement si \(D(G) \subset N\).
3. Dans \(D_n\) avec \(n \geq 3\), calculer \([r, s]\). En déduire que \(\langle r^2 \rangle \subset D(D_n)\).
4. Par ailleurs, montrer qu’un groupe dans lequel \(x^2 = e\) pour tout \(x\) est abélien.
5. Ensuite, montrer que \(D_n/\langle r^2 \rangle\) est abélien, en distinguant les cas \(n\) impair et \(n\) pair.
6. Conclure que \(D(D_n) = \langle r^2 \rangle\) et donner son ordre selon la parité de \(n\).

Exercice 19 – Problème : sous-groupes d’indice 2 du groupe symétrique

Soit \(n \geq 3\). Le but est de montrer que \(A_n\) est le seul sous-groupe d’indice 2 de \(S_n\). Les lettres \(a, b, c, d\) désignent des éléments distincts de \(\{1, \ldots, n\}\).

1. Vérifier que \((a\,b)(a\,c) = (a\,c\,b)\) et que \((a\,b)(c\,d) = (a\,b\,c)(b\,c\,d)\).
2. En déduire que \(A_n\) est engendré par les 3-cycles.
3. Soit \(H\) un sous-groupe d’indice 2 de \(S_n\). Montrer que \(g^2 \in H\) pour tout \(g \in S_n\).
4. Ensuite, montrer que tout 3-cycle est le carré d’un 3-cycle. En déduire que \(A_n \subset H\), puis que \(H = A_n\).
5. Soit \(\chi : S_n \to \mathbb{C}^*\) un morphisme. Montrer que \(\chi\) prend la même valeur sur toutes les transpositions, et que cette valeur vaut \(1\) ou \(-1\).
6. En déduire que les seuls morphismes de \(S_n\) dans \(\mathbb{C}^*\) sont le morphisme constant égal à \(1\) et la signature.

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «groupes quotients en L3 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 535 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.