Équations de Cauchy-Riemann et maximum : contrôle de maths en L3

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Ce qu’évalue le contrôle : équations de Cauchy-Riemann et maximum

Le sujet du contrôle : équations de Cauchy-Riemann et maximum

Exercice 1 – Parties réelles et dérivabilité complexe (4 points)

On identifie \(\mathbb{C}\) à \(\mathbb{R}^2\) en écrivant \(z = x + iy\). Une fonction \(f = P + iQ\) est notée à l’aide de ses parties réelle et imaginaire.

1. Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(u(x, y) = x^3 + a\,x y^2 – 4xy\).
   1. Déterminer \(a\) pour que \(u\) soit harmonique sur \(\mathbb{R}^2\). (0,5 point)
   2. Pour cette valeur, trouver toutes les fonctions \(v\) telles que \(u + iv\) soit holomorphe sur \(\mathbb{C}\). (1 point)
   3. Exprimer alors en fonction de \(z\) l’unique fonction holomorphe \(f\) de partie réelle \(u\) telle que \(f(0) = 0\). (0,5 point)
2. Soit \(g(x + iy) = x^2 + i\,y^2\). Déterminer l’ensemble des points où \(g\) est \(\mathbb{C}\)-dérivable. La fonction \(g\) est-elle holomorphe sur un ouvert non vide ? (1 point)
3. Soit \(U\) un ouvert connexe et \(h = P + iQ\) holomorphe sur \(U\) telle que \(P = Q^2\) sur \(U\). Montrer que \(h\) est constante. (1 point)

Exercice 2 – Deux chemins vers 1 + i et un cercle (4 points)

On note \(\gamma_1\) le segment orienté de 0 à \(1 + i\), puis \(\gamma_2\) la ligne brisée qui va de 0 à 1, ensuite de 1 à \(1 + i\). Enfin, \(C(0, 2)\) désigne le cercle de centre 0 et de rayon 2, parcouru une fois dans le sens direct.

1. Calculer \(\int_{\gamma_1} z^2 \,\mathrm{d}z\) par un paramétrage, puis expliquer sans calcul pourquoi \(\int_{\gamma_2} z^2 \,\mathrm{d}z\) a la même valeur. (1 point)
2. Calculer \(\int_{\gamma_1} \overline{z} \,\mathrm{d}z\) et \(\int_{\gamma_2} \overline{z} \,\mathrm{d}z\). Que peut-on en déduire pour la fonction \(z \mapsto \overline{z}\) ? (1,5 point)
3. Calculer \(\displaystyle\int_{C(0, 2)} \frac{\mathrm{d}z}{(z – 1)(z – 3)}\), après avoir décomposé la fraction en éléments simples. (1,5 point)

Exercice 3 – Trois intégrales sur un même cercle (3 points)

Soit \(\Gamma\) le cercle de centre \(i\) et de rayon 1, parcouru une fois dans le sens direct. Il passe par 0, tandis que le point \(-i\) reste à l’extérieur.

À l’aide de la formule intégrale de Cauchy, calculer les intégrales suivantes, en précisant chaque fois le disque sur lequel on l’applique.

1. \(A = \displaystyle\int_{\Gamma} \frac{\mathrm{e}^{\pi z}}{z – i}\,\mathrm{d}z\). (1 point)
2. \(B = \displaystyle\int_{\Gamma} \frac{\sin z}{(z – i)^2}\,\mathrm{d}z\), le résultat étant exprimé avec le cosinus hyperbolique. (1 point)
3. \(C = \displaystyle\int_{\Gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z^2 + 1}\). (1 point)

Exercice 4 – Liouville et racines des polynômes (4 points)

Une fonction entière est une fonction holomorphe sur \(\mathbb{C}\) tout entier.

1. Soit \(f\) entière, \(a \in \mathbb{C}\), \(r > 0\) et \(M_r = \max_{\lvert z – a \rvert = r} \lvert f(z) \rvert\). À partir de la formule de Cauchy pour les dérivées, établir que \(\lvert f^{\prime}(a) \rvert \leq \dfrac{M_r}{r}\). (1 point)
2. En déduire le théorème de Liouville : une fonction entière bornée est constante. (0,5 point)
3. Soit \(P\) un polynôme de degré \(d \geq 1\) que l’on suppose sans racine dans \(\mathbb{C}\). Montrer que \(\lvert P(z) \rvert\) tend vers \(+\infty\) quand \(\lvert z \rvert\) tend vers \(+\infty\), puis que \(\frac{1}{P}\) est entière et bornée. (1,5 point)
4. Conclure : tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine. (0,5 point)
5. Soit \(f\) entière telle que \(\operatorname{Re} f(z) \leq 3\) pour tout \(z\). En considérant \(\mathrm{e}^{f}\), montrer que \(f\) est constante. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : moyenne et maximum du module (5 points)

Dans tout le problème, \(U\) est un ouvert connexe de \(\mathbb{C}\) et \(f\) une fonction holomorphe sur \(U\).

1. Soit \(a \in U\) et \(r > 0\) tel que le disque fermé \(\overline{D}(a, r)\) soit inclus dans \(U\). Démontrer la propriété de la moyenne : \(f(a) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi} f\left(a + r\,\mathrm{e}^{i\theta}\right)\mathrm{d}\theta\). (1 point)
2. On suppose que \(\lvert f \rvert\) admet en \(a\) un maximum local : il existe \(\rho > 0\) tel que \(D(a, \rho) \subset U\) et \(\lvert f(z) \rvert \leq \lvert f(a) \rvert\) sur \(D(a, \rho)\). On pose \(c = f(a)\). En étudiant la moyenne de \(\operatorname{Re}\left(\overline{c}\, f\right)\) sur un cercle de rayon \(r < \rho\), prouver que \(f = c\) sur \(D(a, \rho)\). (1 point)
3. En déduire que \(f\) est constante sur \(U\). (0,5 point)
4. On suppose de plus \(U\) borné et \(f\) prolongée en une fonction continue sur \(\overline{U}\). Montrer que \(\max_{\overline{U}} \lvert f \rvert\) est atteint en un point du bord de \(U\). (0,5 point)
5. Application : on pose \(F(z) = z^2 – 4i\) sur le disque fermé \(\overline{D}(0, 1)\). Déterminer le maximum de \(\lvert F \rvert\) sur ce disque et les points où il est atteint. (1 point)
6. Montrer que \(F\) ne s’annule pas sur \(\overline{D}(0, 1)\), puis déterminer, de même, le minimum de \(\lvert F \rvert\) sur ce disque et les points où il est atteint. (1 point)

Réviser équations de Cauchy-Riemann et maximum avant le contrôle

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