Examen final de probabilités : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « examen final de probabilités », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cet examen terminal de trois heures conclut le semestre 6 et porte sur les probabilités construites à partir de la théorie de la mesure. Le premier exercice, qui vaut un quart du barème, réclame trois démonstrations de cours complètes, notamment le lemme de Borel-Cantelli. Ensuite, un couple gaussien vous fera manipuler la fonction caractéristique d’un vecteur gaussien pour obtenir une loi et une indépendance. Le troisième exercice compare les modes de convergence sur des suites de pics rares. Puis une situation industrielle conduit à un intervalle de confiance issu du théorème central limite. Enfin, le problème relie les lois de Laplace et de Cauchy grâce au théorème de Lévy. Ce contrôle se prépare donc en fin d’année, après tout le chapitre des convergences.
Ce qu’évalue le contrôle : examen final de probabilités
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Loi, espérance et indépendance en théorie de la mesure et Fonction caractéristique, convergences et TCL (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer le premier lemme de Borel-Cantelli et la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite
- Exploiter la fonction caractéristique d’un vecteur gaussien pour obtenir une loi et une indépendance
- Comparer convergence presque sûre, en probabilité et dans L^p sur des exemples construits avec Borel-Cantelli
- Construire un intervalle de confiance asymptotique à partir du théorème central limite
- Utiliser le théorème de Lévy pour étudier des sommes de variables de Laplace et de Cauchy
Avant de commencer le devoir
Rédigez d’abord les trois preuves de cours, car elles sont rapides quand on les connaît et rapportent cinq points. Dans chaque calcul de loi, nommez le théorème qui permet de conclure : injectivité de la fonction caractéristique, théorème de Lévy ou indépendance des composantes non corrélées. Pour les convergences, vérifiez ensuite les hypothèses d’indépendance avant d’invoquer le second lemme de Borel-Cantelli. Enfin, contrôlez vos ordres de grandeur dans l’exercice 4, par exemple avec \(\sqrt{400} = 20\).
Le sujet du contrôle : examen final de probabilités
Exercice 1 – Trois démonstrations de cours (5 points)
Toutes les variables vivent sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\). Les preuves doivent être complètes ; vous pouvez cependant utiliser librement les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée.
- Soit \((A_n)_{n \geq 1}\) une suite d’événements dont la série \(\sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(A_n)\) converge. Démontrer que \(\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right) = 0\) (premier lemme de Borel-Cantelli).
- Prouver que, si \(X_n\) converge presque sûrement vers \(X\), alors \(X_n\) converge en probabilité vers \(X\).
- Soit \(Z\) de loi \(\mathcal{N}(0, 1)\) et \(\varphi_Z(t) = \mathbb{E}\left[\mathrm{e}^{itZ}\right]\). Après avoir justifié la dérivation sous l’intégrale, établir que \(\varphi_Z^{\prime}(t) = -t\,\varphi_Z(t)\), puis en déduire \(\varphi_Z(t) = \mathrm{e}^{-t^2/2}\).
Exercice 2 – Un couple gaussien et sa droite de régression (3,5 points)
Soit \((X, Y)\) un vecteur gaussien centré de matrice de covariance \(\Gamma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\). La figure montre trois courbes de niveau de sa densité, ainsi que la droite d’équation \(y = \frac{x}{2}\).
- Vérifier que \(\Gamma\) est symétrique définie positive, puis écrire la fonction caractéristique \(\varphi_{(X, Y)}(s, t)\).
- À l’aide de cette fonction, déterminer la loi de \(X – 2Y\).
- Trouver le réel \(a\) pour lequel \(X\) et \(Y – aX\) sont indépendantes, en justifiant soigneusement l’indépendance. Donner alors la loi de \(Y – aX\).
- En déduire l’espérance conditionnelle \(\mathbb{E}[Y \mid X]\) et expliquer le rôle de la droite tracée.
Exercice 3 – Des pics rares et des modes de convergence (3 points)
On tire indépendamment des nombres \(U_1, U_2, \ldots\) au hasard uniformément dans \([0, 1]\), et l’on fixe des réels \(p_n \in \left]0, 1\right]\). On pose \(X_n = n\,\mathbf{1}_{\{U_n \leq p_n\}}\). Le schéma rappelle les implications générales entre modes de convergence ; aucune autre flèche n’est vraie en général.
- Dans cette question et les deux suivantes, \(p_n = \frac{1}{n}\). Montrer que \(X_n\) converge en probabilité vers \(0\).
- Calculer \(\mathbb{E}[X_n]\), puis en déduire que \((X_n)\) ne converge dans \(L^1\) vers aucune variable.
- À l’aide du second lemme de Borel-Cantelli, montrer que \((X_n)\) ne converge pas presque sûrement.
- On prend désormais \(p_n = \frac{1}{n^2}\). Montrer que \(X_n\) converge vers \(0\) presque sûrement et dans \(L^1\), mais pas dans \(L^2\).
Exercice 4 – Capteurs défaillants et intervalle de confiance (3 points)
Une entreprise fabrique des capteurs d’humidité. Chacun est défaillant avec une probabilité inconnue \(p \in \left]0, 1\right[\), indépendamment des autres. Lors d’un contrôle, Maëlle teste \(n\) capteurs et note \(\overline{X}_n\) la proportion de capteurs défaillants. On admet que \(\Phi(2) \approx 0{,}977\), où \(\Phi\) est la fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0, 1)\) ; la figure illustre l’aire correspondante.
- Énoncer le théorème central limite appliqué à \(\overline{X}_n\).
- En utilisant \(p(1 – p) \leq \frac{1}{4}\), montrer que \(\liminf_n \mathbb{P}\left(\left|\overline{X}_n – p\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 2\Phi(2) – 1\).
- Maëlle a testé \(400\) capteurs et en a trouvé \(64\) défaillants. Donner un intervalle de confiance asymptotique de \(p\) au niveau \(95\,\%\) environ.
- Combien de capteurs faudrait-il tester pour que cet intervalle ait une demi-largeur de \(0{,}02\) ?
Exercice 5 – Problème : de la loi de Laplace à la loi de Cauchy (5,5 points)
On dit que \(L\) suit la loi de Laplace si elle admet la densité \(f(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|}\) sur \(\mathbb{R}\), et que \(C\) suit la loi de Cauchy si elle admet la densité \(c(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}\). On rappelle qu’une variable dont la fonction caractéristique est intégrable sur \(\mathbb{R}\) possède une densité continue donnée par la formule d’inversion de Fourier.
Partie A – Fonction caractéristique de Laplace
- Montrer que \(\varphi_L(t) = \frac{1}{1 + t^2}\) pour tout réel \(t\).
- Soit \(E_1\) et \(E_2\) indépendantes de loi exponentielle de paramètre \(1\). Prouver que \(E_1 – E_2\) suit la loi de Laplace.
Inversion et loi de Cauchy (partie B)
- Grâce à la formule d’inversion appliquée à \(L\), montrer que \(\varphi_C(t) = \mathrm{e}^{-|t|}\).
- On se donne maintenant des copies indépendantes \(C_1, C_2, \ldots\) de \(C\), et l’on pose \(M_n = \frac{1}{n}(C_1 + \ldots + C_n)\). Déterminer la loi de \(M_n\), puis démontrer que \(M_n\) ne converge en probabilité vers aucune constante. Pourquoi la loi des grands nombres ne s’applique-t-elle pas ?
Partie C – Retour au cas de variance finie
- Soit \((L_k)\) des variables indépendantes de loi de Laplace et \(S_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}(L_1 + \ldots + L_n)\). Calculer \(\mathbb{E}[L_1^2]\), puis montrer avec le théorème de Lévy que \(S_n\) converge en loi vers \(\mathcal{N}(0, 1)\).
Réviser examen final de probabilités avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours loi, espérance et indépendance en théorie de la mesure puis fonction caractéristique, convergences et tcl ; entraînez-vous sur les exercices loi, espérance et indépendance en théorie de la mesure et fonction caractéristique, convergences et tcl avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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