Angles orientés et trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Dans cet article, nous allons explorer les angles orientés et leur application en trigonométrie, des compétences clés pour les élèves de première. La compréhension des angles et de leurs propriétés est essentielle pour maîtriser des concepts mathématiques plus avancés. Les exercices corrigés que nous vous proposons ici permettront aux étudiants de renforcer leurs compétences en géométrie et en analyse tout en se préparant efficacement pour leurs examens.

Exercice 1 – donner plusieurs nombres réels ayant le même point-image.

1) $\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ , où $k\in\mathbb{Z}$

2) $-\frac{\pi}{5}+2k\pi$ , où $k\in\mathbb{Z}$

3) $-\frac{27\pi}{4}+2k\pi$ , où $k\in\mathbb{Z}$

4) $\frac{3\pi}{10}+2k\pi$ , où $k\in\mathbb{Z}$

1) $\frac{\pi}{3}+2k\pi$ , où $k\in\mathbb{Z}$

2) $-\frac{3\pi}{5}+2k\pi$ , où $k\in\mathbb{Z}$

Exercice 2 – convertir les mesures des angles orientés.

1) Conversion des angles en degrés :

a) $\frac{5\pi}{6}$ radians

Conversion : $\frac{5\pi}{6}\times\frac{180}{\pi}=150$ degrés

b) $\frac{3\pi}{4}$ radians

Conversion : $\frac{3\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=135$ degrés

c) $\frac{\pi}{5}$ radians

Conversion : $\frac{\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=36$ degrés

d) $\frac{5\pi}{8}$ radians

Conversion : $\frac{5\pi}{8}\times\frac{180}{\pi}=112,5$ degrés

e) $\frac{2\pi}{3}$ radians

Conversion : $\frac{2\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}=120$ degrés

2) Placement sur le cercle trigonométrique :

Les angles convertis étant de 150°, 135°, 36°, 112,5°, et 120°, ils doivent être positionnés respectivement

sur le cercle trigonométrique en respectant ces mesures à partir de l’axe des abscisses positif.

Exercice 3 – cercle trigonométrique et angles orientés.

1) Convertir les mesures des angles orientés suivants en degré :

Conversion de $\frac{\pi}{3}$ :
$\frac{\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}=60^\circ$

Conversion de $\frac{3\pi}{10}$ :
$\frac{3\pi}{10}\times\frac{180}{\pi}=54^\circ$

Conversion de $\frac{2\pi}{5}$ :
$\frac{2\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=72^\circ$

Conversion de $\frac{7\pi}{8}$ :
$\frac{7\pi}{8}\times\frac{180}{\pi}=157,5^\circ$

Conversion de $\frac{\pi}{4}$ :
$\frac{\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=45^\circ$

2) Placer sur le cercle trigonométrique les points-images des nombres réels précédents :

Sur le cercle trigonométrique, les angles convertis sont placés comme suit :

60° : À $\frac{1}{6}$ de tour du cercle.
54° : Un peu avant $\frac{1}{6}$ de tour.
72° : Un peu après $\frac{1}{6}$ de tour.
157,5° : Presque à la moitié de cercle (mi-chemin entre 90° et 180°).
45° : À $\frac{1}{8}$ de tour du cercle.

Exercice 4 – placer les point-image sur le cercle trigonométrique.

Pour placer les points-image sur le cercle trigonométrique, il faut d’abord réduire chaque angle modulo 2 $\pi$ .

1. $-\frac{\pi}{3}$ : Cela correspond à un angle situé dans le quatrième quadrant.

2. $-\frac{\pi}{2}$ : Cela correspond à un angle situé sur l’axe vertical négatif.

3. $\frac{11\pi}{8}$ : Cet angle est plus grand que $\pi$ , on le réduit :

$\frac{11\pi}{8}-2\pi=-\frac{5\pi}{8}$ (réduit à une position dans le troisième quadrant).

4. $-\frac{5\pi}{8}$ : Cela correspond à un angle situé dans le troisième quadrant.

5. $\frac{17\pi}{6}$ : Cet angle est plus grand que 2 $\pi$ , on le réduit :

$\frac{17\pi}{6}-2\pi=\frac{5\pi}{6}$ (réduit à une position dans le deuxième quadrant).

Conclusion : Chacun de ces angles a été décrit par rapport à sa position sur le cercle trigonométrique.

Exercice 5 – représenter l’arc de cercle sur le cercle trigonométrique.

1) Intervalle : $\left[-\frac{\pi}{4};0\right]$

L’arc de cercle correspondant part de $-\frac{\pi}{4}$ et va jusqu’à 0 dans le sens direct (sens horaire).

2) Intervalle : $\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right]$

L’arc de cercle correspondant part de $\frac{\pi}{2}$ à $\frac{3\pi}{4}$ dans le sens direct (sens anti-horaire).

3) Intervalles :

$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{4}\right]$

L’arc de cercle part de $\frac{\pi}{2}$ à $\frac{5\pi}{4}$ dans le sens direct.

$\left[\frac{7\pi}{4};2\pi\right]$

L’arc de cercle part de $\frac{7\pi}{4}$ à $2\pi$ dans le sens direct.

4) Intervalles :

$\left[-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{6}\right]$

L’arc de cercle part de $-\frac{2\pi}{3}$ à $-\frac{\pi}{6}$ dans le sens direct (sens horaire).

$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$

L’arc de cercle part de 0 à $\frac{\pi}{2}$ dans le sens direct (sens anti-horaire).

Exercice 6 – donner la mesure des angles orientés.

$(\vec{OI},\vec{OA})=\frac{\pi}{4}$

$(\vec{OA},\vec{OB})=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12}$

$(\vec{OC},\vec{OA})=\frac{\pi}{4}-\frac{5\pi}{6}=-\frac{7\pi}{12}$

$(\vec{OD},\vec{OB})=\frac{2\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}-\frac{5\pi}{6}=\frac{\pi}{12}$

$(\vec{OC},\vec{OE})=-\frac{\pi}{4}-\frac{5\pi}{6}=-\frac{13\pi}{12}$

$(\vec{OE},\vec{OD})=\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\pi$

Exercice 7 – angles orientés dans un carré.

1) $(\vec{OA},\vec{OB})=90^\circ$

2) $(\vec{OA},\vec{OC})=180^\circ$

3) $(\vec{OB},\vec{OA})=-90^\circ$

4) $(\vec{AO},\vec{AD})=45^\circ$

5) $(\vec{CB},\vec{CD})=90^\circ$

6) $(\vec{CA},\vec{CB})=-90^\circ$

Exercice 8 – mesure principale d’un angle orienté².

Réponse 1 :

La mesure principale d’un angle est obtenue en ajoutant ou soustrayant un multiple de $2\pi$ pour que l’angle soit dans l’intervalle $]-\pi,\pi]$ .

Pour $-\frac{7\pi}{5}$ , nous avons :

$-\frac{7\pi}{5}+2\pi=\frac{3\pi}{5}$

Réponse 2 :

Pour $\frac{18\pi}{4}$ , nous avons :

$\frac{18\pi}{4}-4\pi=\frac{\pi}{2}$

Réponse 3 :

Pour $\frac{4\pi}{3}$ , le calcul est :

$\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}$

Réponse 4 :

Pour $\frac{7\pi}{10}$ , la mesure est déjà dans l’intervalle $]-\pi,\pi]$ , donc :

$\frac{7\pi}{10}$

Exercice 9 – mesure principale d’un angle.

1) Pour trouver la mesure principale de l’angle $-\frac{21\pi}{4}$ , on ajoute ou soustrait

un multiple entier de $2\pi$ pour que l’angle soit compris entre $-\pi$ et $\pi$ .

Commençons par simplifier :

$-\frac{21\pi}{4}+6\c\dot2\pi=-\frac{21\pi}{4}+\frac{48\pi}{4}=\frac{27\pi}{4}$

Ensuite, soustrayons $2\pi$ à nouveau :

$\frac{27\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{11\pi}{4}$

Une nouvelle soustraction est nécessaire :

$\frac{11\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$

La mesure principale est donc $\frac{3\pi}{4}$

2) Pour l’angle $\frac{37\pi}{7}$ , procédons de manière similaire :

Même démarche :

$\frac{37\pi}{7}-5\c\dot2\pi=\frac{37\pi}{7}-\frac{70\pi}{7}=-\frac{33\pi}{7}$

$-\frac{33\pi}{7}+4\c\dot2\pi=\frac{23\pi}{7}$

La mesure principale est $\frac{23\pi}{7}$

3) Pour $-\frac{2\pi}{3}$ , cet angle est déjà dans l’intervalle [- $\pi$ , $\pi$ ].

Donc, la mesure principale est $-\frac{2\pi}{3}$

4) Pour $\frac{23\pi}{10}$ :

Simplifiez :

$\frac{23\pi}{10}-2\c\dot2\pi=\frac{23\pi}{10}-\frac{20\pi}{10}=\frac{3\pi}{10}$

La mesure principale est $\frac{3\pi}{10}$

Exercice 10 – vecteurs et mesure principale d’un angle orienté.

1) $(-\vec{u},-\vec{v})=\frac{\pi}{6}$

2) $(\vec{v},\vec{u})=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

3) $(-\vec{v},-\vec{u})=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

4) $(-\vec{v},\vec{u})=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

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