Dérivée : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

La dérivée est un concept fondamental en mathématiques, essentiel pour les élèves de première qui souhaitent maîtriser l’analyse. Comprendre la dérivée permet non seulement de résoudre des problèmes complexes, mais aussi de développer des compétences en calcul différentiel et en modélisation. Dans cet article, nous vous proposons des corrections d’exercices de mathématiques pour renforcer vos connaissances et préparer vos examens.

Exercice 1 – donner le tableau de signes.

Pour établir le tableau de signes de $f'(x)$, observons les variations de la courbe de $f(x)$ :

1. Intervalle $(-∞, 0)$ :

La fonction est croissante car la courbe monte, donc $f'(x) > 0$.

2. Intervalle $(0, \approx 0{,}5)$ :

La fonction continue de monter, donc $f'(x) > 0$.

3. Point $x \approx 0{,}5$ :

On atteint un maximum, donc $f'(x) = 0$.

4. Intervalle $(\approx 0{,}5, 1)$ :

La fonction descend, donc $f'(x) < 0$.

5. Point $x = 1$ :

La dérivée n’est pas définie ($f$ n’est pas dérivable).

6. Intervalle $(1, +∞)$ :

La fonction descend puis remonte; ainsi, sans croisement de l’axe des abscisses entre les deux mouvements, la dérivée reste $f'(x) < 0$ jusqu'à ce qu'elle croise et devienne positivement croissante.

Tableau de signes de $f'(x)$ :

$x$	-∞	$0$	$\approx 0{,}5$	$1$	+∞
$f'(x)$	+	+	$0$	/	…

Exercice 2 – parmi ces fonctions quelle est celle de la dérivée de f ?.

Réponse :

Pour déterminer laquelle des fonctions $f_1$, $f_2$, ou $f_3$ a pour dérivée la fonction $C_{f’}$ représentée ci-dessous, il faut comprendre que la dérivée d’une fonction indique où et comment la fonction change, c’est-à-dire, quand elle est croissante ou décroissante.

La courbe $C_{f’}$ est une parabole qui s’ouvre vers le haut, ce qui indique que la dérivée est toujours positive, sauf en son minimum (où elle est nulle). Cela signifie que la fonction d’origine est décroissante puis croissante au minimum de la dérivée.

En observant les graphiques des fonctions :

$C_1$ : Cette fonction est croissante, puis décroissante, ce qui n’est pas cohérent avec $C_{f’}$.
$C_2$ : Cette fonction est décroissante puis croissante, ce qui correspond au comportement attendu par $C_{f’}$.
$C_3$ : Cette fonction est décroissante puis croissante, mais sur un intervalle différent qui ne correspond pas à celui où la dérivée est nulle.

Conclusion : La fonction $f_2$ est celle qui a pour dérivée la fonction représentée par $C_{f’}$.

Exercice 3 – volume maximal d’un cône inclus dans une sphère.

Réponse :

Pour déterminer le volume maximal du cône, on choisit d’abord la variable $ r = HA $.

Le volume $ V $ d’un cône est donné par la formule :

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Dans notre cas :

La relation dans le triangle rectangle $ OHA $ donne :

$R^{2}=r^{2}+x^{2}$

d’où :

$x=\sqrt{R^{2}-r^{2}}$

Substituons $ x $ dans l’expression de $ h $ :

$h=R+\sqrt{R^{2}-r^{2}}$

Le volume du cône s’exprime alors en fonction de $ r $ :

$V(r)=\frac{1}{3}\pi r^{2}(R+\sqrt{R^{2}-r^{2}})$

Pour maximiser $ V(r) $, on dérive par rapport à $ r $ et on résout $ V'(r) = 0 $.

De la même manière, en choisissant la variable $ x = HO $, on a :

$x^{2}=R^{2}-r^{2}$

et en substituant dans l’expression du volume, nous suivons un processus similaire.

Dans les deux cas, une optimisation standard en utilisant le calcul différentiel montrera que le volume maximal est atteint pour :

$h=\frac{3R}{2}$

Cela donne un volume maximal :

$V_{max}=\frac{2\pi R^3}{3\sqrt{3}}$

Exercice 4 – une boîte de conserve et la surface de métal.

1) Calcul de la surface :

La surface totale d’une boîte cylindrique est la somme de la surface latérale et des deux bases :

Surface latérale : $2\pi rh$

Surface des deux bases : $2\pi r^2$

Le volume $\mathcal{V}= \pi r^2 h$ , donc $h=\frac{\mathcal{V}}{\pi r^2}$

En substituant, on obtient :

$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\frac{\mathcal{V}}{\pi r^2}$

Ce qui simplifie à :

$S(r)=2\pi r^2+\frac{2\mathcal{V}}{r}$

2) Étude de la fonction S :

La fonction $S(r)=2\pi r^2+\frac{2\mathcal{V}}{r}$ est définie pour 0″>

Étudions sa dérivée pour trouver les minimums :

$S'(r)=4\pi r-\frac{2\mathcal{V}}{r^2}$

Pour annuler la dérivée :

$4\pi r^3=2\mathcal{V}$

$r=\sqrt[3]{\frac{\mathcal{V}}{2\pi}}$

3) Dimensions optimales :

En utilisant la valeur de trouvée :

$h=\frac{\mathcal{V}}{\pi r^2}$

Finalement, ces valeurs minimisent la surface de métal utilisée.

4) Application numérique :

Pour un volume donné, par exemple $\mathcal{V}=1000\;cm^3$

Calculons $r=\sqrt[3]{\frac{1000}{2\pi}}$

Puis, calculons $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Cela donne les dimensions optimales de la boîte.

Exercice 5 – courbe de f et de f’.

Réponse :

Pour déterminer quelle courbe représente $ f $ et quelle représente sa dérivée $ f’ $, observons les variations des fonctions et le signe de la dérivée.

La courbe $ C_1 $ présente des points critiques où la pente semble changer de signe, indiquant qu’elle pourrait être la fonction de la dérivée $ f’ $. De plus, elle croise l’axe des abscisses, ce qui correspond aux valeurs des $ x $ où $ f’ $ est zéro.

La courbe $ C_2 $ présente une forme continue sans changement de signe radical, plus caractéristique d’une fonction $ f $ originale.

Ainsi, la courbe $ C_1 $ représente la dérivée $ f’ $ et la courbe $ C_2 $ représente la fonction $ f $.

Exercice 6 – tableau de signes d’une fonction.

Réponse 1 :

Pour le premier exercice, la fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ \mathbb{R}^*$.

1. $-\infty < x 0 $. Donc $ f $ est strictement croissante.

2. $x = -1$ : $ f'(x) = 0 $. Il y a un extremum.

3. $-1 < x < 0$ : $ f'(x) < 0 $. Donc $ f $ est strictement décroissante.

4. $x = 0$ : $ f'(x) = 0 $. Il y a un extremum.

5. $0 < x < 1$ : $ f'(x) < 0 $. Donc $ f $ est strictement décroissante.

6. $x = 1$ : $ f'(x) = 0 $. Il y a un extremum.

7. $x > 1$ : $ f'(x) > 0 $. Donc $ f $ est strictement croissante.

Comme $ f(-1) = -2 $ et $ f(1) = 2 $, la fonction a un minimum en $-1$ et un maximum en $1$.

Réponse 2 :

Pour le second exercice, la fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.

1. $0 < x < 1$ : $ f'(x) < 0 $. Donc $ f $ est strictement décroissante.

2. $x = 1$ : $ f'(x) = 0 $. Il y a un extremum.

3. $1 < x 0 $. Donc $ f $ est strictement croissante.

4. $x = 2$ : $ f'(x) = 0 $. Il y a un extremum.

5. $2 < x 0 $. Donc $ f $ est strictement croissante.

6. $x = 4$ : $ f'(x) = 0 $. Il y a un extremum.

7. $x > 4$ : $ f'(x) < 0 $. Donc $ f $ est strictement décroissante.

Comme $ f(1) = 1 $, $ f(2) = 2 $, et $ f(4) = 3 $, la fonction a un minimum en $1$ et $4$, et un maximum initial en $2$.

Exercice 7 – ensemble de définition et position relative par rapport à la tangente.

a) Fonction :

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=2$ :
Dérivée : $f'(x)=2x+4$ , donc $f'(2)=8$ .
Équation : y=8x-7

3) Positions relatives : Étudier la différence entre $f(x)$ et $8x-7$.

b) Fonction : $f(x)=\frac{1}{x+1}$

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : Définie et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=1$ :
Dérivée : $f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$ , donc $f'(1)=-\frac{1}{4}$ .
Équation : $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$

3) Positions relatives : Étudier la différence entre $f(x)$ et $-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$.

c) Fonction :

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=0$ :
Dérivée : $f'(x)=3x^2-2$ , donc $f'(0)=-2$ .
Équation : y=-2x

3) Positions relatives : Étudier la différence entre $f(x)$ et $-2x$.

d) Fonction :

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=0$ :
Dérivée : $f'(x)=3x^2-4x+1$ , donc $f'(0)=1$ .
Équation : y=x+3

3) Positions relatives : Étudier la différence entre $f(x)$ et $x+3$.

e) Fonction :

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=-1$ :
Dérivée : $f'(x)=4x^3-4x+1$ , donc $f'(-1)=-7$ .
Équation : y=-7x-6

3) Positions relatives : Étudier la différence entre $f(x)$ et $-7x-6$.

f) Fonction : $f(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}$

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : Définie et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=0$ :
Dérivée : $f'(x)=-\frac{2x+2}{(x^2+2x+1)^2}$ , donc $f'(0)=-1$ .
Équation : y=-x+1

3) Positions relatives : Étudier la différence entre $f(x)$ et $-x+1$.

g) Fonction :

1) Ensemble de définition et de dérivabilité : La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2) Équation de la tangente $T_a$ en $a=2$ :
Dérivée : $f'(x)=3x^2-4x-1$ , donc $f'(2)=3$ .
Équation : y=3x-3

3) Positions relatives : Factoriser l’expression $x^3-2x^2-4x+8$ pour étudier la différence.

Exercice 8 – fonction dérivable à droite de 0.

Réponse :

Pour déterminer la dérivabilité de la fonction $f$ en $a = 0$, observons les expressions données par la fonction :

\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 – 1 \text{si } x < 0 \\
x^2 + 1 \text{si } x \geq\, 0
\end{cases}
\]

Étude de la dérivabilité à droite (pour $x \geq\, 0$ ) :

Pour $x \geq\, 0$, la fonction est donnée par $f(x) = x^2 + 1$.

Sa dérivée est donc $\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$.

En $x = 0$, la dérivée à droite est donc :

$f'_+(0)=2\times 0=0$

Conclusion : La fonction est dérivable à droite en 0, avec $f’_+(0) = 0$.

Étude de la dérivabilité à gauche (pour $x < 0$) :

Pour $x < 0$, la fonction est donnée par $f(x) = x^2 – 1$.

Sa dérivée est donc $\frac{d}{dx}(x^2 – 1) = 2x$.

En $x = 0$, la dérivée à gauche est donc :

$f'_-(0)=2\times 0=0$

Conclusion : La dérivée à gauche en 0, est aussi égale à 0. Cependant, à l’analyse des limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 à gauche et à droite, elle diffère, indiquant une discontinuité. Cependant, cette information ne tient pas sa dérivabilité à gauche stricte.

Conclusion générale : La fonction est dérivable à droite en $a = 0$ avec dérivée nulle, mais l’exploration entière montre qu’une bonne compréhension vient d’identifier la transition en les deux termes séparés en chaque côté de 0.

Exercice 9 – fonction dérivable et problème.

1) Les points M et N sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées car pour une fonction paire, .

2) La dérivée de f en -a est l’opposé de la dérivée en a :

$f'(-a)=-f'(a)$

3) Pour a = 0, on a $f'(0)=-f'(0)$ , donc $f'(0)=0$ .

4) Pour une fonction impaire, les points M et N sont symétriques par rapport à l’origine car .

5) La dérivée de f satisfait :

$f'(-a)=f(a)$

Exercice 10 – signe de f’ et sens de variation.

1. Première fonction :

Soit $f' (x) = (x-1)(x-2)$ .

Les racines de $f'$ sont x=1 et x=2 .

Tableau de signes de $f'$ :

| x | -∞ | 1 | 2 | +∞ |

| $f'(x)$ | + | 0 | – | 0 | + |

– Conclusion : La fonction est croissante sur $]-\infty, 1]$ , décroissante sur $[1, 2]$ , et croissante sur $[2, +\infty[$ .

2. Deuxième fonction :

Avec .

Calcul de la dérivée : $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ .

Les racines de $f'$ sont x=0 et x=2 .

Tableau de signes de $f'$ :

| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |

| $f'(x)$ | + | 0 | – | 0 | + |

– Conclusion : La fonction est croissante sur $]-\infty, 0]$ , décroissante sur $[0, 2]$ , et croissante sur $[2, +\infty[$ .

3. Tableau de variations donné :

Nous pouvons observer que la fonction descend puis monte :

– Sur $]-\infty, 3[$ , <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f' (x) < 0" alt="f'(x) .

– Sur $[3, 4]$ , 0″ alt= »f'(x) > 0″>.

– Sur $[4, +\infty[$ , <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f' (x) < 0" alt="f'(x) .

Conclusion : Le signe de $f'$ change selon les intervalles mentionnés ci-dessus.

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\(x\)	-∞	\(0\)	\(\approx 0{,}5\)	\(1\)	+∞
\(f'(x)\)	+	+	\(0\)	/	…