Produit scalaire dans le plan : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Le produit scalaire dans le plan est un concept mathématique essentiel pour les élèves de première, car il leur permet de comprendre les relations entre les vecteurs. Maîtriser ce sujet aide à développer des compétences telles que l’analyse vectorielle et la géométrie analytique, fondamentales dans de nombreux domaines scientifiques. À travers cet article de correction d’exercices, nous allons explorer les applications pratiques du produit scalaire et renforcer ces compétences cruciales pour la réussite des élèves.

Exercice 1 – résoudre une équation avec des cosinus.

1) Changement de variable.

On pose $X = \cos x$ avec $x \in [-1 ; 1]$.

a) Équation du second degré équivalente à (1) :

L’équation initiale est :

$4\cos^{2}x-2(1+\sqrt{3})\cos x+\sqrt{3}=0$

En posant $X = \cos x$, on obtient :

$4X^{2}-2(1+\sqrt{3})X+\sqrt{3}=0$

b) Calcul du discriminant :

Le discriminant $\Delta$ de l’équation est donné par :

$\Delta=b^{2}-4ac$

Avec $a = 4$, $b = -2(1+\sqrt{3})$, et $c = \sqrt{3}$, on a :

$\Delta=[-2(1+\sqrt{3})]^{2}-4\times 4\times \sqrt{3}$

Ce qui donne :

$\Delta=4(1+\sqrt{3})^{2}-16\sqrt{3}$

On développe $ (1+\sqrt{3})^{2} $ :

$(1+\sqrt{3})^{2}=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}$

Donc, $\Delta = 4(4+2\sqrt{3})-16\sqrt{3}$.

$\Delta=16+8\sqrt{3}-16\sqrt{3}=16-8\sqrt{3}$

Il semble qu’il y a une erreur dans l’instruction du discriminant donné. Calculons à nouveau, on devait arriver à :

$4(1-\sqrt{3}^{2})=4(1-3)=-8$

c) Solutions de l’équation du second degré :

Étant donné $\Delta<0$, l'équation n'a pas de solutions réelles.

2) Solutions de l’équation (1) dans $-\pi ; \pi$ puis dans $\mathbb{R}$ :

Comme l’équation n’a pas de solutions réelles pour $\cos x$, il n’y a pas de solutions dans cet intervalle ni dans $\mathbb{R}$.

Exercice 2 – droite et vecteur normal.

Pour vérifier si la droite d’équation est la droite de vecteur normal $\vec{n}(\begin{array}{c}-1\\4\end{array})$ et passant par , nous allons comparer le vecteur normal de la droite donnée avec le vecteur normal proposé.

Le vecteur normal de la droite est $\vec{n_1}(\begin{array}{c}2\\-8\end{array})$ .

Pour que la droite soit celle de vecteur normal $\vec{n}(\begin{array}{c}-1\\4\end{array})$ , ces deux vecteurs doivent être colinéaires. Vérifions cela :

Les vecteurs $\vec{n_1}(\begin{array}{c}2\\-8\end{array})$ et $\vec{n}(\begin{array}{c}-1\\4\end{array})$ sont colinéaires si et seulement si :

$\frac{2}{-1}=\frac{-8}{4}$

Ceci donne : , ce qui est vrai.

Donc, les vecteurs sont colinéaires, et la droite a bien le vecteur normal $\vec{n}(\begin{array}{c}-1\\4\end{array})$ .

Vérifions maintenant que le point appartient à la droite.

En remplaçant et dans l’équation de la droite :

Ce qui donne :

Le point T appartient à la droite.

Conclusion : Oui, la droite d’équation est bien la droite de vecteur normal $\vec{n}(\begin{array}{c}-1\\4\end{array})$ et passant par .

Exercice 3 – rayon et coordonnées du centre du cercle.

1) Cercle $\mathcal{C}_1$ :

L’équation du cercle est .

Le centre du cercle est donc (2, 5).

Le rayon est $\sqrt{9} = 3$.

2) Cercle $\mathcal{C}_2$ :

L’équation du cercle est .

Le centre du cercle est donc (-3, 7).

Le rayon est $\sqrt{5}$.

Exercice 4 – droites perpendiculaires.

1) Droites (AB) et (CD) :

Pente de (AB) : $m_{\text{AB}}=\frac{5-(-3)}{-1-1}=\frac{8}{-2}=-4$

Pente de (CD) : $m_{\text{CD}}=\frac{7-3}{7-(-8)}=\frac{4}{15}$

Produit des pentes : $(-4)\times \frac{4}{15}=-\frac{16}{15}\neq-1$

Les droites (AB) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.

2) Droite (EF) et

Pente de (EF) : $m_{\text{EF}}=\frac{11-7}{3-1}=\frac{4}{2}=2$

Pente de

Réécriture : donc $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$

Produit des pentes : $2\times -\frac{1}{2}=-1$

La droite (EF) est perpendiculaire à

3) Droites et

Pente de :

Réécriture : donc $y=\frac{1}{2}x-\frac{11}{8}$

Pente de :

Réécriture :

Produit des pentes : $\frac{1}{2}\times (-2)=-1$

Les droites et sont perpendiculaires.

Exercice 5 – exprimer un produit scalaire en fonction de vecteurs.

1) Faire une figure : Il s’agit de construire un triangle avec les côtés $AB=3\,\text{cm},\,AC=5\,\text{cm},\,BC=6\,\text{cm}$ . Placez les points A, B, et C avec ces longueurs.

2) Exprimer $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ en fonction de AB, BC et AC :

Utilisons la formule du produit scalaire dans un triangle :

$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=\frac{1}{2}(AB^2+BC^2-AC^2)$

3) En déduire $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ :

En substituant les valeurs données :

$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=\frac{1}{2}(3^2+6^2-5^2)$

$=\frac{1}{2}(9+36-25)$

$=\frac{1}{2}\times 20$

Exercice 6 – calculs de produits scalaires.

1) Calcul du produit scalaire $\vec{EF} \cdot \vec{FG}$ :

Nous appliquons la formule du produit scalaire à l’aide de la relation :

$\vec{EF} \cdot \vec{FG} = \frac{1}{2} ( EF^2 + FG^2 - EG^2 )$

Avec les données : $ EF = 8 $, $ FG = 11 $, $ EG = 6 $, nous avons :

$\vec{EF} \cdot \vec{FG} = \frac{1}{2} ( 8^2 + 11^2 - 6^2 ) = \frac{1}{2}(64 + 121 - 36)$

$=\frac{1}{2} \times 149 = 74,5$

2) Calcul du produit scalaire $\vec{FG} \cdot \vec{GE}$ :

Utilisons la formule des produits scalaires :

$\vec{FG} \cdot \vec{GE} = \frac{1}{2} ( FG^2 + EG^2 - EF^2 )$

$= \frac{1}{2} ( 11^2 + 6^2 - 8^2 ) = \frac{1}{2}(121 + 36 - 64)$

$=\frac{1}{2} \times 93 = 46,5$

3) Calcul du produit scalaire $\vec{GF} \cdot \vec{FE}$ :

En utilisant la formule appropriée :

$\vec{GF} \cdot \vec{FE} = \frac{1}{2} ( FG^2 + EF^2 - EG^2 )$

$= \frac{1}{2} ( 11^2 + 8^2 - 6^2 ) = \frac{1}{2}(121 + 64 - 36)$

$=\frac{1}{2} \times 149 = 74,5$

Exercice 7 – calculer des normes de vecteurs.

1) Calcul des normes :

La norme du vecteur $\vec{a}$ est donnée par :

$\|\vec{a}\|=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

La norme du vecteur $\vec{b}$ est donnée par :

$\|\vec{b}\|=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$

Pour le vecteur $\vec{a}+\vec{b}$, nous avons :

$\vec{a}+\vec{b}=(\begin{array}{c}2+(-3)\\6+5\end{array})=(\begin{array}{c}-1\\11\end{array})$

Donc, la norme de $\vec{a}+\vec{b}$ est :

$\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{(-1)^2+11^2}=\sqrt{1+121}=\sqrt{122}$

2) Produit scalaire :

Le produit scalaire $\vec{a}\cdot\vec{b}$ est donné par :

$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times (-3)+6\times 5$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=-6+30=24$

Exercice 8 – calculer des produits scalaires à l’aide de coordonnées.

1) Calcul du produit scalaire de \$\vec{u} \$ et \$\vec{v} \$ :

$15\times 6+(-8)\times 9=-12$

2) Calcul du produit scalaire de \$\vec{s} \$ et \$\vec{t} \$ :

$(-1)\times (-3)+2\times (-4)=-5$

3) Calcul du produit scalaire de \$\vec{a} \$ et \$\vec{b} \$ :

$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)+6\times 1=5$

4) Calcul du produit scalaire de \$\vec{c} \$ et \$\vec{UV} \$ :

$\vec{c}=(\sqrt{6};2)$

$\vec{UV}=(5-\sqrt{24+5};\sqrt{2}-1)=(5-5\sqrt{2};\sqrt{2}-1)$

$\sqrt{6}\times (5-5\sqrt{2})+2\times (\sqrt{2}-1)=5\sqrt{6}-5\sqrt{12}+2\sqrt{2}-2$

5) Calcul du produit scalaire de \$\vec{r} \$ et \$\vec{AB} \$ :

$\vec{r}=(3;7)$

$\vec{AB}=(-3+1;6-2)=(-2;4)$

$3\times (-2)+7\times 4=22$

6) Calcul du produit scalaire de \$\vec{CD} \$ et \$\vec{MR} \$ :

$\vec{CD}=(6-5;4-1)=(1;3)$

$\vec{MR}=(8-3;9-7)=(5;2)$

$1\times 5+3\times 2=11$

7) Calcul du produit scalaire de \$\vec{ST} \$ et \$\vec{EF} \$ :

$\vec{ST}=(5-8;5-8)=(-3;-3)$

$\vec{EF}=(3-0;0-1)=(3;-1)$

$(-3)\times 3+(-3)\times (-1)=-6$

Exercice 9 – déterminer les produits scalaires suivants.

Réponse :

1) $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

$(-1)\times 2+5\times 4$

2) $(2\vec{u}) \cdot \vec{v}$ :

$2\times ((-1)\times 2+5\times 4)$

$2\times 18$

3) ((-\vec{u}) \cdot (3\vec{v})) :

$-1\times 3\times ((-1)\times 2+5\times 4)$

$-3\times 18$

Exercice 10 – ecrire un algorithme qui donne le produit scalaire.

Voici un algorithme simple pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans un repère orthonormé :

1. Demander à l’utilisateur de saisir les coordonnées du premier vecteur, $ \vec{u}(x_1, y_1) $.

2. Demander à l’utilisateur de saisir les coordonnées du deuxième vecteur, $ \vec{v}(x_2, y_2) $.

3. Calculer le produit scalaire à l’aide de la formule :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2$

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