Limites et variations de suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Dans cet article, nous allons explorer les limites et les variations de suites, des concepts essentiels pour les élèves de première en mathématiques. Comprendre ces notions vous permettra non seulement de maîtriser les suites numériques, mais aussi de développer des compétences analytiques cruciales lors de l’étude des fonctions. Grâce à des corrections d’exercices ciblés, nous vous aiderons à renforcer votre confiance et à exceller dans cette matière fondamentale.

Exercice 1 – fonction et monotonie d’une suite.

La fonction associée est . C’est une fonction linéaire croissante,

donc la suite u_n est croissante sur $[a,+\infty[$

2) $u_n=\sqrt{n}$

La fonction associée est $f(x)=\sqrt{x}$ .

Cette fonction est croissante sur $[a,+\infty[$ , donc la suite u_n est croissante.

La fonction associée est .

C’est une parabole qui admet un minimum au sommet. La dérivée s’annule pour x=2 .

Ainsi, la suite est décroissante pour $n\leq2$ et croissante pour $n\geq2$ .

4) $u_n=\frac{1}{4n}$

La fonction associée est $f(x)=\frac{1}{4x}$ .

Cette fonction est décroissante sur $[a,+\infty[$ , donc la suite (u_n) est décroissante.

Exercice 2 – etudier la monotonie de suites.

1) Suite

Étudions les variations de la fonction définie sur $[a; +\infty[$ .

Pour trouver le sens de variation, calculons la dérivée : .

La dérivée s’annule pour $x = \frac{13}{2}$ .

Donc, f est décroissante sur $[a, \frac{13}{2}]$ et croissante sur $[\frac{13}{2}, +\infty[$ .

Conclusion : La suite (u_n) est décroissante pour $n \leq\, 6$ et croissante pour $n \geq\, 7$ .

2) Suite $u_n = \frac{n+2}{3n+2}$

Étudions les variations de la fonction $g(x) = \frac{x+2}{3x+2}$ définie sur $[a; +\infty[$ .

Calculons la dérivée :

$g'(x) = \frac{(3x+2) - (x+2) \times 3}{(3x+2)^2} = \frac{-4}{(3x+2)^2}$ .

Comme $g'(x) \leq\, 0$ pour tout x , la fonction gest décroissante sur $[a; +\infty[$ .

Conclusion :

La suite (u_n) est strictement décroissante.

Exercice 3 – démontrer que la suite n’est pas monotone.

1) Pour la suite , montrons qu’elle n’est pas monotone.

Considérons $u_1=3\times1^2-3^1=0$ et $u_2=3\times2^2-3^2=-1$ .

On a u_1>u_2 , donc la suite décroît au moins une fois, ce qui montre qu’elle n’est pas monotone.

2) Pour la suite définie par $\{u_0=1; \, u_{n+1}=(u_n-1)^2\}$ , montrons qu’elle n’est pas monotone.

Calculons quelques termes :

u_0=1

Ainsi, u_1<u_2 , donc la suite croît au moins une fois, ce qui montre qu’elle n’est pas monotone.

3) Pour la suite $u_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n$ , montrons qu’elle n’est pas monotone.

Considérons quelques termes :

$u_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^0=1$

$u_1=-\frac{1}{2}$

$u_2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

La suite oscille entre les valeurs positives et négatives, donc elle n’est pas monotone.

Exercice 4 – déterminer le sens de variation de la suite.

1) Suite $u_n=\sqrt{n}+2$

La fonction $\sqrt{n}$ est croissante.

Donc, la suite (u_n) est strictement croissante.

2) Suite $u_n=\frac{1}{n+1}$

La fonction $(\frac{1}{n+1})$ est décroissante.

Donc, la suite (u_n) est strictement décroissante.

3) Suite

La fonction polynomiale 3n^2+n est croissante pour n \geq 0.

Donc, la suite (u_n) est strictement croissante.

4) Suite

La fonction polynomiale 3n^2 est croissante pour $n \geq\, 0$ . Donc, la suite u_n est strictement croissante.

5) Suite $u_n=\frac{2n+5}{n+1}$

En étudiant le signe de la différence, on trouve que la suite (u_n) est strictement croissante.

6) Suite $u_n=\sqrt{n+1}$

La fonction $\sqrt{n+1}$ est croissante, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

7) Suite $u_n=\frac{0,5^n}{n}$

Cette suite décroît car le numérateur décroît plus vite que le dénominateur augmente.

Donc, la suite (u_n) est strictement décroissante.

Exercice 5 – etudier la monotonie de ces suites en choisissant la méthode adaptée.

1) Suite :

Cette suite est décroissante car pour tout $n\geq0$ ,

nous avons :

$u_{n+1}-u_n=(n+1)-(n+1)^2-(n-n^2)=-2n-1$

2) Suite : $u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\c\dots+\frac{1}{n}$

Cette suite est croissante car chaque terme ajouté est positif :

$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n+1}\gt u_n$

3) Suite : $u_n=3n\times\left(\frac{1}{3}\right)^n$

Cette suite est décroissante car $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ diminue et son produit par tend vers 0.

4) Suite : $u_0=1,\;u_{n+1}=(u_n+1)^2$

Cette suite est croissante car $u_{n+1}-u_n=(u_n+1)^2-u_n=(u_n+1)^2-u_n\gt0$

5) Suite : $u_0=3,\;u_{n+1}=\frac{u_n}{n+2}$

Cette suite est décroissante car chaque terme $\frac{u_n}{n+2}\lt u_n$

6) Suite : $u_n=\frac{2^{2n+2}}{3^n}$

Cette suite est croissante car l’exposant de 2 croît plus vite que celui de 3 : $(2^{2n+2})\gt(3^n)$

Exercice 6 – monotonie de différentes suites.

1) Suite $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$

Pour étudier la monotonie, nous calculons $u_{n+1}-u_n$ .

L’expression obtenue sera négative pour tous assez grands, ce qui montre que la suite est décroissante à partir d’un certain rang.

2) Suite $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n^2}$

On vérifie par récurrence que la suite est décroissante.

Pour cela, montrons que $u_{n+1}\leq\, u_n$ en supposant que u_n>0 .

Cela est vrai car

$0\leq\frac{1}{1+u_n^2}<1$

3) Suite $u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$

Cette suite est négative pour tout car l’expression simplify celle-ci donne $u_n=-\frac{1}{n(n+1)}$ qui est toujours négative, donc la suite décroît.

Suite Factorielle

La suite u_n=n! est strictement croissante car chaque terme $u_{n+1}=(n+1)!=(n+1)\times n!$

est plus grand que le précédent par le facteur n+1 .

Exercice 7 – problème de plutonium et de suites.

1) Écrire $m_{t+1}$ en fonction de m_t .

La quantité de plutonium 239 diminue de 0,003 % chaque année.

Ainsi, on peut écrire :

$m_{t+1}=m_t\times(1-0,003\%)$

Ce qui donne :

$m_{t+1}=m_t\times0,99997$

2) Étudier la nature de la suite ( m_t ) puis écrire m_t en fonction de t.

La suite ( m_t )est une suite géométrique de raison q = 0,99997.

La formule générale d’une suite géométrique est :

$m_t=m_0\times q^t$

Sachant que m_0 = 1 g, on a :

$m_t=1\times0,99997^t$

3) Étudier le sens de variations de la suite ( m_t ).

Puisque la raison q = 0,99997 est inférieure à 1, la suite ( m_t ) est décroissante.

4) Déterminer, à l’aide d’un tableur, le nombre d’années nécessaires pour diminuer de moitié la masse de plutonium 239 dans ce déchet.

Il s’agit de résoudre l’équation suivante :

En prenant le logarithme de chaque côté, nous obtenons :

$t=\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,99997)}$

Calculons cette valeur avec un tableur pour déterminer la demi-vie :

Ainsi, on trouve environ $t \approx 23\,120$ ans.

Cette durée s’appelle demi-vie radioactive du plutonium 239.

Exercice 8 – suite arithmétique et monotonie.

Réponse 1 :

Pour la suite arithmétique de premier terme $u_0=\frac{1}{3}$ et de raison r=0,4 , chaque terme est calculé par $u_n=u_0+n\times r$ .

La raison r=0,4 est positive, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

Réponse 2 :

Pour la suite arithmétique de premier terme u_0=10 et de raison r=-2 , chaque terme est calculé par $u_n=u_0+n\times r$ .

La raison r=-2 est négative, donc la suite (u_n) est strictement décroissante.

Réponse 3 :

Pour la suite arithmétique de premier terme u_0=-2 et de raison r=-2 , chaque terme est calculé par $u_n=u_0+n\times r$ .

La raison r=-2 est négative, donc la suite (u_n) est strictement décroissante.

Réponse 4 :

Pour la suite arithmétique de premier terme u_0=-5 et de raison $r=\frac{1}{4}$ , chaque terme est calculé par $u_n=u_0+n\times r$ .

La raison $r=\frac{1}{4}$ est positive, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

Exercice 9 – suite géométrique et monotonie.

1. Suite 1 :

Suite géométrique de premier terme v_0=-5 et de raison $q=\frac{1}{4}$ .

Le terme suivant est strictement inférieur au terme précédent car
Cette suite est décroissante.

2. Suite 2 :

Suite géométrique de premier terme $v_0=\frac{1}{5}$ et de raison q=6 .

Le terme suivant est strictement supérieur au terme précédent car .
Cette suite est croissante.

3. Suite 3 :

Suite géométrique de premier terme v_0=5 et de raison $q=-\frac{1}{5}$ .

La suite oscille entre des valeurs positives et négatives puisque .
Cette suite est non monotone.

4. Suite 4 :

Suite géométrique de premier terme $v_0=-\frac{1}{2}$ et de raison $q=-\frac{1}{2}$ .

La valeur absolue des termes diminue mais les signes alternent, donc .
Cette suite est non monotone.

Exercice 10 – par lecture graphique, indiquer si la suite est monotone.

Réponse pour la suite 1 :

La suite n’est pas monotone. Elle oscille autour de la valeur y=0 , semblant converger vers cette limite.

Réponse pour la suite 2 :

La suite est constante et monotone. La limite semble être y=1 .

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