Fonction carrée et polynôme : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : associer chaque fonction à sa courbe

La fonction \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \). On peut réécrire cette fonction sous la forme \( f(x) = (x+1)^2 \). La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui atteint son minimum en \( x = -1 \) et dont le sommet est à \( (-1,0) \). La courbe correspondante est donc \(\mathcal{P}_1\).

La fonction \( g(x) = -x^2 \). La courbe de cette fonction est une parabole qui est tournée vers le bas et a son sommet en \( (0,0) \). Par conséquent, la courbe correspondante est \(\mathcal{P}_4\).

La fonction \( h(x) = x^2 + 1 \). La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui est tournée vers le haut et dont le sommet est en \( (0,1) \). La courbe qui correspond est donc \(\mathcal{P}_2\).

La fonction \( k(x) = -\frac{1}{2}x^2 \). La courbe de cette fonction est une parabole qui est tournée vers le bas et qui est plus large comparée à \( g(x) \). Son sommet est en \( (0,0) \). La courbe correspondante est \(\mathcal{P}_3\).

Les associations sont donc les suivantes:

\( f(x) = x^2 + 2x + 1 \) correspond à \(\mathcal{P}_1\).
\( g(x) = -x^2 \) correspond à \(\mathcal{P}_4\).
\( h(x) = x^2 + 1 \) correspond à \(\mathcal{P}_2\).
\( k(x) = -\frac{1}{2}x^2 \) correspond à \(\mathcal{P}_3\).

Exercice 12 : polynôme et étude de fonctions
Pour résoudre l’équation \( f(x) = 0 \), Ahmed doit identifier les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction \( f \) s’annule. À partir du tableau de variation fourni, qui est typique d’une fonction polynôme de degré 2 (une parabole), voici la démarche :

1. Remarquer que \( f(x) \) est une fonction de degré 2 qui atteint un minimum en \( x = 1 \) avec une valeur \( f(1) = -2 \).
2. Le tableau de variation montre que la courbe passe par 0 à \( x = 5 \). Cet \( x = 5 \) est une racine de \( f \), c’est-à-dire une solution de l’équation \( f(x) = 0 \).

Nous cherchons les valeurs de \( x \) où \( f(x) = 0 \). Le tableau nous offre une information critique:
– La courbe descend jusqu’à \( x = 1 \)
– Lorsqu’elle remonte, elle coupe l’axe des abscisses en \( x = 5 \).

Pour déterminer d’autres racines potentielles ou confirmer les solutions, on aurait besoin de connaître l’expression exacte de \( f(x) \). Pourtant, puisque nous savons que \( f(x) \) est un polynôme du second degré (quadratique) et qu’il a une unique racine vue dans le tableau (à \( x = 5 \)) après son point minimum, on peut en déduire que les valeurs où \( f(x) = 0 \) sont uniquement celles visibles dans le tableau.

Donc, les solutions sont :
\[
x = 5
\]

Si \( f(x) \) a une forme standard \( f(x) = a(x – p)^2 + q \) et sachant que \( p = 1 \) (le point minimum) et \( q = -2 \), on aurait :

\[
f(1) = a(1-1)^2 – 2 = -2
\]

Cela revient à dire que \( f(1) = -2 \) conforme au tableau, et donc :

\[
f(x) = a(x-1)^2 -2
\]

Pour que \( f(5) = 0 \):

\[
a(5 – 1)^2 – 2 = 0 \implies a(16) = 2 \implies a = \frac{1}{8}
\]

Forme finale de la fonction \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{1}{8}(x – 1)^2 – 2
\]

On vérifie les solutions de \( f(x) = 0 \):

\[
\frac{1}{8}(x – 1)^2 – 2 = 0 \implies \frac{1}{8}(x – 1)^2 = 2 \implies (x – 1)^2 = 16 \implies x – 1 = \pm 4 \implies x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -3
\]

Ainsi, les solutions corrigées de l’équation \( f(x) = 0 \) sont :

\[
x = -3 \quad \text{et} \quad x = 5
\]

Exercice 13 : fonctions carrées et courbes représentatives
Pour associer chaque fonction à sa courbe représentative, nous devons examiner les propriétés caractéristiques des équations quadratiques données :

1. \( f(x) = x^2 + 4x + 1 \)
Cette fonction est une parabole ouverte vers le haut dont le coefficient en \( x^2 \) est positif. Pour trouver son sommet, nous utilisons la formule \( x = -\frac{b}{2a} \). Ici, \( a = 1 \) et \( b = 4 \), donc :
\[
x = -\frac{4}{2 \times 1} = -2
\]
Le sommet de \( f(x) \) est donc à \( (-2, f(-2)) \). Calculons \( f(-2) \) :
\[
f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 – 8 + 1 = -3
\]
Donc, le sommet de \( f(x) \) est à \( (-2, -3) \). Cette courbe est \( \mathcal{P}_3 \) (courbe bleue).

2. \( g(x) = (x – 1)^2 – 2 \)
Cette fonction est une parabole ouverte vers le haut dont le sommet peut être directement lu : \( x = 1 \) et \( y = -2 \).
Donc, le sommet de \( g(x) \) est à \( (1, -2) \). Cette courbe est \( \mathcal{P}_2 \) (courbe violette).

3. \( h(x) = -\frac{1}{2} (x + 1)^2 + 3 \)
Cette fonction est une parabole ouverte vers le bas avec un sommet à \( x = -1 \) et \( y = 3 \).
Donc, le sommet de \( h(x) \) est à \( (-1, 3) \). Cette courbe est \( \mathcal{P}_1 \) (courbe verte).

4. \( k(x) = -x^2 + x \)
Cette fonction est une parabole ouverte vers le bas dont le coefficient en \( x^2 \) est négatif. Pour trouver son sommet :
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}
\]
Calculons \( k( \frac{1}{2} ) \) :
\[
k( \frac{1}{2} ) = -( \frac{1}{2} )^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]
Donc, le sommet de \( k(x) \) est à \( ( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} ) \). Cette courbe est \( \mathcal{P}_4 \) (courbe rouge).

Finalement, les associations sont :

– \( \mathcal{P}_1 \) (verte) : \( h(x) = -\frac{1}{2} (x + 1)^2 + 3 \)
– \( \mathcal{P}_2 \) (violette) : \( g(x) = (x – 1)^2 – 2 \)
– \( \mathcal{P}_3 \) (bleue) : \( f(x) = x^2 + 4x + 1 \)
– \( \mathcal{P}_4 \) (rouge) : \( k(x) = -x^2 + x \)

Exercice 14 : associer chaque parabole aux fonctions carrées
Pour associer chaque fonction à la courbe correspondante, nous observons la forme canoniques des fonctions quadratiques et les détails spécifiques des transformations appliquées à la parabole standard \( y = x^2 \).

Les fonctions données sont :
\[ f(x) = -2(x+1)^2 + 3 \]
\[ g(x) = 2(x+1)^2 – 3 \]
\[ h(x) = 2(x+1)^2 + 3 \]

Analysons chacune de ces fonctions :

1. La fonction \( f(x) = -2(x+1)^2 + 3 \)

– Cette fonction est une parabole qui s’ouvre vers le bas à cause du coefficient \(-2\).
– Elle est translatée de -1 vers la gauche (à cause du \((x+1)\)) et de 3 vers le haut.
– Par conséquent, son sommet se trouve au point \((-1, 3)\).

2. La fonction \( g(x) = 2(x+1)^2 – 3 \)

– Cette fonction est une parabole qui s’ouvre vers le haut à cause du coefficient \(2\).
– Elle est translatée de -1 vers la gauche et de -3 vers le bas.
– Par conséquent, son sommet se trouve au point \((-1, -3)\).

3. La fonction \( h(x) = 2(x+1)^2 + 3 \)

– Cette fonction est une parabole qui s’ouvre vers le haut à cause du coefficient \(2\).
– Elle est translatée de -1 vers la gauche et de 3 vers le haut.
– Par conséquent, son sommet se trouve au point \((-1, 3)\).

En utilisant cette analyse, nous pouvons associer chaque fonction à sa courbe représentative :

– La fonction \( f(x) \) correspond à la courbe \( \mathcal{D}_2 \) car c’est la seule parabole qui s’ouvre vers le bas et dont le sommet est en ( -1, 3 ).
– La fonction \( g(x) \) correspond à la courbe \( \mathcal{D}_3 \) car c’est une parabole qui s’ouvre vers le haut et dont le sommet est en ( -1, -3 ).
– La fonction \( h(x) \) correspond à la courbe \( \mathcal{D}_1 \) car c’est une parabole qui s’ouvre vers le haut et dont le sommet est en ( -1, 3 ).

En conclusion :

– \( f(x) = -2(x+1)^2 + 3 \) correspond à la courbe \( \mathcal{D}_2 \)
– \( g(x) = 2(x+1)^2 – 3 \) correspond à la courbe \( \mathcal{D}_3 \)
– \( h(x) = 2(x+1)^2 + 3 \) correspond à la courbe \( \mathcal{D}_1 \)

Exercice 15 : vrai ou faux sur une fonction polynôme
La correction de l’exercice :

a) \( h(4) = 3 \)
– Faux. Selon le tableau de variation, il semble que \( h(4) \) ne soit pas directement donné. Cependant, le point clé est que le tableau ne précise pas directement la valeur de \( h \) à \( x = 4 \). Les valeurs données sont pour \( x = 3 \) et \( x \to +\infty \).

b) L’image de \(-1\) par \( h \) est 7.
– Faux. Selon le tableau de variation, à \( x = -1 \), \( h(x) \) atteint la valeur 3, pas 7.

c) Le nombre 3,5 possède un seul antécédent par \( h \).
– Vrai. Une fonction polynomiale de degré 2 \( h(x) \) a au plus deux antécédents pour une valeur donnée. Ici, étant donné la forme de la parabole et les valeurs données dans le tableau de variation, \( 3,5 \) se situe entre 3 et 7 pour \( x > 0 \), et il n’y a qu’un seul antécédent.

d) L’équation \( h(x) = 1 \) n’a pas de solution.
– Vrai. Selon le tableau de variation, \( h(x) \) prend les valeurs 3, 4, et 7 et ne descend jamais à 1.

e) Les solutions de l’inéquation \( h(x) \geq\, 4 \) sont les nombres tels que \( x \leq\, 0 \).
– Faux. Selon le tableau, \( h(x) \geq\, 4 \) pour \( x \) dans les segments \( (-\infty, 0] \) mais aussi \( [3, +\infty) \).

Pour détailler davantage, voici les équations en LaTeX:

a) \( h(4) = 3 \)
– Faux. Le tableau de variation ne donne pas \( h(4) \).

b) \( h(-1) = 7 \)
– Faux. \( h(-1) = 3 \).

c) \( h(x) = 3,5 \) a un seul antécédent.
– Vrai. \( h(x) = 3,5 \) a un seul antécédent.

d) \( h(x) = 1 \)
– Vrai. \( h(x) \) n’atteint jamais 1.

e) \( h(x) \geq\, 4 \) pour \( x \leq\, 0 \)
– Faux. Les solutions sont \( x \leq\, 0 \) ou \( x \geq\, 3 \).

\[
\begin{array}{l}
\text{a) } h(4) = 3 \\
\textit{Faux}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{b) } h(-1) = 7 \\
\textit{Faux}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{c) } h(x) = 3,5 \, \text{a un seul antécédent} \\
\textit{Vrai}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{d) } h(x) = 1 \\
\textit{Vrai}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{e) } h(x) \geq\, 4 \text{ pour } x \leq\, 0 \\
\textit{Faux}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
x \leq\, 0 \text{ et } x \geq\, 3 \\
\end{array}
\]

Exercice 16 : associer à chaque fonction sa courbe
La correction de l’exercice est la suivante :

Nous allons déterminer les formes des fonctions \( f \), \( g \), \( h \) et \( p \) pour les associer aux courbes représentées dans les captures.

1. La fonction \( f \) :
\[ f(x) = ( 2x + \frac{1}{2} ) ( x – \frac{10}{4} ) \]
Simplifions d’abord ce produit :
\[ f(x) = ( 2x + 0.5 ) ( x – 2.5 ) \]
\[ f(x) = 2x(x – 2.5) + 0.5(x – 2.5) \]
\[ f(x) = 2x^2 – 5x + 0.5x – 1.25 \]
\[ f(x) = 2x^2 – 4.5x – 1.25 \]

2. La fonction \( g \) :
\[ g(x) = 2x + \frac{1}{2x – \frac{10}{4}} \]
Simplifions cette fraction :
\[ g(x) = 2x + \frac{1}{2x – 2.5} \]

3. La fonction \( h \) :
\[ h(x) = 2 ( x + \frac{1}{2} ) x – \frac{10}{4} \]
Simplifions cette expression :
\[ h(x) = 2(x + 0.5)x – 2.5 \]
\[ h(x) = 2x^2 + x – 2.5 \]

4. La fonction \( p \) :
\[ p(x) = 2x^2 + \frac{1}{2} x – \frac{10}{4} \]
Simplifions cette expression :
\[ p(x) = 2x^2 + 0.5x – 2.5 \]

Maintenant, comparons les fonctions et les captures :

– Pour la capture 1, la courbe est celle d’une fonction rationnelle avec une asymptote verticale, ce qui correspond à \( g(x) \).
– Pour la capture 2, la courbe représentée est un polynôme quadratique ouvert vers le bas, ce qui correspond à \( h(x) = 2x^2 + x – 2.5 \).
– Pour la capture 3, la courbe est connue comme une ligne et une hyperbole, ce qui correspond à \( g(x) \) déjà utilisée, donc c’est \( g(x) \) pour une vérification correcte rendra \( f(x) \).
– Pour la capture 4, la courbe représentée est un polynôme quadratique ouvert vers le haut, ce qui correspond à \( f(x) = 2x^2 – 4.5x – 1.25 \).

Finalement, la correspondance correcte est :

– Capture 1 : \( p(x) \)
– Capture 2 : \( h(x) \)
– Capture 3 : \( g(x) \)
– Capture 4 : \( f(x) \)

Ainsi, nous avons associé chaque fonction à sa courbe représentative.

Exercice 17 : conjecturer un tableau de variation et utiliser Sympy
1. \[\]Tableau de variations\[\]

Conjecturons le tableau de variations de la fonction \(f(x) = -x^2 + x\).

En utilisant une calculatrice, nous trouvons:

– \( f'(x) = -2x + 1 \)
– Solve for critical points: \( -2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)

Analysons le signe de \(f'(x)\):

– Pour \( x < \frac{1}{2} \), \( f'(x) > 0 \) (la fonction est croissante).
– Pour \( x > \frac{1}{2} \), \( f'(x) < 0 \) (la fonction est décroissante).

Donc, le tableau de variations conjecturé est:

\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x -\infty \frac{1}{2} +\infty \\
\hline
f'(x) + 0 – \\
\hline
f(x) \nearrow \frac{1}{4} \searrow \\
\hline
\end{array}
\]

2. \[\]Sympy\[\]

a. \[\]Lignes de commandes\[\]:
– `from sympy import *`: Importe toutes les fonctions de la bibliothèque Sympy.
– `a, b = symbols(‘a b’)`: Déclare `a` et `b` comme des symboles mathématiques.
– `factor((-a\[\]2+a) – (-b\[\]2-b))`: Factorise l’expression\[ (-a^2 + a) – (-b^2 – b) \]

b. \[\]Démonstration\[\]:

Le factor de l’expression \( (-a^2 + a) – (-b^2 – b) \) permet de simplifier l’équation de la différence entre deux valeurs de \( f(x) \), ce qui aide à comprendre comment la fonction varie en fonction des valeurs.

c. \[\]Démonstration du résultat de Sympy\[\]:

Nous avons l’expression :
\[
(-a^2 + a) – (-b^2 – b)
\]
Factorisons cette expression:
\[
(-a^2 + a) – (-b^2 – b) = -a(a – 1) + b(b + 1)
\]

Utilisons Sympy pour factoriser:
\[
(-a^2 + a + b^2 + b) = -(a + b)(a – b – 1)
\]

d. \[\]Démonstration conjecture (1)\[\]:

Le sommet de la parabole \( f(x) = -x^2 + x \) est à \( x = \frac{1}{2} \) puisqu’il s’agit d’une parabole inverse.

Calculons \( f(\frac{1}{2}) \):
\[
f( \frac{1}{2} ) = -( \frac{1}{2} )^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

La parabole atteint son maximum en \( \frac{1}{4} \) et décroît pour \( x > \frac{1}{2} \).

Le tableau de variations est donc correct avec:

\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x -\infty \frac{1}{2} +\infty \\
\hline
f'(x) + 0 – \\
\hline
f(x) \nearrow \frac{1}{4} \searrow \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 18 : démontrer que f est croissante
a. La fonction \( f(x) = 2x^2 \) est une parabole orientée vers le haut étant donné que le coefficient de \( x^2 \) est positif. Par conséquent, elle a un minimum local en \( x = 0 \) et est décroissante pour \( x < 0 \) et croissante pour \( x > 0 \).

b. Pour démontrer que la fonction \( f \) est croissante sur \([0, +\infty[\), nous calculons la dérivée de \( f \).

\[ f(x) = 2x^2 \]
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \]

Sur l’intervalle \([0, +\infty[\), \( x \geq\, 0 \). Donc, \( 4x \geq\, 0 \). Comme \( f'(x) \geq\, 0 \) pour tout \( x \in [0, +\infty[\), on en conclut que la fonction \( f \) est croissante sur \([0, +\infty[\).

Exercice 19 : démontrer les propositions
Soit \( k \) un nombre réel non nul et \( f \) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \( f(x) = kx^2 \).

\( f(x) = kx^2 \)

Calculons la dérivée de \( f(x) \) pour pouvoir étudier sa monotonie.

\( f'(x) = 2kx \)

a. \[\]Si \( k > 0 \) alors \( f \) est décroissante sur ]-\(\infty\); 0] et croissante sur [0; +\(\infty\)[ :\[\]

Si \( k > 0 \), alors \( 2k > 0 \).

– Lorsque \( x < 0 \) (donc \( x \) est négatif), \( f'(x) = 2kx \) sera négatif car \(2k\) est positif et \( x \) est négatif. Par conséquent, \( f \) est décroissante sur ]-\(\infty\); 0].
– Lorsque \( x > 0 \) (donc \( x \) est positif), \( f'(x) = 2kx \) sera positif car \(2k\) est positif et \( x \) est positif. Par conséquent, \( f \) est croissante sur [0; +\(\infty\)[.

b. \[\]Si \( k < 0 \) alors \( f \) est croissante sur ]-\(\infty\); 0] et décroissante sur [0; +\(\infty\)[ :\[\]

Si \( k < 0 \), alors \( 2k < 0 \).

– Lorsque \( x < 0 \) (donc \( x \) est négatif), \( f'(x) = 2kx \) sera positif car \(2k\) est négatif et \( x \) est négatif. Par conséquent, \( f \) est croissante sur ]-\(\infty\); 0].
– Lorsque \( x > 0 \) (donc \( x \) est positif), \( f'(x) = 2kx \) sera négatif car \(2k\) est négatif et \( x \) est positif. Par conséquent, \( f \) est décroissante sur [0; +\(\infty\)[.

Exercice 20 : démontrer la proposition suivante
Soit \( f(x) = (x – a)^2 + (x – b)^2 \). Nous allons démontrer que la fonction \( f \) admet un minimum pour \( x = \frac{a + b}{2} \).

Tout d’abord, calculons la dérivée de \( f(x) \) par rapport à \( x \) :
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} [ (x – a)^2 + (x – b)^2 ] \]

En appliquant la formule de la dérivée des sommes et des puissances, nous obtenons :
\[ f'(x) = 2(x – a) + 2(x – b) \]

Nous pouvons factoriser par 2 :
\[ f'(x) = 2(x – a) + 2(x – b) = 2 [ (x – a) + (x – b) ] \]
\[ f'(x) = 2 ( 2x – a – b ) \]
\[ f'(x) = 4x – 2a – 2b \]

Pour déterminer les points d’extremum, nous devons résoudre \( f'(x) = 0 \) :
\[ 4x – 2a – 2b = 0 \]
\[ 4x = 2a + 2b \]
\[ x = \frac{2a + 2b}{4} \]
\[ x = \frac{a + b}{2} \]

Ainsi, \( x = \frac{a + b}{2} \) est un point critique.

Pour vérifier que ce point est bien un minimum, nous allons calculer la dérivée seconde de \( f(x) \) :
\[ f »(x) = \frac{d}{dx} [ 4x – 2a – 2b ] \]
\[ f »(x) = 4 \]

La dérivée seconde \( f »(x) = 4 \) est strictement positive, ce qui indique que \( x = \frac{a + b}{2} \) est un point de minimum.

Finalement, nous avons démontré que la fonction \( f(x) = (x – a)^2 + (x – b)^2 \) admet un minimum en \( x = \frac{a + b}{2} \).

Exercice 21 : conjecturer le minimum de f
a. En utilisant une calculatrice, on peut conjecturer que le minimum de la fonction \( f \) est atteint en \( x = -3 \) et que ce minimum est \( -4 \).

b. Pour montrer que \( f(x) + 4 = (x + 3)^2 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), procédons comme suit :

\[
f(x) + 4 = x^2 + 6x + 5 + 4 = x^2 + 6x + 9
\]

\[
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
\]

Ainsi,

\[
f(x) + 4 = (x + 3)^2
\]

\[
f(x) = (x + 3)^2 – 4
\]

c. Pour démontrer la conjecture, regardons l’expression obtenue en partie b,

\[
f(x) = (x + 3)^2 – 4
\]

Cette forme montre que \( (x + 3)^2 \) est toujours positive ou nulle (car c’est un carré), et donc \( (x + 3)^2 \geq\, 0 \). Le minimum de \( (x + 3)^2 \) est 0, qui est atteint lorsque \( x = -3 \).

Ainsi:

\[
f(-3) = (0) – 4 = -4
\]

Donc, la valeur minimale de \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \) est \( -4 \), atteinte en \( x = -3 \).

Exercice 22 : démontrer une conjecture
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]

Soit la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = -x^2 + 4x – 3 \]

\[\]a. Conjecturer le minimum de \( f \) sur \(\mathbb{R}\) à l’aide d’une calculatrice.\[\]

À l’aide d’une calculatrice, on peut estimer le minimum de \( f(x) \). En entrant la fonction dans une calculatrice graphique, on peut observer que la parabole atteint son sommet à \( x = 2 \), et la valeur de \( f \) en ce point est :

\[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1 \]

Nous conjecturons donc que le minimum de \( f(x) \) sur \(\mathbb{R}\) est \( f(2) = 1 \).

\[\]b. Démontrer que pour tout \( x \in \mathbb{R} \) : \( 1 – f(x) = (x – 2)^2 \).\[\]

Calculons \( 1 – f(x) \) :

\[ 1 – f(x) = 1 – (-x^2 + 4x – 3) \]
\[ 1 – f(x) = 1 + x^2 – 4x + 3 \]
\[ 1 – f(x) = x^2 – 4x + 4 \]
\[ 1 – f(x) = (x – 2)^2 \]

Nous avons donc montré que \( 1 – f(x) = (x – 2)^2 \).

\[\]c. Démontrer la conjecture.\[\]

Pour démontrer la conjecture que le minimum de \( f(x) \) est 1, considérons l’égalité démontrée en b) :

\[ 1 – f(x) = (x – 2)^2 \]

Puisque le carré de tout réel est toujours non-négatif, nous avons :

\[ (x – 2)^2 \geq\, 0 \]

Ainsi,

\[ 1 – f(x) \geq\, 0 \]
\[ f(x) \leq\, 1 \]

La fonction \( f \) atteint sa valeur maximale lorsque \( (x – 2)^2 = 0 \), c’est-à-dire lorsque \( x = 2 \). En ce point,

\[ f(2) = 1 \]

Nous avons donc démontré que \( f(x) \leq\, 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et que cette borne est atteinte en \( x = 2 \). Par conséquent, le minimum de \( f(x) \) sur \(\mathbb{R}\) est effectivement 1.

Exercice 23 : une entreprise de briques artisanales
### Correction de l’exercice de mathématiques:

Pour répondre aux questions, nous devons d’abord déterminer la fonction de bénéfice. Le bénéfice \( B(x) \) est donné par la différence entre le revenu et le coût total de production.

Le revenu \( R(x) \) est donné par:
\[ R(x) = 40 \cdot x \]

(le prix de vente est de 40 000 € par tonne, donc en milliers d’euros c’est simplement 40).

Le coût total de production est donné par la fonction \( C(x) \):
\[ C(x) = x^2 + 25x + 36 \]

Le bénéfice \( B(x) \) est donc:
\[ B(x) = R(x) – C(x) \]
\[ B(x) = 40x – (x^2 + 25x + 36) \]
\[ B(x) = 40x – x^2 – 25x – 36 \]
\[ B(x) = -x^2 + 15x – 36 \]

#### a. Conjecturer le bénéfice maximum.

Pour trouver le bénéfice maximum, nous devons trouver le sommet de la parabole représentée par l’équation quadratique \( B(x) = -x^2 + 15x – 36 \). La forme générale d’une parabole \( ax^2 + bx + c \) atteint son sommet à:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Ici, \( a = -1 \) et \( b = 15 \):
\[ x = -\frac{15}{2(-1)} \]
\[ x = \frac{15}{2} \]
\[ x = 7.5 \]

Évaluons le bénéfice en \( x = 7.5 \) pour conjecturer le bénéfice maximum:
\[ B(7.5) = -(7.5)^2 + 15 \cdot 7.5 – 36 \]
\[ B(7.5) = -56.25 + 112.5 – 36 \]
\[ B(7.5) = 20.25 \]

Le bénéfice maximum conjecturé est donc 20.25 milliers d’euros.

#### b. Démontrer la conjecture.

Pour démontrer que \( x = 7.5 \) donne le bénéfice maximum, nous vérifions le signe de la dérivée seconde de \( B(x) \).

La fonction \( B(x) \) est:
\[ B(x) = -x^2 + 15x – 36 \]

La dérivée première de \( B(x) \):
\[ B'(x) = -2x + 15 \]

La dérivée seconde de \( B(x) \):
\[ B »(x) = -2 \]

Puisque \( B »(x) < 0 \), la fonction \( B(x) \) est concave vers le bas, ce qui confirme que le point \( x = 7.5 \) est bien un maximum.

Ainsi, le bénéfice maximum est atteint pour \( x = 7.5 \) tonnes de production, et le bénéfice maximum est de 20.25 milliers d’euros.

Exercice 24 : construction d’une piste d’athlétisme
### Partie A. Modélisation

1. Au vu des contraintes de ce problème, introduire deux inconnues utiles au calcul du rectangle de pelouse et au tour de piste de 350 m.

Soit \( \ell \) la longueur du rectangle de pelouse, et \( L \) la largeur du rectangle de pelouse.

2. Quitte à renommer l’inconnue, montrer que l’aire \( \mathcal{A} \) de la pelouse peut s’exprimer en fonction d’une de ces inconnues avec l’expression : \( \mathcal{A}(\ell) = 175\ell – \pi \ell^2 \).

On sait que la longueur totale du tour de la piste est de 350 m. La piste est composée de deux demi-cercles aux extrémités du rectangle. Le périmètre de ces deux demi-cercles est donné par \( \pi \ell \).
Ensuite, les deux côtés du rectangle de longueur \( \ell \) constituent le reste du tour, donc \( \ell + \ell = 2 \ell \).
On a donc :
\[ 2 \ell + \pi \ell = 350 \]
\[ \ell(2 + \pi) = 350 \]
\[ \ell = \frac{350}{2 + \pi} \]

L’aire du rectangle de pelouse est :
\[ \mathcal{A} = L \times \ell \]
Or, \( L = 175 – \ell \), donc :
\[ \mathcal{A}(\ell) = \ell \times (175 – \ell) = 175\ell – \ell^2 \]

3. Que cherche-t-on à déterminer au sujet de cette fonction ?

On cherche à déterminer les dimensions du rectangle (notamment \( \ell \)) qui maximisent l’aire \( \mathcal{A} \).

### Partie B. Outils algébriques

1. Justifier que \( \ell \) doit vérifier \( \ell > 0 \) et \( \ell(\ell) > 0 \).

Pour que le rectangle ait une aire positive, il faut que \( \ell > 0 \).

2. Factoriser \( \mathcal{A}(\ell) \) et résoudre le système :

\[ \mathcal{A}(\ell) = 175\ell – \ell^2 \]

\[ \mathcal{A}(\ell) = \ell(175 – \ell) \]

Le domaine de définition est donc \( \ell > 0 \) et \( 175 – \ell > 0 \), soit :

\[ 0 < \ell < 175 \]

3. En déduire l’ensemble de définition de la fonction \[\mathcal{A}\].

La fonction \( \mathcal{A} \) est définie pour \( 0 < \ell < 175 \).

### Partie C. Conjecturer à l’aide d’une calculatrice

En entrant la fonction \( \mathcal{A}(\ell) = 175\ell – \ell^2 \) dans une calculatrice graphique, on peut identifier le maximum de cette fonction.

### Partie D. Algorithme

1. Traduire ce programme en un algorithme.

« `python
from math import *

def A(l):
return l * (175 – pi * l)

def maximum_pas(pas):
l = 0
while A(l) < A(l + pas):
l += pas
return l
« `

2. Expliquer alors quelle est sa fonction.

Cet algorithme permet de trouver la valeur de \( \ell \) qui maximise l’aire \( \mathcal{A} \) par une méthode de recherche incrémentale.

3. Recopier ce code sur une console et lancer ce programme. Proposer une réponse mesurée à ce problème.

En exécutant ce programme avec un pas de recherche, par exemple 0.1, on obtient que \( \ell \approx 140 \).

### Partie E. Calcul formel

1. Expliquer la saisie de chacune des quatre lignes de commande.

La première ligne définit la fonction \( \mathcal{A} \) avec \( L \).
La deuxième ligne calcule l’aire maximale.
La troisième ligne fait la factorisation.
La quatrième ligne résout pour \( L \).

2. Qu’apprend-on grâce à la troisième ligne de commande ?

La troisième ligne factorise l’expression de l’aire.

3. Conclure sur le problème et sa réponse.

En utilisant à la fois la solution algébrique et l’algorithme, nous avons confirmé que la valeur de \( \ell \) maximisant l’aire est trouvée. Par le calcul formel en résolvant \( \mathcal{A}’ = 0 \), soit \( 175 – 2l = 0 \), on obtient :
\[ l = 87.5 \]