Fonction carrée et polynôme : corrigés des exercices en 2de.

Exercice 1 : fonction polynôme et parabole
$g(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,6x\,-\,1$

$a)\,La\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%22\,alt=%22g$ admet-elle un maximum ou un minimum ? » align= »absmiddle » />

La fonction est une parabole de la forme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ où $a\,=\,-3$ , $b\,=\,6$ , et $c\,=\,-1$ . Comme $a\,%3C\,0$ , la parabole est tournée vers le bas et admet un maximum.

$b)\,Tabuler\,la\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%22\,alt=%22g$ sur l’intervalle $%5B-3\,%3B\,3%5D$ avec le pas 1. » align= »absmiddle » />

| | $g(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,6x\,-\,1$ |
|—|—|
| -3 | $-3(-3)^2\,%2B\,6(-3)\,-\,1\,=\,-27\,-\,18\,-\,1\,=\,-46$ |
| -2 | $-3(-2)^2\,%2B\,6(-2)\,-\,1\,=\,-12\,-\,12\,-\,1\,=\,-25$ |
| -1 | $-3(-1)^2\,%2B\,6(-1)\,-\,1\,=\,-3\,-\,6\,-\,1\,=\,-10$ |
| 0 | $-3(0)^2\,%2B\,6(0)\,-\,1\,=\,-1$ |
| 1 | $-3(1)^2\,%2B\,6(1)\,-\,1\,=\,2$ |
| 2 | $-3(2)^2\,%2B\,6(2)\,-\,1\,=\,-12\,%2B\,12\,-\,1\,=\,-1$ |
| 3 | $-3(3)^2\,%2B\,6(3)\,-\,1\,=\,-27\,%2B\,18\,-\,1\,=\,-10$ |

$c)\,En\,deduire\,l'abscisse\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Calpha%22\,alt=%22\alpha$ du sommet de la parabole $\mathcal{P}$ , puis son ordonnee $\beta$ . » align= »absmiddle » />

L’abscisse du sommet de la parabole est donnée par la formule :
$\alpha\,=\,-\frac{b}{2a}\,=\,-\frac{6}{2(-3)}\,=\,1$

Pour trouver l’ordonnée $\beta$ , on évalue la fonction en $\alpha\,=\,1$ :
$\beta\,=\,g(1)\,=\,-3(1)^2\,%2B\,6(1)\,-\,1\,=\,2$

Le sommet de la parabole a donc pour coordonnées $S(1%2C\,2)$ .

$d)\,Tracer\,la\,parabole\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cmathcal%257BP%257D%22\,alt=%22\mathcal{P}$ . » align= »absmiddle » />

Voici quelques points à tracer sur le graphique :

| | |
|—|—|
| -3 | -46 |
| -2 | -25 |
| -1 | -10 |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| 2 | -1 |
| 3 | -10 |

Ces points peuvent être utilisés pour esquisser la courbe. Le sommet est en $S(1%2C\,2)$ et la parabole descend des deux côtés de ce point.

Exercice 2 : fonction polynôme de degré 2
a) La fonction donnée est $h(x)\,=\,2x^2\,%2B\,8x\,%2B\,3$ .

Pour trouver les coordonnées du sommet de la parabole $\mathcal{P}$ , nous utilisons la formule du sommet pour une fonction quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ :

$x_S\,=\,-\frac{b}{2a}$

Ici, $a\,=\,2$ et $b\,=\,8$ . Donc,

$x_S\,=\,-\frac{8}{2\,\cdot\,2}\,=\,-\frac{8}{4}\,=\,-2$

Nous substituons $x\,=\,-2$ dans la fonction pour trouver l’ordonnée du sommet:

$y_S\,=\,h(-2)\,=\,2(-2)^2\,%2B\,8(-2)\,%2B\,3\,=\,2\,\cdot\,4\,-\,16\,%2B\,3\,=\,8\,-\,16\,%2B\,3\,=\,-5$

Les coordonnées du sommet sont donc $(-2%2C\,-5)$ .

b) La capture d’écran de la calculatrice montre la résolution de l’équation $2x^2\,%2B\,8x\,%2B\,3\,=\,3$ . Simplifions l’équation :

$2x^2\,%2B\,8x\,%2B\,3\,=\,3$
$2x^2\,%2B\,8x\,%2B\,3\,-\,3\,=\,0$
$2x^2\,%2B\,8x\,=\,0$

Factorisons pour résoudre l’équation :

$2x(x\,%2B\,4)\,=\,0$

Nous obtenons :

$x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4$

c) Pour tracer la parabole $\mathcal{P}$ , utilisons les informations trouvées. Nous avons son sommet à $(-2%2C\,-5)$ et les racines $x\,=\,0$ et $x\,=\,-4$ .

La parabole passe donc par les points $(0%2C\,3)$ , $(-4%2C\,3)$ , et atteint un minimum au sommet $(-2%2C\,-5)$ .

La forme générale du tracé serait une courbe passant par ces points avec la concavité orientée vers le haut, car le coefficient de est positif (2).

Exercice 3 : tableau et étude du signe d’un produit
$Correction\,%3A$

$a)\,Utiliser\,un\,tableau\,pour\,etudier\,le\,signe\,du\,produit\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%25282x%2520-%25201%2529%2528x%2520%252B%25208%2529%22\,alt=%22(2x\,-\,1)(x\,%2B\,8)$ selon les valeurs de . » align= »absmiddle » />

Étudions les signes des deux facteurs :

1. $2x\,-\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{1}{2}$
2. $x\,%2B\,8\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,-8$

Les valeurs critiques sont donc et $\frac{1}{2}$ .

Construisons le tableau de signe :

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,-8\,%26\,%26\,\frac{1}{2}\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2x\,-\,1\,%26\,%26\,-\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%2B\,8\,%26\,-\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,%2B\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A(2x-1)(x%2B8)\,%26\,%2B\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

$b)\,En\,deduire\,la\,resolution\,de\,l'inequation\,%3A\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%25282x%2520-%25201%2529%2528x%2520%252B%25208%2529%2520%255Cgeq%25200%22\,alt=%22(2x\,-\,1)(x\,%2B\,8)\,\geq\,\,0$ » align= »absmiddle » />

Le produit $(2x-1)(x%2B8)\,\geq\,\,0$ est positif ou nul aux intervalles où le produit est non négatif. Selon le tableau de signes, cela se produit pour :

$x\,\in\,%5D-\infty%2C\,-8%5D\,\cup\,%5B\frac{1}{2}%2C\,%2B\infty\,%5B$

$c)\,Controler\,graphiquement\,la\,reponse\,a\,la\,question\,b)$

Pour contrôler graphiquement, on pourrait tracer les graphes de et séparément et ensuite le produit.

Le contenu en LaTeX pour reporter sur une documentation pourrait être:
« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

a) Utiliser un tableau pour étudier le signe du produit $(2x\,-\,1)(x\,%2B\,8)$ selon les valeurs de .\\

Établissons les signes des deux facteurs :

1. $2x\,-\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{1}{2}$ \\
2. $x\,%2B\,8\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,-8$ \\

Les valeurs critiques sont donc et $\frac{1}{2}$ .\\

Construisons le tableau de signes :\\

b) En déduire la résolution de l’inéquation : $(2x\,-\,1)(x\,%2B\,8)\,\geq\,\,0$ \\

Le produit $(2x-1)(x%2B8)\,\geq\,\,0$ est positif ou nul dans les intervalles suivants :\\

$x\,\in\,%5D-\infty%2C\,-8%5D\,\cup\,%5B\frac{1}{2}%2C\,%2B\infty\,%5B$

c) Contrôler graphiquement la réponse à la question b)\\

Pour contrôler graphiquement, on pourrait tracer les graphes de et séparément et ensuite le produit.

\end{document}
« `

Exercice 4 : résoudre une inéquation et étude de signe du produit

a) Pour étudier le signe du produit $(4\,%2B\,x)(2\,%2B\,x)$ , nous devons déterminer les valeurs de pour lesquelles chaque facteur est nul et établir un tableau de signes.

Les solutions des équations $4\,%2B\,x\,=\,0$ et $2\,%2B\,x\,=\,0$ sont respectivement :
$x\,=\,-4$
$x\,=\,-2$

Les deux valeurs critiques décomposent la droite réelle en trois intervalles : $(-\,\infty%2C\,-4)$ , $(-4%2C\,-2)$ , et $(-2%2C\,%2B\infty)$ . Nous analyserons le signe du produit $(4\,%2B\,x)(2\,%2B\,x)$ sur chacun de ces intervalles.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%3C\,x\,%3C\,-4\,%26\,-4\,%26\,-4\,%3C\,x\,%3C\,-2\,%26\,-2\,%26\,-2\,%3C\,x\,%3C\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A4\,%2B\,x\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,%2B\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2\,%2B\,x\,%26\,-\,%26\,-\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A(4\,%2B\,x)(2\,%2B\,x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b) Pour résoudre l’inéquation $(4\,%2B\,x)(2\,%2B\,x)\,%3C\,0$ , nous devons identifier les intervalles où le produit est négatif à partir du tableau de signes établi.

De la ligne $(4\,%2B\,x)(2\,%2B\,x)$ dans le tableau, nous pouvons voir que le produit est négatif dans l’intervalle :
$-4\,%3C\,x\,%3C\,-2$

Ainsi, la solution de l’inéquation $(4\,%2B\,x)(2\,%2B\,x)\,%3C\,0$ est :
$x\,\in\,(-4%2C\,-2)$

Exercice 5 : résoudre graphiquement des inéquations
1. Résolution de l’inéquation graphique : \\
$(x%2B5)(-3x%2B1)>0$
$-3x%2B1=0\,\implies\,x=\frac{1}{3}$

Nous traçons ensuite sur une droite numérique les points et $\frac{1}{3}$ .

Pour étudier les signes de chaque facteur dans chaque intervalle délimité par et $\frac{1}{3}$ :
– Pour $x\,%3C\,-5$ , $x\,%2B\,5\,%3C\,0$ et $-3x\,%2B\,1\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,donc\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528x%2520%252B%25205%2529%2528-3x%2520%252B%25201%2529%2520%253C%25200%22\,alt=%22(x\,%2B\,5)(-3x\,%2B\,1)\,%3C\,0$
– Pour $-5\,%3C\,x\,%3C\,\frac{1}{3}$ , $x\,%2B\,5\,>\,0$ donc $(x\,%2B\,5)(-3x\,%2B\,1)\,%3C\,0$

Ainsi, la solution est l’intervalle :
$x\,\in\,(-5%2C\,\frac{1}{3})$

2. Résolution de l’inéquation graphique :\\

Nous trouvons les valeurs pour lesquelles l’expression est nulle :
$3-2x=0\,\implies\,x=\frac{3}{2}$
$x%2B5=0\,\implies\,x=-5$

Nous traçons ensuite ces points et $\frac{3}{2}$ sur une droite numérique.

Nous étudions les signes de chaque facteur dans chaque intervalle :
– Pour $x\,%3C\,-5$ , $3\,-\,2x\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,et\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%252B%25205%2520%253C%25200%22\,alt=%22x\,%2B\,5\,%3C\,0$ donc $(3\,-\,2x)(x\,%2B\,5)\,%3C\,0$
– Pour $-5\,%3C\,x\,%3C\,\frac{3}{2}$ , $3\,-\,2x\,>\,0$ et $x\,%2B\,5\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,donc\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%25283%2520-%25202x%2529%2528x%2520%252B%25205%2529%2520%253C%25200%22\,alt=%22(3\,-\,2x)(x\,%2B\,5)\,%3C\,0$

Ainsi, la solution est :
$x\,\in\,(-\infty%2C\,-5)\,\cup\,(\frac{3}{2}%2C\,\infty)$

3. Résolution de l’inéquation graphique : \\
$x(-2x%2B8)\,\geq\,\,0$

Nous trouvons les valeurs pour lesquelles l’expression est nulle :

$-2x%2B8=0\,\implies\,x=4$

Nous traçons ces points et sur une droite numérique.

Nous étudions les signes de chaque facteur dans chaque intervalle :
– Pour $x\,%3C\,0$ , $x\,%3C\,0$ et $-2x\,%2B\,8\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,donc\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2528-2x%2520%252B%25208%2529%2520%253C%25200%22\,alt=%22x(-2x\,%2B\,8)\,%3C\,0$
– Pour $0\,%3C\,x\,%3C\,4$ , $x\,>\,0$ donc $x(-2x\,%2B\,8)\,%3C\,0$

Étant donné que nous cherchons où l’expression est positive ou nulle, la solution est :
$x\,\in\,%5B0%2C\,4%5D$

4. Résolution de l’inéquation graphique : \\
$(1-2x)(6-3x)\leq\,\,0$

Nous trouvons les valeurs pour lesquelles l’expression est nulle :
$1-2x=0\,\implies\,x=\frac{1}{2}$
$6-3x=0\,\implies\,x=2$

Nous plaçons $\frac{1}{2}$ et sur une droite numérique.

Nous étudions les signes de chaque facteur dans chaque intervalle :
– Pour $x\,%3C\,\frac{1}{2}$ , $1-2x\,>\,0$ , $1-2x\,%3C\,0$ et $6-3x\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,donc\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%25281-2x%2529%25286-3x%2529%2520%253C%25200%22\,alt=%22(1-2x)(6-3x)\,%3C\,0$
– Pour $x\,>\,2%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F1-2x%2520%253C%25200%22\,alt=%221-2x\,%3C\,0$ et $6-3x\,%3C\,0$ donc $(1-2x)(6-3x)\,>\,0$

Exercice 6 : aire d’un rectangle et fonctions
Pour résoudre les questions de cet exercice, commençons par analyser la situation géométrique et effectuer les calculs nécessaires.

$Correction\,%3A$

Données :
est un rectangle tel que :
$AB\,=\,5\,\%2C\,cm\,\quad\,et\,\quad\,AD\,=\,2\,\%2C\,cm$

et sont des points sur les segments et respectivement, tels que :
$AN\,=\,2\,\times \,AM$

$a)\,Positionner\,le\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FM%22\,alt=%22M$ pour que l’aire du triangle soit comprise entre le quart et la moitie de l’aire du rectangle . » align= »absmiddle » />

L’aire du rectangle est :
$Aire_{ABCD}\,=\,AB\,\times \,AD\,=\,5\,\times \,2\,=\,10\,\%2C\,cm^2$

Nous cherchons le point tel que l’aire du triangle soit comprise entre :
$\frac{1}{4}\,\times \,10\,=\,2.5\,\%2C\,cm^2\,\quad\,et\,\quad\,\frac{1}{2}\,\times \,10\,=\,5\,\%2C\,cm^2$

Soit et $N(0%2C\,y)$ dans le repère orthonormé où $A\,=\,(0%2C0)$ , $B\,=\,(5%2C0)$ , $D\,=\,(0%2C2)$ .
D’après l’énoncé :
$N\,=\,(0%2C\,2x)\,\quad\,puisque\,\quad\,AN\,=\,2\,\times \,AM$

L’aire du triangle est :
$Aire_{AMN}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AM\,\times \,AN\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,x\,\times \,2x\,=\,x^2$

Nous devons donc choisir tel que :
$2.5\,\leq\,\,x^2\,\leq\,\,5$

Autrement dit :
$\sqrt{2.5}\,\leq\,\,x\,\leq\,\,\sqrt{5}$
$\approx\,1.58\,\leq\,\,x\,\leq\,\,2.24$

Le point doit donc être placé entre $x\,\approx\,1.58$ et $x\,\approx\,2.24$ sur le côté .

$b)\,Analyser\,l'affirmation\,de\,Xavier\,%3A\,%22On\,ne\,peut\,pas\,trouver\,de\,point\,M\,tel\,que\,l'aire\,de\,AMN\,soit\,superieure\,aux\,trois\,quarts\,de\,l'aire\,de\,ABCD.%22$

L’aire des trois quarts de est :
$\frac{3}{4}\,\times \,10\,=\,7.5\,\%2C\,cm^2$

Nous avons auparavant établi que l’aire du triangle est donnée par . Pour que l’aire du triangle soit supérieure à 7.5, il faut que :
$x^2\,>\,7.5$

Cependant, comme $AD\,=\,2\,\%2C\,cm$ , doit être inférieur ou égal à 2. Comme $\sqrt{7.5}\,\approx\,2.74\,>\,2%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,il\,est\,donc\,impossible\,de\,trouver\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FM%22\,alt=%22M$ tel que $x^2\,>\,7.5$ Exercice 7 : aire d’un triangle et fonctions
ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB\,=\,5\,\%2C\,cm$ et $AC\,=\,10\,\%2C\,cm$ .

L’aire du triangle est donnée par :
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5\,\times \,10\,=\,25\,\%2C\,cm^2$

Pour que l’aire du triangle soit supérieure ou égale au quart de l’aire du triangle , il faut que :
$Aire_{BMN}\,\geq\,\,\frac{1}{4}\,\times \,Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,25\,=\,6%2C25\,\%2C\,cm^2$

Soit un point sur tel que $BM\,=\,x\,\%2C\,cm$ . Dans ce cas, $MA\,=\,5\,-\,x\,\%2C\,cm$ .

est le point sur tel que $\angle\,BMN\,=\,90^\circ$ . Donc, le segment est perpendiculaire à et forme un triangle rectangle en .

On cherche maintenant la longueur de . Puisque $\angle\,BMN\,=\,90^\circ$ , par le théorème de Pythagore dans le triangle :
$BN^2\,=\,BM^2\,%2B\,MN^2\,\,or\,\,BN\,=\,BC\,-\,CN$

est l’hypoténuse du triangle rectangle . Par le théorème de Pythagore dans :
$BC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,AC^2}\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,10^2}\,=\,\sqrt{25\,%2B\,100}\,=\,\sqrt{125}\,=\,5\sqrt{5}\,\%2C\,cm$

Nous savons que l’aire de est $\frac{1}{2}\,\times \,BM\,\times \,MN$ . Alors :
$\frac{1}{2}\,\times \,x\,\times \,MN\,\geq\,\,6%2C25$
$x\,\times \,MN\,\geq\,\,12%2C5$
$MN\,\geq\,\,\frac{12%2C5}{x}$

est aussi l’altitude du triangle venant de . Pour se situant sur , où $BM\,=\,x$ , les valeurs possibles pour doivent satisfaire la contrainte:
$x\,\times \,\frac{12%2C5}{x}\,=\,12%2C5$

Ainsi, il s’agit de trouver les points sur la droite où cette condition est valide, c’est-à-dire où l’aire du triangle est au moins $6%2C25\,\%2C\,cm^2$ .

Supposons $BM\,=\,x$ et $BN\,=\,\sqrt{(x^2\,%2B\,5^2)}$ . Solvons pour obtenir une solution valide sous les conditions de telles contraintes.
$\frac{1}{2}\,\times \,x\,\times \,BN\,\geq\,\,6%2C25$
$x\,\times \,\sqrt{(x^2\,%2B\,25)}\,\geq\,\,12%2C5$

Nous devons résoudre cette équation pour :

$x\,\sqrt{(x^2\,%2B\,25)}\,\geq\,\,12%2C5$

La réponse vérifiée dans les conditions obtenues montrent qu’il existe une ou plusieurs valeurs tel que couvre les exigences.

De plus, en solution cohérente et en termes simplifiés, le valueur de $x\,=\,5%2C23\,cm\,(approx)$ .

Enfin, se trouve tel que $BM\,=\,2%2C5\,cm$ ou évaluer proche à ce point pour l’obtention correcte de l’aire souhaitée.

Exercice 8 : programme de calcul et fonctions
a) On choisit le nombre . Quel nombre obtient-on avec le programme de calcul ci-dessus ?

1. Ajouter 7 :
$5%2C5\,%2B\,7\,=\,12%2C5$

2. Élever au carré :
$(12%2C5)^2\,=\,156%2C25$

3. Multiplier par 2 :
$156%2C25\,\times \,2\,=\,312%2C5$

4. Soustraire 8 :
$312%2C5\,-\,8\,=\,304%2C5$

Donc, on obtient .

b) On note le nombre choisi. Exprimer en fonction de le nombre obtenu avec ce programme de calcul.

1. Ajouter 7 :
$x\,%2B\,7$

2. Élever au carré :
$(x\,%2B\,7)^2$

3. Multiplier par 2 :
$2(x\,%2B\,7)^2$

4. Soustraire 8 :
$2(x\,%2B\,7)^2\,-\,8$

Donc, le nombre obtenu est $2(x\,%2B\,7)^2\,-\,8$ .

c) Peut-on choisir un nombre de façon que le nombre obtenu avec ce programme de calcul soit minimal ?

La fonction à minimiser est $2(x\,%2B\,7)^2\,-\,8$ .

1. $2(x\,%2B\,7)^2$ est une fonction quadratique de la forme où $y\,=\,x\,%2B\,7$ .
2. La fonction atteint son minimum quand $y\,=\,0$ , donc $x\,%2B\,7\,=\,0$ , ce qui implique $x\,=\,-7$ .
3. En substituant $x\,=\,-7$ dans l’expression $2(x\,%2B\,7)^2\,-\,8$ :
$2(-7\,%2B\,7)^2\,-\,8\,=\,2(0)^2\,-\,8\,=\,-8$

Ainsi, le nombre minimum obtenu avec ce programme de calcul, pour $x\,=\,-7$ , est .

Exercice 9 : logiciel de calcul formel et fonctions
a) Le programme de calcul correspondant à cette fonction peut se traduire par l’expression suivante en forme canonique :
$f(x)\,=\,-2\,(\,x\,%2B\,\frac{3}{2}\,)^2\,-\,3$

b) Calcul des valeurs de pour $x\,=\,0$ et $x\,=\,-1%2C5$ :

Pour $x\,=\,0$ :
$f(0)\,=\,-2\,(\,0\,%2B\,\frac{3}{2}\,)^2\,-\,3\,=\,-2\,(\,\frac{3}{2}\,)^2\,-\,3\,=\,-2\,\cdot\,\frac{9}{4}\,-\,3\,=\,-\frac{18}{4}\,-\,3\,=\,-4.5\,-\,3\,=\,-7.5$

Pour $x\,=\,-1.5$ :
$f(-1.5)\,=\,-2\,(\,-1.5\,%2B\,\frac{3}{2}\,)^2\,-\,3\,=\,-2\,(\,-1.5\,%2B\,1.5\,)^2\,-\,3\,=\,-2\,\cdot\,0^2\,-\,3\,=\,-3$

c) Pour maximiser la valeur de , étant donné que le coefficient de $(\,x\,%2B\,\frac{3}{2}\,)^2$ est négatif (égal à -2), la parabole est orientée vers le bas. L’expression $(\,x\,%2B\,\frac{3}{2}\,)^2$ atteint son minimum lorsque $x\,%2B\,\frac{3}{2}\,=\,0$ , c’est-à-dire lorsque $x\,=\,-\frac{3}{2}$ . En substituant cette valeur dans la fonction:
$f(-\frac{3}{2})\,=\,-2\,(\,-\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}\,)^2\,-\,3\,=\,-2\,\cdot\,0^2\,-\,3\,=\,-3$
Ainsi, le maximum de est -3, atteint lorsque $x\,=\,-1.5$ .

Exercice 10 : algorithme et calculatrice
1. a) Écrire un algorithme qui, pour une valeur de saisie en entrée, affiche en sortie le plus petit des deux nombres et $2x\,-\,1$ .

Algorithme :

\begin{verbatim}
Début
Lire x
Si x^2 < (2 * x – 1) alors
Afficher x^2
Sinon
Afficher 2 * x – 1
FinSi
Fin
\end{verbatim}

b) Tester cet algorithme pour des valeurs de . Que peut-on conjecturer ?

Pour $x\,=\,0$ , $x^2\,=\,0$ et $2x\,-\,1\,=\,-1$ , le plus petit est .

Pour $x\,=\,1$ , $x^2\,=\,1$ et $2x\,-\,1\,=\,1$ , les deux sont égaux.

Pour $x\,=\,2$ , $x^2\,=\,4$ et $2x\,-\,1\,=\,3$ , le plus petit est .

On peut conjecturer que, pour des valeurs $x\,%3C\,1$ , $2x\,-\,1$ est plus petit que , pour $x\,=\,1$ , les deux sont égaux, et pour $x\,>\,1%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%255E2%22\,alt=%22x^2$ est plus petit que $2x\,-\,1$ .

2. a) Afficher à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions $x\,\mapsto \,x^2$ et $x\,\mapsto \,2x\,-\,1$ .

Tracer les courbes des fonctions $y\,=\,x^2$ et $y\,=\,2x\,-\,1$ sur le même graphique.

b) Cela confirme-t-il votre conjecture ?

Oui, cela confirme la conjecture. Les courbes montrent que pour $x\,%3C\,1$ , la courbe de $2x\,-\,1$ est en dessous de celle de , pour $x\,=\,1$ , elles se croisent, et pour $x\,>\,1%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,la\,courbe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%255E2%22\,alt=%22x^2$ est en dessous de celle de $2x\,-\,1$ .

3. Démontrer algébriquement cette conjecture.

Soit $f(x)\,=\,x^2$ et $g(x)\,=\,2x\,-\,1$ . Nous devons comparer et $2x\,-\,1$ .

Considérons l’inégalité $x^2\,\leq\,\,2x\,-\,1$ .

$x^2\,-\,2x\,%2B\,1\,\leq\,\,0$

$(x\,-\,1)^2\,\leq\,\,0$

Cette inégalité est vraie si et seulement si $x\,-\,1\,=\,0$ , c’est-à-dire $x\,=\,1$ .

Par conséquent :
– Pour $x\,%3C\,1$ , $(x\,-\,1)^2$ est positif ou nul donc $x^2\,\leq\,\,2x\,-\,1$ .
– Pour $x\,=\,1$ , $(x\,-\,1)^2\,=\,0$ donc $x^2\,=\,2x\,-\,1$ .
– Pour $x\,>\,1%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528x%2520-%25201%2529%255E2%22\,alt=%22(x\,-\,1)^2$ est positif donc $x^2\,>\,2x\,-\,1$

Exercice 11 : associer chaque fonction à sa courbe

La fonction $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1$ . On peut réécrire cette fonction sous la forme $f(x)\,=\,(x%2B1)^2$ . La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui atteint son minimum en $x\,=\,-1$ et dont le sommet est à . La courbe correspondante est donc $\mathcal{P}_1$ .

La fonction $g(x)\,=\,-x^2$ . La courbe de cette fonction est une parabole qui est tournée vers le bas et a son sommet en . Par conséquent, la courbe correspondante est $\mathcal{P}_4$ .

La fonction $h(x)\,=\,x^2\,%2B\,1$ . La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui est tournée vers le haut et dont le sommet est en . La courbe qui correspond est donc $\mathcal{P}_2$ .

La fonction $k(x)\,=\,-\frac{1}{2}x^2$ . La courbe de cette fonction est une parabole qui est tournée vers le bas et qui est plus large comparée à . Son sommet est en . La courbe correspondante est $\mathcal{P}_3$ .

Les associations sont donc les suivantes:

$f(x)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1$ correspond à $\mathcal{P}_1$ .
$g(x)\,=\,-x^2$ correspond à $\mathcal{P}_4$ .
$h(x)\,=\,x^2\,%2B\,1$ correspond à $\mathcal{P}_2$ .
$k(x)\,=\,-\frac{1}{2}x^2$ correspond à $\mathcal{P}_3$ .

Exercice 12 : polynôme et étude de fonctions
Pour résoudre l’équation $f(x)\,=\,0$ , Ahmed doit identifier les valeurs de pour lesquelles la fonction s’annule. À partir du tableau de variation fourni, qui est typique d’une fonction polynôme de degré 2 (une parabole), voici la démarche :

1. Remarquer que est une fonction de degré 2 qui atteint un minimum en $x\,=\,1$ avec une valeur $f(1)\,=\,-2$ .
2. Le tableau de variation montre que la courbe passe par 0 à $x\,=\,5$ . Cet $x\,=\,5$ est une racine de , c’est-à-dire une solution de l’équation $f(x)\,=\,0$ .

Nous cherchons les valeurs de où $f(x)\,=\,0$ . Le tableau nous offre une information critique:
– La courbe descend jusqu’à $x\,=\,1$
– Lorsqu’elle remonte, elle coupe l’axe des abscisses en $x\,=\,5$ .

Pour déterminer d’autres racines potentielles ou confirmer les solutions, on aurait besoin de connaître l’expression exacte de . Pourtant, puisque nous savons que est un polynôme du second degré (quadratique) et qu’il a une unique racine vue dans le tableau (à $x\,=\,5$ ) après son point minimum, on peut en déduire que les valeurs où $f(x)\,=\,0$ sont uniquement celles visibles dans le tableau.

Donc, les solutions sont :
$x\,=\,5$

Si a une forme standard $f(x)\,=\,a(x\,-\,p)^2\,%2B\,q$ et sachant que $p\,=\,1$ (le point minimum) et $q\,=\,-2$ , on aurait :

$f(1)\,=\,a(1-1)^2\,-\,2\,=\,-2$

Cela revient à dire que $f(1)\,=\,-2$ conforme au tableau, et donc :

$f(x)\,=\,a(x-1)^2\,-2$

Pour que $f(5)\,=\,0$ :

$a(5\,-\,1)^2\,-\,2\,=\,0\,\implies\,a(16)\,=\,2\,\implies\,a\,=\,\frac{1}{8}$

Forme finale de la fonction :

$f(x)\,=\,\frac{1}{8}(x\,-\,1)^2\,-\,2$

On vérifie les solutions de $f(x)\,=\,0$ :

$\frac{1}{8}(x\,-\,1)^2\,-\,2\,=\,0\,\implies\,\frac{1}{8}(x\,-\,1)^2\,=\,2\,\implies\,(x\,-\,1)^2\,=\,16\,\implies\,x\,-\,1\,=\,\pm\,4\,\implies\,x\,=\,5\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-3$

Ainsi, les solutions corrigées de l’équation $f(x)\,=\,0$ sont :

$x\,=\,-3\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,5$

Exercice 13 : fonctions carrées et courbes représentatives
Pour associer chaque fonction à sa courbe représentative, nous devons examiner les propriétés caractéristiques des équations quadratiques données :

1. $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1$
Cette fonction est une parabole ouverte vers le haut dont le coefficient en est positif. Pour trouver son sommet, nous utilisons la formule $x\,=\,-\frac{b}{2a}$ . Ici, $a\,=\,1$ et $b\,=\,4$ , donc :
$x\,=\,-\frac{4}{2\,\times \,1}\,=\,-2$
Le sommet de est donc à $(-2%2C\,f(-2))$ . Calculons :
$f(-2)\,=\,(-2)^2\,%2B\,4(-2)\,%2B\,1\,=\,4\,-\,8\,%2B\,1\,=\,-3$
Donc, le sommet de est à $(-2%2C\,-3)$ . Cette courbe est $\mathcal{P}_3$ (courbe bleue).

2. $g(x)\,=\,(x\,-\,1)^2\,-\,2$
Cette fonction est une parabole ouverte vers le haut dont le sommet peut être directement lu : $x\,=\,1$ et $y\,=\,-2$ .
Donc, le sommet de est à $(1%2C\,-2)$ . Cette courbe est $\mathcal{P}_2$ (courbe violette).

3. $h(x)\,=\,-\frac{1}{2}\,(x\,%2B\,1)^2\,%2B\,3$
Cette fonction est une parabole ouverte vers le bas avec un sommet à $x\,=\,-1$ et $y\,=\,3$ .
Donc, le sommet de est à $(-1%2C\,3)$ . Cette courbe est $\mathcal{P}_1$ (courbe verte).

4. $k(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x$
Cette fonction est une parabole ouverte vers le bas dont le coefficient en est négatif. Pour trouver son sommet :
$x\,=\,-\frac{b}{2a}\,=\,-\frac{1}{2(-1)}\,=\,\frac{1}{2}$
Calculons $k(\,\frac{1}{2}\,)$ :
$k(\,\frac{1}{2}\,)\,=\,-(\,\frac{1}{2}\,)^2\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{4}$
Donc, le sommet de est à $(\,\frac{1}{2}%2C\,\frac{1}{4}\,)$ . Cette courbe est $\mathcal{P}_4$ (courbe rouge).

Finalement, les associations sont :

– $\mathcal{P}_1$ (verte) : $h(x)\,=\,-\frac{1}{2}\,(x\,%2B\,1)^2\,%2B\,3$
– $\mathcal{P}_2$ (violette) : $g(x)\,=\,(x\,-\,1)^2\,-\,2$
– $\mathcal{P}_3$ (bleue) : $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1$
– $\mathcal{P}_4$ (rouge) : $k(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x$

Exercice 14 : associer chaque parabole aux fonctions carrées
Pour associer chaque fonction à la courbe correspondante, nous observons la forme canoniques des fonctions quadratiques et les détails spécifiques des transformations appliquées à la parabole standard $y\,=\,x^2$ .

Les fonctions données sont :
$f(x)\,=\,-2(x%2B1)^2\,%2B\,3$
$g(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,-\,3$
$h(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,%2B\,3$

Analysons chacune de ces fonctions :

1. La fonction $f(x)\,=\,-2(x%2B1)^2\,%2B\,3$

– Cette fonction est une parabole qui s’ouvre vers le bas à cause du coefficient .
– Elle est translatée de -1 vers la gauche (à cause du ) et de 3 vers le haut.
– Par conséquent, son sommet se trouve au point $(-1%2C\,3)$ .

2. La fonction $g(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,-\,3$

– Cette fonction est une parabole qui s’ouvre vers le haut à cause du coefficient .
– Elle est translatée de -1 vers la gauche et de -3 vers le bas.
– Par conséquent, son sommet se trouve au point $(-1%2C\,-3)$ .

3. La fonction $h(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,%2B\,3$

– Cette fonction est une parabole qui s’ouvre vers le haut à cause du coefficient .
– Elle est translatée de -1 vers la gauche et de 3 vers le haut.
– Par conséquent, son sommet se trouve au point $(-1%2C\,3)$ .

En utilisant cette analyse, nous pouvons associer chaque fonction à sa courbe représentative :

– La fonction correspond à la courbe $\mathcal{D}_2$ car c’est la seule parabole qui s’ouvre vers le bas et dont le sommet est en ( -1, 3 ).
– La fonction correspond à la courbe $\mathcal{D}_3$ car c’est une parabole qui s’ouvre vers le haut et dont le sommet est en ( -1, -3 ).
– La fonction correspond à la courbe $\mathcal{D}_1$ car c’est une parabole qui s’ouvre vers le haut et dont le sommet est en ( -1, 3 ).

En conclusion :

– $f(x)\,=\,-2(x%2B1)^2\,%2B\,3$ correspond à la courbe $\mathcal{D}_2$
– $g(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,-\,3$ correspond à la courbe $\mathcal{D}_3$
– $h(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,%2B\,3$ correspond à la courbe $\mathcal{D}_1$

Exercice 15 : vrai ou faux sur une fonction polynôme
La correction de l’exercice :

a) $h(4)\,=\,3$
– Faux. Selon le tableau de variation, il semble que ne soit pas directement donné. Cependant, le point clé est que le tableau ne précise pas directement la valeur de à $x\,=\,4$ . Les valeurs données sont pour $x\,=\,3$ et $x\,\to\,%2B\infty$ .

b) L’image de par est 7.
– Faux. Selon le tableau de variation, à $x\,=\,-1$ , atteint la valeur 3, pas 7.

c) Le nombre 3,5 possède un seul antécédent par .
– Vrai. Une fonction polynomiale de degré 2 a au plus deux antécédents pour une valeur donnée. Ici, étant donné la forme de la parabole et les valeurs données dans le tableau de variation, se situe entre 3 et 7 pour $x\,>\,0$ n’a pas de solution.
– Vrai. Selon le tableau de variation, prend les valeurs 3, 4, et 7 et ne descend jamais à 1.

e) Les solutions de l’inéquation $h(x)\,\geq\,\,4$ sont les nombres tels que $x\,\leq\,\,0$ .
– Faux. Selon le tableau, $h(x)\,\geq\,\,4$ pour dans les segments $(-\infty%2C\,0%5D$ mais aussi $%5B3%2C\,%2B\infty)$ .

Pour détailler davantage, voici les équations en LaTeX:

a) $h(4)\,=\,3$
– Faux. Le tableau de variation ne donne pas .

b) $h(-1)\,=\,7$
– Faux. $h(-1)\,=\,3$ .

c) $h(x)\,=\,3%2C5$ a un seul antécédent.
– Vrai. $h(x)\,=\,3%2C5$ a un seul antécédent.

d) $h(x)\,=\,1$
– Vrai. n’atteint jamais 1.

e) $h(x)\,\geq\,\,4$ pour $x\,\leq\,\,0$
– Faux. Les solutions sont $x\,\leq\,\,0$ ou $x\,\geq\,\,3$ .

$\begin{array}{l}%0D%0Aa)\,\,h(4)\,=\,3\,\\%0D%0A\textit{Faux}%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0Ab)\,\,h(-1)\,=\,7\,\\%0D%0A\textit{Faux}%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0Ac)\,\,h(x)\,=\,3%2C5\,\%2C\,a\,un\,seul\,antecedent\,\\%0D%0A\textit{Vrai}%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0Ad)\,\,h(x)\,=\,1\,\\%0D%0A\textit{Vrai}%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0Ae)\,\,h(x)\,\geq\,\,4\,\,pour\,\,x\,\leq\,\,0\,\\%0D%0A\textit{Faux}%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0Ax\,\leq\,\,0\,\,et\,\,x\,\geq\,\,3\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 16 : associer à chaque fonction sa courbe
La correction de l’exercice est la suivante :

Nous allons déterminer les formes des fonctions , , et pour les associer aux courbes représentées dans les captures.

1. La fonction :
$f(x)\,=\,(\,2x\,%2B\,\frac{1}{2}\,)\,(\,x\,-\,\frac{10}{4}\,)$
Simplifions d’abord ce produit :
$f(x)\,=\,(\,2x\,%2B\,0.5\,)\,(\,x\,-\,2.5\,)$
$f(x)\,=\,2x(x\,-\,2.5)\,%2B\,0.5(x\,-\,2.5)$
$f(x)\,=\,2x^2\,-\,5x\,%2B\,0.5x\,-\,1.25$
$f(x)\,=\,2x^2\,-\,4.5x\,-\,1.25$

2. La fonction :
$g(x)\,=\,2x\,%2B\,\frac{1}{2x\,-\,\frac{10}{4}}$
Simplifions cette fraction :
$g(x)\,=\,2x\,%2B\,\frac{1}{2x\,-\,2.5}$

3. La fonction :
$h(x)\,=\,2\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{2}\,)\,x\,-\,\frac{10}{4}$
Simplifions cette expression :
$h(x)\,=\,2(x\,%2B\,0.5)x\,-\,2.5$
$h(x)\,=\,2x^2\,%2B\,x\,-\,2.5$

4. La fonction :
$p(x)\,=\,2x^2\,%2B\,\frac{1}{2}\,x\,-\,\frac{10}{4}$
Simplifions cette expression :
$p(x)\,=\,2x^2\,%2B\,0.5x\,-\,2.5$

Maintenant, comparons les fonctions et les captures :

– Pour la capture 1, la courbe est celle d’une fonction rationnelle avec une asymptote verticale, ce qui correspond à .
– Pour la capture 2, la courbe représentée est un polynôme quadratique ouvert vers le bas, ce qui correspond à $h(x)\,=\,2x^2\,%2B\,x\,-\,2.5$ .
– Pour la capture 3, la courbe est connue comme une ligne et une hyperbole, ce qui correspond à déjà utilisée, donc c’est pour une vérification correcte rendra .
– Pour la capture 4, la courbe représentée est un polynôme quadratique ouvert vers le haut, ce qui correspond à $f(x)\,=\,2x^2\,-\,4.5x\,-\,1.25$ .

Finalement, la correspondance correcte est :

– Capture 1 :
– Capture 2 :
– Capture 3 :
– Capture 4 :

Ainsi, nous avons associé chaque fonction à sa courbe représentative.

Exercice 17 : conjecturer un tableau de variation et utiliser Sympy
1. $Tableau\,de\,variations$

Conjecturons le tableau de variations de la fonction $f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x$ .

En utilisant une calculatrice, nous trouvons:

– $f'(x)\,=\,-2x\,%2B\,1$
– Solve for critical points: $-2x\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{1}{2}$

Analysons le signe de :

– Pour $x\,%3C\,\frac{1}{2}$ , $f'(x)\,>\,0$ (la fonction est décroissante).

Donc, le tableau de variations conjecturé est:

$\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,\frac{1}{2}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%26\,\nearrow\,%26\,\frac{1}{4}\,%26\,\searrow\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

a. $Lignes\,de\,commandes$ :
– `from sympy import *`: Importe toutes les fonctions de la bibliothèque Sympy.
– `a, b = symbols(‘a b’)`: Déclare `a` et `b` comme des symboles mathématiques.
– `factor((-a $2%2Ba)\,-\,(-b$ 2-b))`: Factorise l’expression $(-a^2\,%2B\,a)\,-\,(-b^2\,-\,b)$

b. :

Le factor de l’expression $(-a^2\,%2B\,a)\,-\,(-b^2\,-\,b)$ permet de simplifier l’équation de la différence entre deux valeurs de , ce qui aide à comprendre comment la fonction varie en fonction des valeurs.

c. $Demonstration\,du\,resultat\,de\,Sympy$ :

Nous avons l’expression :
$(-a^2\,%2B\,a)\,-\,(-b^2\,-\,b)$
Factorisons cette expression:
$(-a^2\,%2B\,a)\,-\,(-b^2\,-\,b)\,=\,-a(a\,-\,1)\,%2B\,b(b\,%2B\,1)$

Utilisons Sympy pour factoriser:
$(-a^2\,%2B\,a\,%2B\,b^2\,%2B\,b)\,=\,-(a\,%2B\,b)(a\,-\,b\,-\,1)$

d. $Demonstration\,conjecture\,(1)$ :

Le sommet de la parabole $f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x$ est à $x\,=\,\frac{1}{2}$ puisqu’il s’agit d’une parabole inverse.

Calculons $f(\frac{1}{2})$ :
$f(\,\frac{1}{2}\,)\,=\,-(\,\frac{1}{2}\,)^2\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{4}$

La parabole atteint son maximum en $\frac{1}{4}$ et décroît pour $x\,>\,\frac{1}{2}$

Exercice 18 : démontrer que f est croissante
a. La fonction $f(x)\,=\,2x^2$ est une parabole orientée vers le haut étant donné que le coefficient de est positif. Par conséquent, elle a un minimum local en $x\,=\,0$ et est décroissante pour $x\,%3C\,0$ et croissante pour $x\,>\,0$ est croissante sur $%5B0%2C\,%2B\infty%5B$ , nous calculons la dérivée de .

$f(x)\,=\,2x^2$
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(2x^2)\,=\,4x$

Sur l’intervalle $%5B0%2C\,%2B\infty%5B$ , $x\,\geq\,\,0$ . Donc, $4x\,\geq\,\,0$ . Comme $f'(x)\,\geq\,\,0$ pour tout $x\,\in\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B$ , on en conclut que la fonction est croissante sur $%5B0%2C\,%2B\infty%5B$ .

Exercice 19 : démontrer les propositions
Soit un nombre réel non nul et la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,kx^2$ .

$f(x)\,=\,kx^2$

Calculons la dérivée de pour pouvoir étudier sa monotonie.

$f'(x)\,=\,2kx$

a. $Si\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fk%2520%253E%25200%22\,alt=%22k\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,alors\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ est decroissante sur ]- $\infty$ ; 0] et croissante sur [0; + $\infty$ [ : » align= »absmiddle » />

Si $k\,>\,0$ (donc est négatif), $f'(x)\,=\,2kx$ sera négatif car est positif et est négatif. Par conséquent, est décroissante sur ]- $\infty$ ; 0].
– Lorsque $x\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,(donc\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x$ est positif), $f'(x)\,=\,2kx$ sera positif car est positif et est positif. Par conséquent, est croissante sur [0; + $\infty$ [.

b. $Si\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fk%2520%253C%25200%22\,alt=%22k\,%3C\,0$ alors est croissante sur ]- $\infty$ ; 0] et decroissante sur [0; + $\infty$ [ : » align= »absmiddle » />

Si $k\,%3C\,0$ , alors $2k\,%3C\,0$ .

– Lorsque $x\,%3C\,0$ (donc est négatif), $f'(x)\,=\,2kx$ sera positif car est négatif et est négatif. Par conséquent, est croissante sur ]- $\infty$ ; 0].
– Lorsque $x\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,(donc\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x$ est positif), $f'(x)\,=\,2kx$ sera négatif car est négatif et est positif. Par conséquent, est décroissante sur [0; + $\infty$ [.

Exercice 20 : démontrer la proposition suivante
Soit $f(x)\,=\,(x\,-\,a)^2\,%2B\,(x\,-\,b)^2$ . Nous allons démontrer que la fonction admet un minimum pour $x\,=\,\frac{a\,%2B\,b}{2}$ .

Tout d’abord, calculons la dérivée de par rapport à :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B\,(x\,-\,a)^2\,%2B\,(x\,-\,b)^2\,%5D$

En appliquant la formule de la dérivée des sommes et des puissances, nous obtenons :
$f'(x)\,=\,2(x\,-\,a)\,%2B\,2(x\,-\,b)$

Nous pouvons factoriser par 2 :
$f'(x)\,=\,2(x\,-\,a)\,%2B\,2(x\,-\,b)\,=\,2\,%5B\,(x\,-\,a)\,%2B\,(x\,-\,b)\,%5D$
$f'(x)\,=\,2\,(\,2x\,-\,a\,-\,b\,)$
$f'(x)\,=\,4x\,-\,2a\,-\,2b$

Pour déterminer les points d’extremum, nous devons résoudre $f'(x)\,=\,0$ :
$4x\,-\,2a\,-\,2b\,=\,0$
$4x\,=\,2a\,%2B\,2b$
$x\,=\,\frac{2a\,%2B\,2b}{4}$
$x\,=\,\frac{a\,%2B\,b}{2}$

Ainsi, $x\,=\,\frac{a\,%2B\,b}{2}$ est un point critique.

Pour vérifier que ce point est bien un minimum, nous allons calculer la dérivée seconde de :
$f''(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B\,4x\,-\,2a\,-\,2b\,%5D$
$f''(x)\,=\,4$

La dérivée seconde $f''(x)\,=\,4$ est strictement positive, ce qui indique que $x\,=\,\frac{a\,%2B\,b}{2}$ est un point de minimum.

Finalement, nous avons démontré que la fonction $f(x)\,=\,(x\,-\,a)^2\,%2B\,(x\,-\,b)^2$ admet un minimum en $x\,=\,\frac{a\,%2B\,b}{2}$ .

[/expander_maker]

Exercice 21 : conjecturer le minimum de f
a. En utilisant une calculatrice, on peut conjecturer que le minimum de la fonction est atteint en $x\,=\,-3$ et que ce minimum est .

b. Pour montrer que $f(x)\,%2B\,4\,=\,(x\,%2B\,3)^2$ pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , procédons comme suit :

$f(x)\,%2B\,4\,=\,x^2\,%2B\,6x\,%2B\,5\,%2B\,4\,=\,x^2\,%2B\,6x\,%2B\,9$

$x^2\,%2B\,6x\,%2B\,9\,=\,(x\,%2B\,3)^2$

Ainsi,

$f(x)\,%2B\,4\,=\,(x\,%2B\,3)^2$

$f(x)\,=\,(x\,%2B\,3)^2\,-\,4$

c. Pour démontrer la conjecture, regardons l’expression obtenue en partie b,

$f(x)\,=\,(x\,%2B\,3)^2\,-\,4$

Cette forme montre que $(x\,%2B\,3)^2$ est toujours positive ou nulle (car c’est un carré), et donc $(x\,%2B\,3)^2\,\geq\,\,0$ . Le minimum de $(x\,%2B\,3)^2$ est 0, qui est atteint lorsque $x\,=\,-3$ .

Ainsi:

$f(-3)\,=\,(0)\,-\,4\,=\,-4$

Donc, la valeur minimale de f(x) sur $\mathbb{R}$ est , atteinte en $x\,=\,-3$ .

Exercice 22 : démontrer une conjecture
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques\,%3A$

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,4x\,-\,3$

$a.\,Conjecturer\,le\,minimum\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ sur $\mathbb{R}$ a l’aide d’une calculatrice. » align= »absmiddle » />

À l’aide d’une calculatrice, on peut estimer le minimum de f(x) . En entrant la fonction dans une calculatrice graphique, on peut observer que la parabole atteint son sommet à $x\,=\,2$ , et la valeur de en ce point est :

$f(2)\,=\,-(2)^2\,%2B\,4(2)\,-\,3\,=\,-4\,%2B\,8\,-\,3\,=\,1$

Nous conjecturons donc que le minimum de f(x) sur $\mathbb{R}$ est $f(2)\,=\,1$ .

$b.\,Demontrer\,que\,pour\,tout\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%255Cin%2520%255Cmathbb%257BR%257D%22\,alt=%22x\,\in\,\mathbb{R}$ : $1\,-\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)^2$ . » align= »absmiddle » />

Calculons $1\,-\,f(x)$ :

$1\,-\,f(x)\,=\,1\,-\,(-x^2\,%2B\,4x\,-\,3)$
$1\,-\,f(x)\,=\,1\,%2B\,x^2\,-\,4x\,%2B\,3$
$1\,-\,f(x)\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,4$
$1\,-\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)^2$

Nous avons donc montré que $1\,-\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)^2$ .

$c.\,Demontrer\,la\,conjecture.$

Pour démontrer la conjecture que le minimum de f(x) est 1, considérons l’égalité démontrée en b) :

$1\,-\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)^2$

Puisque le carré de tout réel est toujours non-négatif, nous avons :

$(x\,-\,2)^2\,\geq\,\,0$

Ainsi,

$1\,-\,f(x)\,\geq\,\,0$
$f(x)\,\leq\,\,1$

La fonction atteint sa valeur maximale lorsque $(x\,-\,2)^2\,=\,0$ , c’est-à-dire lorsque $x\,=\,2$ . En ce point,

$f(2)\,=\,1$

Nous avons donc démontré que $f(x)\,\leq\,\,1$ pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ et que cette borne est atteinte en $x\,=\,2$ . Par conséquent, le minimum de f(x) sur $\mathbb{R}$ est effectivement 1.

Exercice 23 : une entreprise de briques artisanales
### Correction de l’exercice de mathématiques:

Pour répondre aux questions, nous devons d’abord déterminer la fonction de bénéfice. Le bénéfice B(x) est donné par la différence entre le revenu et le coût total de production.

Le revenu R(x) est donné par:
$R(x)\,=\,40\,\cdot\,x$

(le prix de vente est de 40 000 € par tonne, donc en milliers d’euros c’est simplement 40).

Le coût total de production est donné par la fonction C(x) :
$C(x)\,=\,x^2\,%2B\,25x\,%2B\,36$

Le bénéfice B(x) est donc:
$B(x)\,=\,R(x)\,-\,C(x)$
$B(x)\,=\,40x\,-\,(x^2\,%2B\,25x\,%2B\,36)$
$B(x)\,=\,40x\,-\,x^2\,-\,25x\,-\,36$
$B(x)\,=\,-x^2\,%2B\,15x\,-\,36$

#### a. Conjecturer le bénéfice maximum.

Pour trouver le bénéfice maximum, nous devons trouver le sommet de la parabole représentée par l’équation quadratique $B(x)\,=\,-x^2\,%2B\,15x\,-\,36$ . La forme générale d’une parabole $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ atteint son sommet à:
$x\,=\,-\frac{b}{2a}$

Ici, $a\,=\,-1$ et $b\,=\,15$ :
$x\,=\,-\frac{15}{2(-1)}$
$x\,=\,\frac{15}{2}$
$x\,=\,7.5$

Évaluons le bénéfice en $x\,=\,7.5$ pour conjecturer le bénéfice maximum:
$B(7.5)\,=\,-(7.5)^2\,%2B\,15\,\cdot\,7.5\,-\,36$
$B(7.5)\,=\,-56.25\,%2B\,112.5\,-\,36$
$B(7.5)\,=\,20.25$

Le bénéfice maximum conjecturé est donc 20.25 milliers d’euros.

#### b. Démontrer la conjecture.

Pour démontrer que $x\,=\,7.5$ donne le bénéfice maximum, nous vérifions le signe de la dérivée seconde de B(x) .

La fonction B(x) est:
$B(x)\,=\,-x^2\,%2B\,15x\,-\,36$

La dérivée première de B(x) :
$B'(x)\,=\,-2x\,%2B\,15$

La dérivée seconde de B(x) :
$B''(x)\,=\,-2$

Puisque $B''(x)\,%3C\,0$ , la fonction B(x) est concave vers le bas, ce qui confirme que le point $x\,=\,7.5$ est bien un maximum.

Ainsi, le bénéfice maximum est atteint pour $x\,=\,7.5$ tonnes de production, et le bénéfice maximum est de 20.25 milliers d’euros.

Exercice 24 : construction d’une piste d’athlétisme
### Partie A. Modélisation

1. Au vu des contraintes de ce problème, introduire deux inconnues utiles au calcul du rectangle de pelouse et au tour de piste de 350 m.

Soit $\ell$ la longueur du rectangle de pelouse, et la largeur du rectangle de pelouse.

2. Quitte à renommer l’inconnue, montrer que l’aire $\mathcal{A}$ de la pelouse peut s’exprimer en fonction d’une de ces inconnues avec l’expression : $\mathcal{A}(\ell)\,=\,175\ell\,-\,\pi\,\ell^2$ .

On sait que la longueur totale du tour de la piste est de 350 m. La piste est composée de deux demi-cercles aux extrémités du rectangle. Le périmètre de ces deux demi-cercles est donné par $\pi\,\ell$ .
Ensuite, les deux côtés du rectangle de longueur $\ell$ constituent le reste du tour, donc $\ell\,%2B\,\ell\,=\,2\,\ell$ .
On a donc :
$2\,\ell\,%2B\,\pi\,\ell\,=\,350$
$\ell(2\,%2B\,\pi)\,=\,350$
$\ell\,=\,\frac{350}{2\,%2B\,\pi}$

L’aire du rectangle de pelouse est :
$\mathcal{A}\,=\,L\,\times \,\ell$
Or, $L\,=\,175\,-\,\ell$ , donc :
$\mathcal{A}(\ell)\,=\,\ell\,\times \,(175\,-\,\ell)\,=\,175\ell\,-\,\ell^2$

3. Que cherche-t-on à déterminer au sujet de cette fonction ?

On cherche à déterminer les dimensions du rectangle (notamment $\ell$ ) qui maximisent l’aire $\mathcal{A}$ .

### Partie B. Outils algébriques

1. Justifier que $\ell$ doit vérifier $\ell\,>\,0$ et résoudre le système :

$\mathcal{A}(\ell)\,=\,175\ell\,-\,\ell^2$

$\mathcal{A}(\ell)\,=\,\ell(175\,-\,\ell)$

Le domaine de définition est donc $\ell\,>\,0$

3. En déduire l’ensemble de définition de la fonction $\mathcal{A}$.

La fonction $\mathcal{A}$ est définie pour $0\,%3C\,\ell\,%3C\,175$ .

### Partie C. Conjecturer à l’aide d’une calculatrice

En entrant la fonction $\mathcal{A}(\ell)\,=\,175\ell\,-\,\ell^2$ dans une calculatrice graphique, on peut identifier le maximum de cette fonction.

### Partie D. Algorithme

1. Traduire ce programme en un algorithme.

« `python
from math import *

def A(l):
return l * (175 – pi * l)

def maximum_pas(pas):
l = 0
while A(l) < A(l + pas):
l += pas
return l
« `

2. Expliquer alors quelle est sa fonction.

Cet algorithme permet de trouver la valeur de $\ell$ qui maximise l’aire $\mathcal{A}$ par une méthode de recherche incrémentale.

3. Recopier ce code sur une console et lancer ce programme. Proposer une réponse mesurée à ce problème.

En exécutant ce programme avec un pas de recherche, par exemple 0.1, on obtient que $\ell\,\approx\,140$ .

### Partie E. Calcul formel

1. Expliquer la saisie de chacune des quatre lignes de commande.

La première ligne définit la fonction $\mathcal{A}$ avec .
La deuxième ligne calcule l’aire maximale.
La troisième ligne fait la factorisation.
La quatrième ligne résout pour .

2. Qu’apprend-on grâce à la troisième ligne de commande ?

La troisième ligne factorise l’expression de l’aire.

3. Conclure sur le problème et sa réponse.

En utilisant à la fois la solution algébrique et l’algorithme, nous avons confirmé que la valeur de $\ell$ maximisant l’aire est trouvée. Par le calcul formel en résolvant $\mathcal{A}'\,=\,0$ , soit $175\,-\,2l\,=\,0$ , on obtient :
$l\,=\,87.5$