Géométrie dans l’espace : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : coordonnées géographiques des villes
Les coordonnées géographiques (latitude et longitude) des cinq villes représentées sur le globe sont les suivantes :

1. New York :
$Latitude\,%3A\,40^\circ\,N\,\quad\,Longitude\,%3A\,74^\circ\,W$

2. Castellón :
$Latitude\,%3A\,40^\circ\,N\,\quad\,Longitude\,%3A\,0^\circ$

3. Kaduqli :
$Latitude\,%3A\,12^\circ\,N\,\quad\,Longitude\,%3A\,30^\circ\,E$

4. Rio de Janeiro :
$Latitude\,%3A\,23^\circ\,S\,\quad\,Longitude\,%3A\,43^\circ\,W$

5. Le Cap :
$Latitude\,%3A\,34^\circ\,S\,\quad\,Longitude\,%3A\,18^\circ\,E$

Exercice 2 : photocopie de la sphère terrestre
Correction de l’exercice :

Colorier en rouge tous les points de latitude $23^\circ\,\%3B\,N$ (tropique du Cancer).

Les points de latitude $23^\circ\,\%3B\,N$ forment une ligne horizontale parallèle à l’équateur au nord de celui-ci. Sur la photocopie de la sphère terrestre, ces points constituent un cercle entier parallèle à l’équateur.

Colorier en vert tous les points de latitude $23^\circ\,\%3B\,S$ (tropique du Capricorne).

Les points de latitude $23^\circ\,\%3B\,S$ forment une ligne horizontale parallèle à l’équateur au sud de celui-ci. Sur la photocopie de la sphère terrestre, ces points constituent également un cercle entier parallèle à l’équateur.

Colorier en bleu tous les points de longitude $10^\circ\,\%3B\,E$ .

Les points de longitude $10^\circ\,\%3B\,E$ forment une ligne verticale qui traverse les pôles nord et sud et est située à $10^\circ\,\%3B$ à l’est du méridien de Greenwich. Sur la photocopie de la sphère terrestre, cette ligne est un demi-cercle allant du pôle nord au pôle sud, en passant par l’équateur.

Utiliser les couleurs appropriées pour marquer ces points sur votre carte : rouge pour les points à $23^\circ\,\%3B\,N$ , vert pour les points à $23^\circ\,\%3B\,S$ et bleu pour les points à $10^\circ\,\%3B\,E$ .

Exercice 3 : position relative dans un tétraèdre

a) Étant donné que $\frac{MF}{MN}\,=\,\frac{1}{3}$ et $\frac{MG}{MQ}\,=\,\frac{1}{3}$ , les points F et G sont respectivement aux tiers des segments [MN] et [MQ].

Les droites (NQ) et (FG) sont concourantes en G. Elles ne peuvent donc être ni parallèles ni strictement sécantes, elles se coupent en G.

b) Les droites (MP) et (NQ) :
– La droite (MP) passe par les points M et P.
– La droite (NQ) passe par les points N et Q.

Les droites (MP) et (NQ) ne sont pas coplanaires, donc elles sont gauches.

c) Pour les plans (PFQ) et (NGP) :
– Le plan (PFQ) est déterminé par les points P, F et Q.
– Le plan (NGP) est déterminé par les points N, G et P.

Les plans (PFQ) et (NGP) ne peuvent être strictement parallèles car ils partagent le point P (et en fait même la droite (PQ)). Par ailleurs, en utilisant le fait que le point G appartient à la droite MQ qui coupe le plan (PFQ), il est clair que G appartient aussi au plan (NGP).

Donc, les plans (PFQ) et (NGP) se coupent suivant la droite (PQ).

Exercice 4 : volume d’un pavé droit
Correction de l’exercice de mathématiques

1. Volume et hauteur du pavé

Le volume $V$ d’un pavé droit est donné par:
$V\,=\,L\,\times \,\ell\,\times \,h$
où $L = 10 \, \text{cm}$ (longueur), $\ell = 7 \, \text{cm}$ (largeur), et $h$ (hauteur).

On sait que le volume est de $210 \, \text{cm}^3$, donc:
$210\,=\,10\,\times \,7\,\times \,h$
$210\,=\,70h$
$h\,=\,\frac{210}{70}$
$h\,=\,3\,\%2C\,cm$

La hauteur du pavé est donc de $3 \, \text{cm}$.

2. Volume d’un cube lorsque l’on triple la longueur de ses arêtes

Le volume $V$ d’un cube de côté $a$ est donné par:
$V_{initial}\,=\,a^3$
Dans notre cas, $a = 1 \, \text{cm}$, donc:
$V_{initial}\,=\,1^3\,=\,1\,\%2C\,cm^3$

Si on triple la longueur de ses arêtes, alors $a’ = 3a = 3 \, \text{cm}$:
$V_{nouveau}\,=\,(3a)^3$
$V_{nouveau}\,=\,3^3\,\times \,a^3$
$V_{nouveau}\,=\,27a^3$
$V_{nouveau}\,=\,27\,\%2C\,cm^3$

Lorsque la longueur des arêtes est triplée, le volume du cube devient $27 \, \text{cm}^3$.

3. Ségments parallèles, sécants et non coplanaires

Utilisons la figure du cube $ABCDEFGH$ pour identifier les segments :

– Parallèles :
– Les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles.
– Les droites $EF$ et $GH$ sont également parallèles.

– Sécantes :
– Les droites $AB$ et $AD$ se coupent en $A$.
– Les droites $EF$ et $EH$ se coupent en $E$.

– Non coplanaires :
– Les droites $AB$ et $EH$ ne sont pas coplanaires.
– Les droites $CD$ et $GF$ ne sont pas coplanaires.

Exercice 5 : représentations en perspective cavalière
Correction de l’exercice :

1. Construction d’un cube d’arêtes de longueur 6 carreaux :
$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%5Bscale=0.5%5D%0D%0A\draw%5Bblue%2C\,very\,thin%5D\,(0%2C0)\,grid\,(8%2C8)%3B%0D%0A\draw\,(1%2C1)\,--\,(7%2C1)\,--\,(7%2C7)\,--\,(1%2C7)\,--\,cycle%3B\,%25\,Drawing\,the\,base\,of\,the\,cube%0D%0A\draw\,(1%2C1)\,--\,(3%2C2)\,--\,(9%2C2)\,--\,(7%2C1)%3B\,%25\,Drawing\,the\,depth\,lines%0D%0A\draw\,(3%2C2)\,--\,(3%2C8)\,--\,(9%2C8)\,--\,(9%2C2)%3B\,%25\,Drawing\,the\,upper\,face%0D%0A\draw\,(1%2C7)\,--\,(3%2C8)%3B\,%25\,Connecting\,base\,to\,the\,upper\,face%0D%0A\draw\,(7%2C7)\,--\,(9%2C8)%3B\,%25\,Connecting\,base\,to\,the\,upper\,face%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

2. Construction d’un cube d’arêtes de longueur 5 carreaux :
$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%5Bscale=0.5%5D%0D%0A\draw%5Bblue%2C\,very\,thin%5D\,(0%2C0)\,grid\,(7%2C7)%3B%0D%0A\draw\,(1%2C1)\,--\,(6%2C1)\,--\,(6%2C6)\,--\,(1%2C6)\,--\,cycle%3B\,%25\,Drawing\,the\,base\,of\,the\,cube%0D%0A\draw\,(1%2C1)\,--\,(3%2C1.5)\,--\,(8%2C1.5)\,--\,(6%2C1)%3B\,%25\,Drawing\,the\,depth\,lines%0D%0A\draw\,(3%2C1.5)\,--\,(3%2C6.5)\,--\,(8%2C6.5)\,--\,(8%2C1.5)%3B\,%25\,Drawing\,the\,upper\,face%0D%0A\draw\,(1%2C6)\,--\,(3%2C6.5)%3B\,%25\,Connecting\,base\,to\,the\,upper\,face%0D%0A\draw\,(6%2C6)\,--\,(8%2C6.5)%3B\,%25\,Connecting\,base\,to\,the\,upper\,face%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

3. Construction d’un parallélépipède rectangle de dimensions 3, 5 et 6 carreaux :
$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%5Bscale=0.5%5D%0D%0A\draw%5Bblue%2C\,very\,thin%5D\,(0%2C0)\,grid\,(6%2C10)%3B%0D%0A\draw\,(1%2C1)\,--\,(6%2C1)\,--\,(6%2C6)\,--\,(1%2C6)\,--\,cycle%3B\,%25\,Drawing\,the\,base\,of\,the\,parallelepiped%0D%0A\draw\,(1%2C1)\,--\,(3%2C1.5)\,--\,(3%2C6.5)\,--\,(1%2C6)%3B\,%25\,Drawing\,the\,depth\,lines\,(side\,3)%0D%0A\draw\,(6%2C1)\,--\,(8%2C1.5)\,--\,(8%2C6.5)\,--\,(6%2C6)%3B\,%25\,Drawing\,the\,depth\,lines\,(side\,5)%0D%0A\draw\,(3%2C1.5)\,--\,(8%2C1.5)%3B\,%25\,Bottom\,line\,of\,the\,front\,face%0D%0A\draw\,(3%2C6.5)\,--\,(8%2C6.5)%3B\,%25\,Top\,line\,of\,the\,front\,face%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

4. Construction d’une pyramide de hauteur 6 carreaux à base carrée dont le côté mesure 3 carreaux :
$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%5Bscale=0.5%5D%0D%0A\draw%5Bblue%2C\,very\,thin%5D\,(0%2C0)\,grid\,(6%2C7)%3B%0D%0A\draw\,(2%2C1)\,--\,(5%2C1)\,--\,(6%2C3)\,--\,(3%2C3)\,--\,cycle%3B\,%25\,Drawing\,the\,base\,of\,the\,pyramid%0D%0A\draw%5Bdashed%5D\,(2%2C1)\,--\,(3%2C3)%3B\,%25\,Connecting\,the\,left\,bottom\,corner\,to\,the\,right\,top\,corner%0D%0A\draw%5Bdashed%5D\,(6%2C3)\,--\,(5%2C1)%3B\,%25\,Connecting\,the\,right\,bottom\,corner\,to\,the\,left\,top\,corner%0D%0A\draw\,(3.5%2C3)\,--\,(3.5%2C6)%3B\,%25\,Drawing\,the\,height\,line\,from\,the\,center\,to\,the\,top\,vertex%0D%0A\draw\,(2%2C1)\,--\,(3.5%2C6)%3B\,%25\,Connecting\,base\,corners\,to\,the\,top\,vertex%0D%0A\draw\,(5%2C1)\,--\,(3.5%2C6)%3B%0D%0A\draw\,(6%2C3)\,--\,(3.5%2C6)%3B%0D%0A\draw\,(3%2C3)\,--\,(3.5%2C6)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

Exercice 6 : construire le patron d’un cube
\begin{center}
Correction de l’exercice : Construction du patron du cube
\end{center}

\begin{tikzpicture}
% Draw the cube
\draw[thick] (1,1) — (2,2) — (4,2) — (3,1) — cycle; % Top face
\draw[thick] (1,1) — (1,-1) — (3,-1) — (3,1); % Front face
\draw[thick] (4,2) — (4,0) — (3,-1); % Side face

% Front face
\node at (2,-0.5) {\Huge $\Delta$};

% Side face
\node at (3.5,0.5) {\huge $\partial$};

% Top face
\node at (2.5,1.5) {\Huge $\forall$};
\end{tikzpicture}

\begin{comment}
Legend: left, top, right, bottom (around center part), back, front
\end{comment}

\begin{tikzpicture}
% Draw the net of the cube
% Center part
\draw[thick] (0,0) — (2,0) — (2,2) — (0,2) — cycle;
% Top part
\draw[thick] (0,2) — (0,4) — (2,4) — (2,2);
% Bottom part
\draw[thick] (0,0) — (0,-2) — (2,-2) — (2,0);
% Left part
\draw[thick] (-2,2) — (0,2) — (0,0) — (-2,0) — cycle;
% Right part
\draw[thick] (2,2) — (4,2) — (4,0) — (2,0) — cycle;
% Back part
\draw[thick] (0,4) — (0,6) — (2,6) — (2,4) — cycle;

% Add symbols
\node at (1,1) {\Huge $\Delta$}; % Center/front face
\node at (1,3) {\Huge $\partial$}; % Top face
\node[red] at (1,-1) {\Huge $\infty$}; % Bottom face
\node[red] at (-1,1) {\Huge \textepsilon}; % Left face
\node at (3,1) {\Huge $\forall$}; % Right face
\node[red] at (1,5) {\huge $+’$}; % Back face
\end{tikzpicture}

Exercice 7 : construire le patron d’un prisme
Pour ce type problématique de construction géométrique, nous devons établir et justifier les étapes de la construction du patron du prisme droit .

1. $Tracer\,le\,carre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FEFGH%22\,alt=%22EFGH$ de cote 2 cm : » align= »absmiddle » />
$\begin{array}{c}%0D%0ATracer\,un\,segment\,de\,longueur\,2\,cm%2C\,$EF\,=\,2\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\\%0D%0AA\,partir\,de\,$E$\,et\,$F$%2C\,tracer\,deux\,segments\,perpendiculaires\,de\,longueur\,2\,cm%2C\,$EH$\,et\,$FG$.%0D%0A\\%0D%0ARelier\,$H$\,a\,$G$\,par\,un\,segment%2C\,$HG\,=\,2\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\end{array}$ }.
\\
A partir de et , tracer deux segments perpendiculaires de longueur 2 cm, et .
\\
Relier a par un segment, $HG\,=\,2\%2C\,\text{cm$ }.
\end{array} » align= »absmiddle » />

2. $Tracer\,le\,carre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FDCGH%22\,alt=%22DCGH$ de cote 2 cm : » align= »absmiddle » />
$\begin{array}{c}%0D%0ATracer\,un\,segment\,de\,longueur\,2\,cm\,parallele\,et\,adjacent\,a\,$HG$%2C\,$DC\,=\,2\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\\%0D%0ATracer\,des\,segments\,perpendiculaires\,et\,adjacents\,a\,$DC$%2C\,$DH$\,et\,$CG$\,de\,longueur\,2\,cm\,(paralleles\,a\,$DH$\,et\,$CG$).%0D%0A\end{array}$ , $DC\,=\,2\%2C\,\text{cm$ }.
\\
Tracer des segments perpendiculaires et adjacents a , et de longueur 2 cm (paralleles a et ).
\end{array} » align= »absmiddle » />

3. $Tracer\,le\,trapeze\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FADHE%22\,alt=%22ADHE$ rectangle avec $AD\,=\,5\%2C\,cm$ et $EH\,=\,2\%2C\,cm$ : » align= »absmiddle » />
$\begin{array}{c}%0D%0ATracer\,un\,segment\,de\,5\,cm%2C\,$AD\,=\,5\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\\%0D%0AA\,partir\,de\,$A$%2C\,tracer\,une\,perpendiculaire\,a\,$AD$\,de\,2\,cm%2C\,$AE\,=\,2\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\\%0D%0ARelier\,$E$\,a\,$D$\,par\,un\,segment%2C\,$EH$\,est\,parallele\,a\,cette\,ligne.%0D%0A\end{array}$ }.
\\
A partir de , tracer une perpendiculaire a de 2 cm, $AE\,=\,2\%2C\,\text{cm$ }.
\\
Relier a par un segment, est parallele a cette ligne.
\end{array} » align= »absmiddle » />

4. $Tracer\,le\,trapeze\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FBCGF%22\,alt=%22BCGF$ rectangle avec $BC\,=\,5\%2C\,cm$ et $FG\,=\,2\%2C\,cm$ : » align= »absmiddle » />
$\begin{array}{c}%0D%0ATracer\,un\,segment\,de\,5\,cm%2C\,$BC\,=\,5\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\\%0D%0AA\,partir\,de\,$B$%2C\,tracer\,une\,perpendiculaire\,a\,$BC$\,de\,2\,cm%2C\,$BF\,=\,2\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\\%0D%0ATracer\,$CG$\,parallele\,a\,$BH$%3B\,relier\,$B$\,a\,$D$\,et\,$G$.%0D%0A\end{array}$ }.
\\
A partir de , tracer une perpendiculaire a de 2 cm, $BF\,=\,2\%2C\,\text{cm$ }.
\\
Tracer parallele a ; relier a et .
\end{array} » align= »absmiddle » />

5. $Completer\,la\,construction\,des\,faces\,laterales\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABCD%252C%2520ADFB%22\,alt=%22ABCD%2C\,ADFB$ : » align= »absmiddle » />
$\begin{array}{c}%0D%0ARelier\,les\,sommets\,restants\,pour\,completer\,la\,figure\,plane\,du\,patron\,$ABCD$.%0D%0A\\%0D%0ALe\,rectangle\,forme\,par\,$A-B-C-D$\,servira\,de\,base\,du\,prisme\,$AB\,=\,CD\,=\,5\%2C\,\text{cm$}.%0D%0A\end{array}$ .
\\
Le rectangle forme par servira de base du prisme $AB\,=\,CD\,=\,5\%2C\,\text{cm$ }.
\end{array} » align= »absmiddle » />

6. $Face\,laterale\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FDCGH%22\,alt=%22DCGH$ : » align= »absmiddle » />
$\begin{array}{c}%0D%0ATracer\,tous\,les\,segments\,restants\,pour\,obtenir\,chacune\,des\,faces\,du\,prisme\,en\,grandeur\,reelle\,et\,en\,dimension.%0D%0A\end{array}$

Ainsi, en suivant ces étapes avec précision, le patron du prisme droit sera correctement construit de manière justifiée avec les côtés et dimensions donnés.

Exercice 8 : représenter un tétraèdre en perspective cavalière
1) La représentation en perspective cavalière nécessite un dessin. Une présentation typique montrerait un tétraèdre régulier avec des côtés égaux et des sommets $A$, $B$, $C$, et $S$. Dessinez un triangle équilatéral $ABC$ avec des segments reliant chaque sommet au sommet $S$ au-dessus du plan.

2) Pour calculer la longueur $IS$ :
– Le milieu $I$ de $[AB]$ divise $AB$ en deux segments de 2 cm chacun.
– Dans un triangle équilatéral, la hauteur coupe le côté opposé en deux segments égaux.
– La hauteur d’un triangle équilatéral de côté $4$ cm est donnée par la formule $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, donc pour $a = 4$ cm, on a $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$ cm.
– Ainsi, $IS = 2$ cm.

3) Pour calculer la longueur $SH$ :
– $SH$ est la hauteur du tétraèdre régulier.
– Dans un tétraèdre régulier, la hauteur se calcule avec $h = \frac{\sqrt{2}}{3} \times a \sqrt{3}$, où $a$ est la longueur d’un côté.
– Donc, $SH = \frac{\sqrt{2}}{3} \times 4 \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ cm.

4) Pour calculer le volume du tétraèdre $ABCS$ :
– Le volume $V$ d’un tétraèdre régulier avec des côtés de longueur $a$ est donné par $V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$.
– En substituant $a = 4$ cm, on obtient $V = \frac{4^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{64 \sqrt{2}}{12} = \frac{16 \sqrt{2}}{3} \approx 7.55$ cm\^3.

Ainsi, les longueurs et le volume sont :

$IS\,=\,2\,\,cm$
$SH\,=\,\frac{4\sqrt{6}}{3}\,\,cm$
$V\,=\,\frac{16\,\sqrt{2}}{3}\,\,cm^3$

Exercice 9 : un patron pour confectionner une initiale
Pour construire un patron de l’objet donné, nous devons décomposer la lettre « H » en plusieurs rectangles et les placer de manière à pouvoir les assembler.

Les dimensions fournies sont :
– Hauteur : 6 cm
– Largeur des barres verticales : 2 cm
– Largeur de la barre horizontale : 1 cm

Le patron peut être représenté par les différentes faces du solide, chaque face étant un rectangle.

1. Panneau avant (identique au panneau arrière) : un « H » de dimensions $6\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm$ (la somme des largeurs des barres verticales et de la barre horizontale).

2. faces latérales :
Pour la longueur, nous avons $6\,\%2C\,cm$ pour la hauteur de chaque barre, $3\,\%2C\,cm$ pour la longueur du côté supérieur de la partie extérieure de chaque barre verticale, $1\,\%2C\,cm\,%2B\,1\,\%2C\,cm\,=\,2\,\%2C\,cm$ pour le sommet horizontal.

La largeur de chaque barre verticale est de $2\,\%2C\,cm$ .

3. faces horizontales :
Pour la face supérieure, nous avons l’épaisseur de $1\,\%2C\,cm$ pour la verticale plus les $3\,\%2C\,cm$ pour l’autre côté curie. Nous avons les durchesse.

Voici le patron en détaillant :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A\\,%26\,\\,\\,%26\,\\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2\%2C\,cm\,%26\,1\%2C\,cm\,%26\,2\%2C\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\%2C\,cm\,%26\,2\%2C\,cm\,%26\,1\%2C\,cm\,\\%0D%0A\\,%26\,\\,\\,%26\,\\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\%2C\,cm\,%26\,2\%2C\,cm\,%26\,1\%2C\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2\%2C\,cm\,%26\,1\%2C\,cm\,%26\,2\%2C\,cm\\%0D%0A\hline%0D%0A\\,%26\,\\,\\,%26\,\\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\\,%26\,\\,\\,%26\,\\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\\,%26\,\\,\\,%26\,\\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\\,%26\,\\,\\,%26\,\\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 10 : volume du chocolat pour une boule pleine
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer le volume de chocolat nécessaire pour remplir 24 boules.

Chaque cavité dans le moule a la forme d’une demi-sphère. Commençons par calculer le volume d’une seule demi-sphère.

Le volume d’une sphère est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$

Étant donné qu’une cavité est une demi-sphère, son volume sera la moitié de celui d’une sphère complète :
$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{1}{2}\,(\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3\,)\,=\,\frac{2}{3}\,\pi\,r^3$

Le diamètre de la demi-sphère est de 3 cm, donc son rayon est :
$r\,=\,\frac{3}{2}\,=\,1%2C5\,\\,cm$

En substituant dans la formule du volume de la demi-sphère, nous obtenons :
$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{2}{3}\,\pi\,(1%2C5)^3$
$(1%2C5)^3\,=\,1%2C5\,\times \,1%2C5\,\times \,1%2C5\,=\,3%2C375$

Donc,
$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{2}{3}\,\pi\,\times \,3%2C375$
$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{6%2C75\,\pi}{3}$
$V_{demi-sphere}\,=\,2%2C25\,\pi\,\\,cm^3$

Pour 24 demi-sphères :
$V_{total}\,=\,24\,\times \,2%2C25\,\pi$
$V_{total}\,=\,54\,\pi\,\\,cm^3$

Approximativement, en utilisant $\pi\,\approx\,3%2C14$ :
$V_{total}\,\approx\,54\,\times \,3%2C14$
$V_{total}\,\approx\,169%2C56\,\\,cm^3$

Donc, le volume de chocolat nécessaire pour fabriquer 24 boules pleines est de $54\,\pi\,\\,cm^3$ , soit environ $169%2C56\,\\,cm^3$ de chocolat.

Exercice 11 : volume de la part d’un camembert
Le volume d’un cylindre se calcule à l’aide de la formule :
$V\,=\,\pi\,r^2\,h$
où est le rayon et est la hauteur.

La hauteur du camembert est $h\,=\,3$ cm et son diamètre est cm, soit un rayon de
$r\,=\,\frac{11}{2}\,=\,5.5\,\,cm$ .

Le volume total du camembert est donc :
$V_{total}\,=\,\pi\,\times \,(5.5)^2\,\times \,3$
$V_{total}\,=\,\pi\,\times \,30.25\,\times \,3$
$V_{total}\,=\,90.75\,\pi\,\\,cm^3$

La part découpée représente $\frac{1}{8}$ du camembert, donc le volume de la part est :
$V_{part}\,=\,\frac{1}{8}\,\times \,V_{total}$
$V_{part}\,=\,\frac{1}{8}\,\times \,90.75\,\pi$
$V_{part}\,=\,11.34375\,\pi\,\\,cm^3$

En conclusion, le volume de la part est :
$V_{part}\,\approx\,35.63\,\\,cm^3\,\\,(en\,arrondissant\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cpi%2520%255Capprox%25203.14159%22\,alt=%22\pi\,\approx\,3.14159$ ). » align= »absmiddle » />

Exercice 12 : réduction de la pyramide de Khéops
1) Représentation de la pyramide en perspective cavalière :
La représentation en perspective cavalière n’est pas réalisable directement avec LaTeX sans graphique, mais on peut définir le coefficient de réduction. Supposons que l’on choisit un coefficient de réduction de $k\,=\,\frac{1}{2}$ . La base carrée de la pyramide réduite aura alors une longueur de $230%2C3\,\times \,\frac{1}{2}\,=\,115%2C15$ mètres.

2) Volume de pierre nécessaire pour la construction :
Le volume d’une pyramide est donné par :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,Aire\,de\,la\,base\,\times \,Hauteur$

L’aire de la base carrée est :
$Aire\,de\,la\,base\,=\,230%2C3^2\,=\,53038%2C09\,\%2C\,m^2$

La hauteur originelle est de 146,6 mètres. Ainsi, le volume originel est :
$V_{originel}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,53038%2C09\,\times \,146%2C6\,\approx\,2592127%2C64\,\%2C\,m^3$

3) Volume perdu depuis la construction :
La hauteur actuelle est de 138,7 mètres. Le volume actuel est :
$V_{actuel}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,53038%2C09\,\times \,138%2C7\,\approx\,2453947%2C12\,\%2C\,m^3$

Le volume perdu est donc :
$V_{perdu}\,=\,V_{originel}\,-\,V_{actuel}\,\approx\,2592127%2C64\,-\,2453947%2C12\,=\,138180%2C52\,\%2C\,m^3$

Exercice 13 : droites parallèles et coplanaires dans un parallélépipède
1) Les droites (AB) et (HG) définissent-elles un plan ?

– Non, les droites (AB) et (HG) ne se croisent pas et ne sont pas parallèles. Elles n’appartiennent pas non plus à un même plan.

2) Les droites (AB) et (CG) définissent-elles un plan ?

– Oui, les droites (AB) et (CG) définissent un plan. Ce plan est le plan (ABCG) .

3) Citer trois droites parallèles à (FG) .

– Les trois droites parallèles à (FG) sont : (EH) , (DC) et (AB) .

4) Citer trois droites sécantes à (FG) .

– Les trois droites sécantes à (FG) sont : (EF) , (GH) et (BC) .

5) Citer trois droites non coplanaires à (FG) .

– Les trois droites non coplanaires à (FG) sont : (AE) , (AD) et (EB) .

Exercice 14 : pyramide à base rectangulaire
1) $(\,AB\,)$ et $(\,CD\,)$

Les droites $(\,AB\,)$ et $(\,CD\,)$ sont deux arêtes opposées de la base rectangulaire. Dans un rectangle, les arêtes opposées sont parallèles, donc :

$(\,AB\,)\,\parallel\,(\,CD\,)$

2) $(\,SA\,)$ et $(\,BD\,)$

La droite $(\,SA\,)$ est une arête de la pyramide, tandis que la droite $(\,BD\,)$ est une diagonale de la base rectangulaire. Ces deux droites ne sont pas coplanaires et ne peuvent donc pas être parallèles ni concourantes. Elles sont donc sécantes en un point quelconque de l’espace :

$(\,SA\,)\,\quad\,et\,\quad\,(\,BD\,)\,\quad\,sont\,secantes\,en\,un\,point\,quelconque\,de\,l'espace$

3) $(\,HA\,)$ et $(\,SC\,)$

La droite $(\,HA\,)$ est une arête de la base rectangulaire et la droite $(\,SC\,)$ est une arête latérale de la pyramide. Ces deux droites ne sont pas coplanaires et ne peuvent donc pas être parallèles ni concourantes. Elles sont donc sécantes en un point quelconque de l’espace :

$(\,HA\,)\,\quad\,et\,\quad\,(\,SC\,)\,\quad\,sont\,secantes\,en\,un\,point\,quelconque\,de\,l'espace$

4) $(\,BH\,)$ et $(\,DB\,)$

La droite $(\,BH\,)$ est une médiane de la base rectangulaire qui part de et passe par . La droite $(\,DB\,)$ est une diagonale de la base qui relie les points et . Ces deux droites sont coplanaires mais distinctes, donc elles ne peuvent pas être ni parallèles ni concourantes :

$(\,BH\,)\,\quad\,et\,\quad\,(\,DB\,)\,\quad\,se\,coupent\,en\,un\,point\,distinct\,de\,la\,base$

Exercice 15 : positions relatives de droite et plan
1) (AB) appartient au plan (ABC) . En effet, les points et sont deux points distincts de la droite (AB) , et avec le point , ils définissent le plan (ABC) .

2) (SE) est sécante au plan (ABC) . La droite (SE) passe par le point qui appartient au plan (ABC) , ainsi qu’au point qui est en dehors du plan (ABC) . Par conséquent, (SE) intersecte le plan (ABC) en un seul point, qui est le point .

3) (EF) est parallèle au plan (ABC) . Les points et sont définis de telle manière que la droite (EF) ne coupe pas et n’est pas contenue dans le plan (ABC) .

Exercice 16 : un camenbert et un cylindre de révolution
1) Les deux plans parallèles sont les plans (OAB) et (O'DC) .

2) Les trois plans sécants avec le plan (ABF) sont:
$(OO')\,%2C\,(ABF)\,%2C\,(ABC)$

3) La section obtenue par la coupe du cylindre suivant la droite (GE) parallèlement à (CB) sera un rectangle.

4) Les plans (EFG) et (EOO') sont parallèles.

Exercice 17 : positions relatives de plans
1) Les plans (ABE) et (GHF) sont parallèles.

Explication : Les points $A%2C\,B%2C\,E$ et les points $G%2C\,H%2C\,F$ appartiennent respectivement à des bases parallèles du cylindre.

2) Les plans (ABC) et (GHI) sont parallèles.

Explication : Les points $A%2C\,B%2C\,C$ et les points $G%2C\,H%2C\,I$ appartiennent respectivement aux plans parallèles des bases du cylindre.

3) Les plans (ACG) et (JHI) se coupent selon la droite (IJ) .

Explication : Les points $A%2C\,C%2C\,G$ appartiennent à la base supérieure du cylindre et $J%2C\,H%2C\,I$ appartiennent à la base inférieure du cylindre, sauf que est aligné avec en formant une droite perpendiculaire au plan des bases du cylindre.

Les équations LaTeX correspondantes sont les suivantes :

1) $(ABE)\,\parallel\,(GHF)$

2) $(ABC)\,\parallel\,(GHI)$

3) $(ACG)\,\cap\,(JHI)\,=\,(IJ)$

Exercice 18 : intersections de plans dans l’espace
Correction de l’exercice :

$1)\,Reproduire\,la\,figure\,ci-dessus\,et\,y\,placer\,le\,point\,I.$
Pour cette première question, il vous suffit de reproduire soigneusement la figure du parallélépipède rectangle et de placer un point quelconque sur le segment .

$2)\,Construire\,sur\,cette\,figure\,%3A$

$\bullet\,Les\,intersections\,des\,plans\,\,(EHI)\,\,et\,\,(AFB)$ :

Soit un point quelconque sur . Le plan (EHI) contient les points , , et . Le plan (AFB) contient les points , , et .
L’intersection des plans (EHI) et (AFB) se fait le long d’une droite. Cette droite est définie par les points et , car est l’intersection de (EH) et (AF) , et n’appartient pas à (EF) .

$\bullet\,Les\,intersections\,des\,plans\,\,(EHI)\,\,et\,\,(HDG)$ :

Le plan (EHI) intersecte le plan (HDG) le long de la droite passant par et . n’influence pas cette intersection car il se trouve sur le segment , ne faisant partie ni de ni de .

$\bullet\,Les\,intersections\,des\,plans\,\,(EHI)\,\,et\,\,(BDF)$ :

Le plan (EHI) intersecte le plan (BDF) le long de la droite passant par les points (intersection de et ) et (par définition, appartient au segment ).

$\bullet\,Les\,intersections\,des\,plans\,\,(EHI)\,\,et\,\,(FBC)$ :

appartient au segment , est le point d’intersection des segments et , appartient au segment .
L’intersection des plans (EHI) et (FBC) se trouve dans le point d’intersection des droites et , en prenant en compte sur (AB) .

Au final, les intersections peuvent être résumées ainsi :

1. Les plans (EHI) et (AFB) se coupent le long de la droite .
2. Les plans (EHI) et (HDG) se coupent le long de la droite .
3. Les plans (EHI) et (BDF) se coupent le long de la droite .
4. Les plans (EHI) et (FBC) se coupent dans une droite passant par un point.

Exercice 19 : algorithme et volumes de deux solides
1) Que renvoie cet algorithme pour $X\,=\,3$ et $Y\,=\,6$ ?

Calculons pas à pas les valeurs des variables de l’algorithme :

– Selon l’étape 10 : $V1\,=\,\frac{X\,\times \,X\,\times \,Y}{3}\,=\,\frac{3\,\times \,3\,\times \,6}{3}\,=\,18$

– Selon l’étape 11 : $V2\,=\,X\,\times \,X\,\times \,4\,=\,3\,\times \,3\,\times \,4\,=\,36$

– Selon l’étape 12 : $V\,=\,V1\,%2B\,V2\,=\,18\,%2B\,36\,=\,54$

Ainsi, l’algorithme renverra :
$Le\,volume\,est\,%3A\,\,54$

2) et sont les volumes des deux solides classiques. Représenter en perspective cavalière un solide dont le volume serait calculé par cet algorithme.

Nous avons :

– $V1\,=\,\frac{X\,\times \,X\,\times \,Y}{3}$ représente le volume d’une pyramide de base carrée de côté et de hauteur .

– $V2\,=\,X\,\times \,X\,\times \,4$ est le volume d’un prisme à base carrée de côté et de hauteur .

Pour obtenir un solide dont le volume serait calculé par cet algorithme, il faut combiner ces deux solides. En perspective cavalière, nous représentons ces solides de cette manière :

– Tout d’abord, un prisme de base carrée de côté et de hauteur .

– Ensuite, une pyramide de base carrée de côté et de hauteur placée au-dessus du prisme.

« `plaintext
+———+
/ /|
/ / |
+———+ |
| | |
| | |
hauteur 4 | | | hauteur Y
| | +
| | /
| |/
+———+
« `

Ce schéma combine les volumes des deux solides classiques pour obtenir le volume total calculé par l’algorithme.

Exercice 20 : patron du polyèdre
1) Patron du polyèdre $IBCDJLMKGHI’J’$

Pour tracer le patron du polyèdre, nous allons déplier les faces du parallélépipède.

– $\boxed{BI’J’I}$
– $\boxed{BCIF}$
– $\boxed{ICD}$
– $\boxed{DJLEI}$
– $\boxed{LKGJ}$
– $\boxed{FKFM}$
– $\boxed{FMIM}$

Ainsi, nous avons les arêtes entre les points :

– $ I (4,0) $
– $ B (4,3) $
– $ C (4+2)=6 $
– $ D (4,3)=7 $
– $ J’ $
– $ L(I)=6 $
– $ M = (2,1) $
– $ G(6,2)=9$

Le schéma devrait représenter tous les points connectés et les distances proportionnelles respectées.

2) Construction en vraie grandeur du patron du polyèdre

Pour tracer ce patron, il suffit de reporter fidèlement les longueurs des côtés précédemment annoncées.

$AB = 4\, cm$
$BC = 3\, cm$
$AE = 2\, cm$
$FL = 1\, cm$
$FK = 1\, cm$
$FM = 1\, cm$

Utiliser une règle pour mesurer et tracer les segments. Le patron une fois déplié ressemblera à une série de rectangles et de triangles connectés comme le montre la figure schématisée.

Voir Corrigés 11 à 20 ...