Géométrie dans l’espace : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : coordonnées géographiques des villes
Les coordonnées géographiques (latitude et longitude) des cinq villes représentées sur le globe sont les suivantes :

1. New York :
\[
\text{Latitude} : 40^\circ \text{N} \quad \text{Longitude} : 74^\circ \text{W}
\]

2. Castellón :
\[
\text{Latitude} : 40^\circ \text{N} \quad \text{Longitude} : 0^\circ
\]

3. Kaduqli :
\[
\text{Latitude} : 12^\circ \text{N} \quad \text{Longitude} : 30^\circ \text{E}
\]

4. Rio de Janeiro :
\[
\text{Latitude} : 23^\circ \text{S} \quad \text{Longitude} : 43^\circ \text{W}
\]

5. Le Cap :
\[
\text{Latitude} : 34^\circ \text{S} \quad \text{Longitude} : 18^\circ \text{E}
\]

Exercice 2 : photocopie de la sphère terrestre
Correction de l’exercice :

\[\]a)\[\] Colorier en rouge tous les points de latitude \( 23^\circ \; N \) (tropique du Cancer).

Les points de latitude \( 23^\circ \; N \) forment une ligne horizontale parallèle à l’équateur au nord de celui-ci. Sur la photocopie de la sphère terrestre, ces points constituent un cercle entier parallèle à l’équateur.

\[\]b)\[\] Colorier en vert tous les points de latitude \( 23^\circ \; S \) (tropique du Capricorne).

Les points de latitude \( 23^\circ \; S \) forment une ligne horizontale parallèle à l’équateur au sud de celui-ci. Sur la photocopie de la sphère terrestre, ces points constituent également un cercle entier parallèle à l’équateur.

\[\]c)\[\] Colorier en bleu tous les points de longitude \( 10^\circ \; E \).

Les points de longitude \( 10^\circ \; E \) forment une ligne verticale qui traverse les pôles nord et sud et est située à \( 10^\circ \; \) à l’est du méridien de Greenwich. Sur la photocopie de la sphère terrestre, cette ligne est un demi-cercle allant du pôle nord au pôle sud, en passant par l’équateur.

Utiliser les couleurs appropriées pour marquer ces points sur votre carte : rouge pour les points à \( 23^\circ \; N \), vert pour les points à \( 23^\circ \; S \) et bleu pour les points à \( 10^\circ \; E \).

Exercice 3 : position relative dans un tétraèdre

a) Étant donné que \( \frac{MF}{MN} = \frac{1}{3} \) et \( \frac{MG}{MQ} = \frac{1}{3} \), les points F et G sont respectivement aux tiers des segments [MN] et [MQ].

Les droites (NQ) et (FG) sont concourantes en G. Elles ne peuvent donc être ni parallèles ni strictement sécantes, elles se coupent en G.

b) Les droites (MP) et (NQ) :
– La droite (MP) passe par les points M et P.
– La droite (NQ) passe par les points N et Q.

Les droites (MP) et (NQ) ne sont pas coplanaires, donc elles sont gauches.

c) Pour les plans (PFQ) et (NGP) :
– Le plan (PFQ) est déterminé par les points P, F et Q.
– Le plan (NGP) est déterminé par les points N, G et P.

Les plans (PFQ) et (NGP) ne peuvent être strictement parallèles car ils partagent le point P (et en fait même la droite (PQ)). Par ailleurs, en utilisant le fait que le point G appartient à la droite MQ qui coupe le plan (PFQ), il est clair que G appartient aussi au plan (NGP).

Donc, les plans (PFQ) et (NGP) se coupent suivant la droite (PQ).

Exercice 4 : volume d’un pavé droit
{Correction de l’exercice de mathématiques}

1. {Volume et hauteur du pavé}

Le volume \[V\] d’un pavé droit est donné par:
\[ V = L \times \ell \times h \]
où \[L = 10 \, \text{cm}\] (longueur), \[\ell = 7 \, \text{cm}\] (largeur), et \[h\] (hauteur).

On sait que le volume est de \[210 \, \text{cm}^3\], donc:
\[ 210 = 10 \times 7 \times h \]
\[ 210 = 70h \]
\[ h = \frac{210}{70} \]
\[ h = 3 \, \text{cm} \]

La hauteur du pavé est donc de \[3 \, \text{cm}\].

2. {Volume d’un cube lorsque l’on triple la longueur de ses arêtes}

Le volume \[V\] d’un cube de côté \[a\] est donné par:
\[ V_{\text{initial}} = a^3 \]
Dans notre cas, \[a = 1 \, \text{cm}\], donc:
\[ V_{\text{initial}} = 1^3 = 1 \, \text{cm}^3 \]

Si on triple la longueur de ses arêtes, alors \[a’ = 3a = 3 \, \text{cm}\]:
\[ V_{\text{nouveau}} = (3a)^3 \]
\[ V_{\text{nouveau}} = 3^3 \times a^3 \]
\[ V_{\text{nouveau}} = 27a^3 \]
\[ V_{\text{nouveau}} = 27 \, \text{cm}^3 \]

Lorsque la longueur des arêtes est triplée, le volume du cube devient \[27 \, \text{cm}^3\].

3. {Ségments parallèles, sécants et non coplanaires}

Utilisons la figure du cube \[ABCDEFGH\] pour identifier les segments :

– {Parallèles :}
– Les droites \[AB\] et \[CD\] sont parallèles.
– Les droites \[EF\] et \[GH\] sont également parallèles.

– {Sécantes :}
– Les droites \[AB\] et \[AD\] se coupent en \[A\].
– Les droites \[EF\] et \[EH\] se coupent en \[E\].

– {Non coplanaires :}
– Les droites \[AB\] et \[EH\] ne sont pas coplanaires.
– Les droites \[CD\] et \[GF\] ne sont pas coplanaires.

Exercice 5 : représentations en perspective cavalière
Correction de l’exercice :

1. Construction d’un cube d’arêtes de longueur 6 carreaux :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[blue, very thin] (0,0) grid (8,8);
\draw (1,1) — (7,1) — (7,7) — (1,7) — cycle; % Drawing the base of the cube
\draw (1,1) — (3,2) — (9,2) — (7,1); % Drawing the depth lines
\draw (3,2) — (3,8) — (9,8) — (9,2); % Drawing the upper face
\draw (1,7) — (3,8); % Connecting base to the upper face
\draw (7,7) — (9,8); % Connecting base to the upper face
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

2. Construction d’un cube d’arêtes de longueur 5 carreaux :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[blue, very thin] (0,0) grid (7,7);
\draw (1,1) — (6,1) — (6,6) — (1,6) — cycle; % Drawing the base of the cube
\draw (1,1) — (3,1.5) — (8,1.5) — (6,1); % Drawing the depth lines
\draw (3,1.5) — (3,6.5) — (8,6.5) — (8,1.5); % Drawing the upper face
\draw (1,6) — (3,6.5); % Connecting base to the upper face
\draw (6,6) — (8,6.5); % Connecting base to the upper face
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

3. Construction d’un parallélépipède rectangle de dimensions 3, 5 et 6 carreaux :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[blue, very thin] (0,0) grid (6,10);
\draw (1,1) — (6,1) — (6,6) — (1,6) — cycle; % Drawing the base of the parallelepiped
\draw (1,1) — (3,1.5) — (3,6.5) — (1,6); % Drawing the depth lines (side 3)
\draw (6,1) — (8,1.5) — (8,6.5) — (6,6); % Drawing the depth lines (side 5)
\draw (3,1.5) — (8,1.5); % Bottom line of the front face
\draw (3,6.5) — (8,6.5); % Top line of the front face
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

4. Construction d’une pyramide de hauteur 6 carreaux à base carrée dont le côté mesure 3 carreaux :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[blue, very thin] (0,0) grid (6,7);
\draw (2,1) — (5,1) — (6,3) — (3,3) — cycle; % Drawing the base of the pyramid
\draw[dashed] (2,1) — (3,3); % Connecting the left bottom corner to the right top corner
\draw[dashed] (6,3) — (5,1); % Connecting the right bottom corner to the left top corner
\draw (3.5,3) — (3.5,6); % Drawing the height line from the center to the top vertex
\draw (2,1) — (3.5,6); % Connecting base corners to the top vertex
\draw (5,1) — (3.5,6);
\draw (6,3) — (3.5,6);
\draw (3,3) — (3.5,6);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Exercice 6 : construire le patron d’un cube
\begin{center}
{Correction de l’exercice : Construction du patron du cube}
\end{center}

\begin{tikzpicture}
% Draw the cube
\draw[thick] (1,1) — (2,2) — (4,2) — (3,1) — cycle; % Top face
\draw[thick] (1,1) — (1,-1) — (3,-1) — (3,1); % Front face
\draw[thick] (4,2) — (4,0) — (3,-1); % Side face

% Front face
\node at (2,-0.5) {\Huge \[\Delta\]};

% Side face
\node at (3.5,0.5) {\huge \[\partial\]};

% Top face
\node at (2.5,1.5) {\Huge \[\forall\]};
\end{tikzpicture}

\begin{comment}
Legend: left, top, right, bottom (around center part), back, front
\end{comment}

\begin{tikzpicture}
% Draw the net of the cube
% Center part
\draw[thick] (0,0) — (2,0) — (2,2) — (0,2) — cycle;
% Top part
\draw[thick] (0,2) — (0,4) — (2,4) — (2,2);
% Bottom part
\draw[thick] (0,0) — (0,-2) — (2,-2) — (2,0);
% Left part
\draw[thick] (-2,2) — (0,2) — (0,0) — (-2,0) — cycle;
% Right part
\draw[thick] (2,2) — (4,2) — (4,0) — (2,0) — cycle;
% Back part
\draw[thick] (0,4) — (0,6) — (2,6) — (2,4) — cycle;

% Add symbols
\node at (1,1) {\Huge \[\Delta\]}; % Center/front face
\node at (1,3) {\Huge \[\partial\]}; % Top face
\node[red] at (1,-1) {\Huge \[\infty\]}; % Bottom face
\node[red] at (-1,1) {\Huge \textepsilon}; % Left face
\node at (3,1) {\Huge \[\forall\]}; % Right face
\node[red] at (1,5) {\huge \[+’\]}; % Back face
\end{tikzpicture}

Exercice 7 : construire le patron d’un prisme
Pour ce type problématique de construction géométrique, nous devons établir et justifier les étapes de la construction du patron du prisme droit \(ABCDEFGH\).

1. \[\]Tracer le carré \(EFGH\) de côté 2 cm :\[\]
\[
\begin{array}{c}
\text{Tracer un segment de longueur 2 cm, \(EF = 2\, \text{cm}\)}.
\\
\text{À partir de \(E\) et \(F\), tracer deux segments perpendiculaires de longueur 2 cm, \(EH\) et \(FG\)}.
\\
\text{Relier \(H\) à \(G\) par un segment, \(HG = 2\, \text{cm}\)}.
\end{array}
\]

2. \[\]Tracer le carré \(DCGH\) de côté 2 cm :\[\]
\[
\begin{array}{c}
\text{Tracer un segment de longueur 2 cm parallèle et adjacent à \(HG\), \(DC = 2\, \text{cm}\)}.
\\
\text{Tracer des segments perpendiculaires et adjacents à \(DC\), \(DH\) et \(CG\) de longueur 2 cm (parallèles à \(DH\) et \(CG\))}.
\end{array}
\]

3. \[\]Tracer le trapèze \(ADHE\) rectangle avec \(AD = 5\, \text{cm}\) et \(EH = 2\, \text{cm}\) :\[\]
\[
\begin{array}{c}
\text{Tracer un segment de 5 cm, \(AD = 5\, \text{cm}\)}.
\\
\text{À partir de \(A\), tracer une perpendiculaire à \(AD\) de 2 cm, \(AE = 2\, \text{cm}\)}.
\\
\text{Relier \(E\) à \(D\) par un segment, \(EH\) est parallèle à cette ligne.}
\end{array}
\]

4. \[\]Tracer le trapèze \(BCGF\) rectangle avec \(BC = 5\, \text{cm}\) et \(FG = 2\, \text{cm}\) :\[\]
\[
\begin{array}{c}
\text{Tracer un segment de 5 cm, \(BC = 5\, \text{cm}\)}.
\\
\text{À partir de \(B\), tracer une perpendiculaire à \(BC\) de 2 cm, \(BF = 2\, \text{cm}\)}.
\\
\text{Tracer \(CG\) parallèle à \(BH\); relier \(B\) à \(D\) et \(G\)}.
\end{array}
\]

5. \[\]Compléter la construction des faces latérales \(ABCD, ADFB\):\[\]
\[
\begin{array}{c}
\text{Relier les sommets restants pour compléter la figure plane du patron \(ABCD\)}.
\\
\text{Le rectangle formé par \(A-B-C-D\) servira de base du prisme \(AB = CD = 5\, \text{cm}\)}.
\end{array}
\]

6. \[\]Face latérale \(DCGH\):\[\]
\[
\begin{array}{c}
\text{Tracer tous les segments restants pour obtenir chacune des faces du prisme en grandeur réelle et en dimension.}
\end{array}
\]

Ainsi, en suivant ces étapes avec précision, le patron du prisme droit \(ABCDEFGH\) sera correctement construit de manière justifiée avec les côtés et dimensions donnés.

Exercice 8 : représenter un tétraèdre en perspective cavalière
1) La représentation en perspective cavalière nécessite un dessin. Une présentation typique montrerait un tétraèdre régulier avec des côtés égaux et des sommets \[A\], \[B\], \[C\], et \[S\]. Dessinez un triangle équilatéral \[ABC\] avec des segments reliant chaque sommet au sommet \[S\] au-dessus du plan.

2) Pour calculer la longueur \[IS\] :
– Le milieu \[I\] de \[[AB]\] divise \[AB\] en deux segments de 2 cm chacun.
– Dans un triangle équilatéral, la hauteur coupe le côté opposé en deux segments égaux.
– La hauteur d’un triangle équilatéral de côté \[4\] cm est donnée par la formule \[\frac{\sqrt{3}}{2}a\], donc pour \[a = 4\] cm, on a \[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}\] cm.
– Ainsi, \[IS = 2\] cm.

3) Pour calculer la longueur \[SH\] :
– \[SH\] est la hauteur du tétraèdre régulier.
– Dans un tétraèdre régulier, la hauteur se calcule avec \[h = \frac{\sqrt{2}}{3} \times a \sqrt{3}\], où \[a\] est la longueur d’un côté.
– Donc, \[SH = \frac{\sqrt{2}}{3} \times 4 \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\] cm.

4) Pour calculer le volume du tétraèdre \[ABCS\] :
– Le volume \[V\] d’un tétraèdre régulier avec des côtés de longueur \[a\] est donné par \[V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}\].
– En substituant \[a = 4\] cm, on obtient \[V = \frac{4^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{64 \sqrt{2}}{12} = \frac{16 \sqrt{2}}{3} \approx 7.55\] cm\^3.

Ainsi, les longueurs et le volume sont :

\[ IS = 2 \text{ cm} \]
\[ SH = \frac{4\sqrt{6}}{3} \text{ cm} \]
\[ V = \frac{16 \sqrt{2}}{3} \text{ cm}^3 \]

Exercice 9 : un patron pour confectionner une initiale
Pour construire un patron de l’objet donné, nous devons décomposer la lettre « H » en plusieurs rectangles et les placer de manière à pouvoir les assembler.

Les dimensions fournies sont :
– Hauteur : 6 cm
– Largeur des barres verticales : 2 cm
– Largeur de la barre horizontale : 1 cm

Le patron peut être représenté par les différentes faces du solide, chaque face étant un rectangle.

1. Panneau avant (identique au panneau arrière) : un « H » de dimensions \(6 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm}\) (la somme des largeurs des barres verticales et de la barre horizontale).

2. faces latérales :
Pour la longueur, nous avons \(6 \, \text{cm}\) pour la hauteur de chaque barre, \(3 \, \text{cm}\) pour la longueur du côté supérieur de la partie extérieure de chaque barre verticale, \(1 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}\) pour le sommet horizontal.

La largeur de chaque barre verticale est de \(2 \, \text{cm}\).

3. faces horizontales :
Pour la face supérieure, nous avons l’épaisseur de \(1 \, \text{cm}\) pour la verticale plus les \(3 \, \text{cm}\) pour l’autre côté curie. Nous avons les durchesse.

Voici le patron en détaillant :

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\ \ \ \ \\
\hline
2\, \text{cm} 1\, \text{cm} 2\, \text{cm} \\
\hline
1\, \text{cm} 2\, \text{cm} 1\, \text{cm} \\
\ \ \ \ \\
\hline
1\, \text{cm} 2\, \text{cm} 1\, \text{cm} \\
\hline
2\, \text{cm} 1\, \text{cm} 2\, \text{cm}\\
\hline
\ \ \ \ \\
\hline
\ \ \ \ \\
\hline
\ \ \ \ \\
\hline
\ \ \ \ \\
\end{array}
\]

Exercice 10 : volume du chocolat pour une boule pleine
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer le volume de chocolat nécessaire pour remplir 24 boules.

Chaque cavité dans le moule a la forme d’une demi-sphère. Commençons par calculer le volume d’une seule demi-sphère.

Le volume \(V\) d’une sphère est donné par la formule :
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Étant donné qu’une cavité est une demi-sphère, son volume sera la moitié de celui d’une sphère complète :
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{1}{2} ( \frac{4}{3} \pi r^3 ) = \frac{2}{3} \pi r^3 \]

Le diamètre de la demi-sphère est de 3 cm, donc son rayon \( r \) est :
\[ r = \frac{3}{2} = 1,5 \ \text{cm} \]

En substituant \( r \) dans la formule du volume de la demi-sphère, nous obtenons :
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{2}{3} \pi (1,5)^3 \]
\[ (1,5)^3 = 1,5 \times 1,5 \times 1,5 = 3,375 \]

Donc,
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{2}{3} \pi \times 3,375 \]
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{6,75 \pi}{3} \]
\[ V_{\text{demi-sphère}} = 2,25 \pi \ \text{cm}^3 \]

Pour 24 demi-sphères :
\[ V_{\text{total}} = 24 \times 2,25 \pi \]
\[ V_{\text{total}} = 54 \pi \ \text{cm}^3 \]

Approximativement, en utilisant \(\pi \approx 3,14\) :
\[ V_{\text{total}} \approx 54 \times 3,14 \]
\[ V_{\text{total}} \approx 169,56 \ \text{cm}^3 \]

Donc, le volume de chocolat nécessaire pour fabriquer 24 boules pleines est de \( 54 \pi \ \text{cm}^3 \), soit environ \( 169,56 \ \text{cm}^3 \) de chocolat.

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