Fonctions affines : exercices de maths en 3ème corrigés à télécharger en PDF

Exercice n° 1 :

Expliquer ce que signifient les notations suivantes :

1. \(f : x \mapsto 3x + 7\) ;
2. \(f(x) = -2x + 3\).

Exercice n° 2 :

Parmi les fonctions données, indiquer celles qui sont affines, celles qui sont linéaires, celles qui ne sont pas affines.

\(f : x \mapsto 5x + 2\) ; \(g : x \mapsto -4 + 3x\) ; \(h : x \mapsto 2x\) ; \(i : x \mapsto 8\) ; \(j : x \mapsto -4x^{2} - 4\) ; \(k : x \mapsto -\dfrac{3x}{7}\) ; \(l : x \mapsto 3\sqrt{x} + 7\) ; \(m : x \mapsto 3 + \dfrac{1}{x}\)

Exercice n° 3 :

La fonction f est définie par : \(f : x \mapsto -5x + 2\).

1. Calculer \(f(2)\) ; \(f(-3)\) ; \(f(0)\).
2. Calculer l^{\prime}image de 4.
3. Calculer le nombre \(x\) tel que : \(f(x) = \dfrac{5}{3}\).

Dans un magasin, une cartouche d’encre pour imprimante coûte 15 €. Sur un site internet, cette même cartouche coûte 10 €, avec des frais de livraison fixes de 40 €, quel que soit le nombre de cartouches achetées.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
   

   Nombre de cartouches achetées	2	5	11	14
   Prix à payer en magasin en euros		75
   Prix à payer par Internet en euros		90

2. Le nombre de cartouches achetées est noté \(x\).
   1. On note \(P_A\) le prix à payer pour l’achat de \(x\) cartouches en magasin. Exprimer \(P_A\) en fonction de \(x\).
   2. On note \(P_B\) le prix à payer, en comptant la livraison, pour l’achat de \(x\) cartouches par internet. Exprimer \(P_B\) en fonction de \(x\).
3. Dans un repère orthogonal (1 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnée) tracer les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) définies par :

   \(d\) représente la fonction \(x \mapsto 15x\)

   \(d^{\prime}\) représente la fonction \(x \mapsto 10x + 40\)

4. En utilisant le graphique précédent :
   1. Déterminer le prix le plus avantageux pour l’achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents les traits de construction.
   2. Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il plus avantageux pour elle d’acheter des cartouches en magasin ou sur internet ? Vous laisserez apparents les traits de construction.
5. À partir de quel nombre de cartouches le prix sur internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Expliquer votre réponse.

Un horticulteur envisage la construction d’une serre entièrement vitrée ayant la forme d’un parallélépipède rectangle surmonté d’une pyramide comme l’indique la figure ci-après.

On désigne par \(x\) la hauteur SK (exprimée en mètres) de la pyramide SABCD.

1. Montrer que le volume (en \(\text{m}^3\)) de la serre est donné par la formule \(V = 144 + 16x\).
2. Calculer ce volume pour \(x = 1{,}5\).
3. Pour quelle valeur de \(x\) le volume de la serre est-il de \(200\ \text{m}^3\) ?

Dans chacun des cas suivants, écrivez la fonction \(f\) sous la forme \(f(x) = ax + b\) et précisez les valeurs de \(a\) et \(b\).

1. La représentation graphique de \(f\) est une droite de coefficient directeur \(-3\) et telle que \(f(0) = 2\).
2. La fonction \(f\) est la fonction qui, à un nombre \(x\), lui ajoute 6 et multiplie le résultat par \(-4\).
3. La fonction \(f\) est la fonction qui, à un nombre \(x\), le multiplie par 3, ajoute 4 au résultat, puis divise le tout par 2.
4. La fonction \(f\) est définie par \(f(x) = (x + 1)^{2} - x^{2}\).
5. La fonction \(f\) est telle que si les \(x\) augmentent de 3, les « \(f(x)\) » augmentent de 12. De plus, \(f(0) = 1\).

Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules.

• Formule A : on paie 40 € pour devenir adhérent pour l’année scolaire puis on paye 10 € par mois de garderie.
• Formule B : pour les non adhérents, on paye 18 € par mois.

1. On appelle \(x\) le nombre de mois de garderie. On note \(A(x)\) le prix payé avec la formule A et \(B(x)\) le prix payé avec la formule B. Exprimez \(A(x)\) puis \(B(x)\) en fonction de \(x\).
2. Représentez graphiquement les fonctions suivantes dans un repère :

   \(x \mapsto A(x) = 10x + 40\) et \(x \mapsto B(x) = 18x\).

   On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse et 1 cm pour 10 € en ordonnée.

3. 1. À partir du graphique, déterminer le nombre de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes.
   2. Retrouver ce résultat par le calcul.
4. À partir du graphique, déterminer la formule la plus avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l’année.
5. On dispose d’un budget de 113 €. Combien de mois de garderie au maximum pourra-t-on payer si l’on choisit la formule A ?

1. Soit la fonction affine \(f\) définie par \(f(x) = -2x + 3\).
   1. Calculer \(f(0)\) ; j’ai trouvé \(x = 3\).
   2. Calculer l’antécédent de 5.
2. Soit la fonction affine \(g\) telle que \(g(-2) = -2\) et \(g(3) = 4\).
   1. Déterminer la fonction \(g\).
   2. Calculer \(g(0)\) et \(g(3)\).
3. Dans un même repère (O, I, J).
   1. Tracer les représentations graphiques de \(f\) et de \(g\).
   2. Calculer les coordonnées du point d’intersection de ces représentations graphiques.

Yéro décide d’aller régulièrement à la piscine pendant un an.

Voici les tarifs proposés :

• tarif 1 : 100 € pour un an, nombre illimité d’entrées ;
• tarif 2 : 40 € d’adhésion par an puis 1 € par entrée ;
• tarif 3 : 2 € par entrée.

1. Quel prix paiera-t-il avec chaque tarif, s’il va à la piscine une fois par mois ? Quel tarif sera intéressant dans ce cas ?
2. On appelle \(x\) le nombre de fois où Yéro ira à la piscine. Exprimer, en fonction de \(x\) : \(t_1(x)\) le prix qu’il paiera avec le tarif 1 ; \(t_2(x)\) le prix qu’il paiera avec le tarif 2 ; \(t_3(x)\) le prix qu’il paiera avec le tarif 3.
3. Représenter graphiquement ces trois fonctions dans un même repère orthogonal.
4. En considérant qu’il y a 4 semaines pleines dans un mois : combien d’entrées Yéro devra-t-il payer s’il va à la piscine une fois par semaine ? Et s’il y va deux fois par semaine ?
5. Par lecture graphique, déterminer le tarif le plus intéressant pour Yéro dans ces deux cas.
6. À partir de combien d’entrées, Yéro aura-t-il intérêt à prendre un abonnement au tarif 1 (par lecture graphique) ?

Représenter les fonctions affines ci-dessous dans un même repère orthogonal avec des couleurs différentes.

• \(d : x \mapsto -2x + 1\)
• \(u : x \mapsto 3x - 4\)
• \(h : x \mapsto -x + 3\)
• \(t : x \mapsto 2\)
• \(k : x \mapsto 2{,}5x\)
• \(m : x \mapsto -2x - 3\)

Que peut-on dire des représentations graphiques des fonctions \(d\) et \(m\) ? À votre avis quelle est la raison ?

Sur le graphique ci-dessous, des fonctions \(f\), \(g\), \(h\), \(k\) et \(u\) ont été représentées.

Déterminer chacune de ces cinq fonctions.

Le CDI du collège Evariste Galois a la forme d’un trapèze. La documentaliste veut partager l’espace en deux parties de même aire, l’une rectangulaire, de largeur \(x\) mètres avec des rayonnages pour ranger les livres, l’autre pour faire un coin lecture.

On donne \(AB = 5\ \text{m}\) ; \(AD = 10\ \text{m}\) et \(DC = 8\ \text{m}\).

1. Calculer l’aire totale du CDI.
2. Quelles sont les valeurs possibles pour \(x\) ?
3. Exprimer, en fonction de \(x\), \(r(x)\) l’aire de l’espace rayonnage et \(c(x)\) l’aire de l’espace coin lecture en \(\text{m}^2\).
4. Représenter, par lecture graphique, la valeur de \(x\) pour laquelle les voeux de la documentaliste seront pris en compte.

\((d_1)\) est la droite représentative de la fonction \(h\).

1. Donner un antécédent de \(-3\) par la fonction \(h\).
2. Donner l’image de \(-2{,}5\) par la fonction \(h\).
3. Tracer la droite représentative \((d_2)\) de la fonction \(k : x \mapsto -4x + 0\).
4. Déterminer l^{\prime}expression de la fonction \(l\) représentée ci-dessous par la droite \((d_3)\).

Un vidéo-club propose différents tarifs pour l’emprunt de DVD :

• Tarif A : 5 € par DVD emprunté.
• Tarif B : 2,50 € par DVD emprunté, après avoir payé un abonnement de 18 €.
• Tarif C : abonnement de 70 € pour un nombre illimité de DVD.

1. On note \(x\) le nombre de DVD empruntés. Exprimer en fonction de \(x\) : le prix payé \(f(x)\) au tarif A ; le prix payé \(g(x)\) au tarif B et le prix payé \(h(x)\) au tarif C.
2. Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, les trois fonctions suivantes :

   \(x \to 5x\)

   \(x \to 2{,}5x + 18\)

   \(x \to 70\)

   Échelle : axe des abscisses : 1 cm pour 2 DVD ; axe des ordonnées : 1 cm pour 5 €.

3. 1. Résoudre l^{\prime}équation \(5x = 2{,}5x + 18\).
   2. Interpréter le résultat.
4. 1. Résoudre graphiquement l^{\prime}inéquation suivante : \(70 \leq 2{,}5x + 18\).
   2. Retrouver ensuite le résultat par le calcul.

L’école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Elle télécharge ce logiciel sur Internet.

1. Le fichier a une taille de 3,5 Mo (Mega-octets) et le téléchargement s’effectue en 7 secondes.

Quel est le débit de la connexion Internet ? On donnera le résultat en Mo/s.

Après une période d’essai de 1 mois, l’école décide d’acheter le logiciel.

Il y a trois tarifs :

• Tarif A : 19 €
• Tarif B : 10 centimes par élève
• Tarif C : 8 € + 5 centimes par élève

3. a. Si \(x\) représente le nombre d’élèves, laquelle des expressions suivantes correspond au tarif C ?

\(C1 = 8 + 5x\)

\(C2 = 8 + 0{,}05x\)

\(C3 = 0{,}05 + 8x\)

b. Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.

Tracer les courbes des fonctions suivantes dans le repère orthonormé ci-dessous.

\(f(x) = 3x\)

\(g(x) = -4x\)

\(f(x) = 2x - 3\)

\(k(x) = -2x - 4\)

Rappels :

Toute fonction linéaire a une expression du type \(f(x) = ax\).

Toute fonction affine a une expression du type \(f(x) = ax + b\) avec \(a\) et \(b\) deux nombres donnés.

Déterminer les expressions algébriques de ces deux fonctions affines \(f\) et \(g\).

Soit \(f\) la fonction affine dont la courbe passe par les points \(A(-1\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,5)\).

Soit \(g\) la fonction affine dont la courbe passe par les points \(C(-1\,;\,4)\) et \(D(1\,;\,-2)\).

Déterminer, par le calcul, l’expression algébrique de chacune de ces fonctions.

Soit \(f\) la fonction affine dont la courbe passe par les points \(A(-1\,;\,4{,}5)\) et \(B(1\,;\,-1{,}5)\).

Soit \(g\) la fonction affine dont la courbe passe par les points \(C(-1\,;\,-4)\) et \(D(1\,;\,0)\).

Déterminer, par le calcul, l’expression algébrique de chacune de ces fonctions.

Un théâtre propose deux tarifs représentés graphiquement ci-dessous.

Monsieur Scapin a choisi le tarif S et monsieur Purgon, le tarif P.

1. Préciser, pour chacun des tarifs, si la dépense est proportionnelle au nombre de spectacles. Justifier,
2. Soient S et P les fonctions qui au nombre de spectacle \(x\) associe le prix en euros. Donner les expressions algébriques de fonctions S et P en fonction de \(x\).
3. Déterminer graphiquement pour quel nombre de spectacles ces deux messieurs paieront le même prix. Quel est ce prix ?
4. Retrouver les résultats de la questions précédente par le calcul.

Cette fonction affine se note de la façon suivante \(f : x \mapsto 30x + 5\). Dans cette notation le nombre \(3x + 5\) s^{\prime}appelle l^{\prime}image du nombre \(x\) par la fonction \(f\).

1. Quelle est l^{\prime}image du nombre 0,5 par la fonction \(g : x \mapsto 2x + 7\) ?
2. Quelle est l’image du nombre 2 par la fonction \(h : x \mapsto -5x + 3\) ?
3. Quelle est l^{\prime}image du nombre 1 par la fonction \(k : x \mapsto 3x - 5\) ?
4. Calculer \(f(0)\), \(f(5)\), \(f(10)\) et \(f(x)\).
5. Calculer \(g(0)\), \(g(1)\), \(g(x)\), \(h(0)\), \(h(1)\), \(h(x)\), \(k(0)\), \(k(1)\) et \(k(x)\).

On a représenté graphiquement ci-dessus une fonction \(f\). Quelle est la nature de la fonction \(f\).

1. Déterminer graphiquement l’image du nombre 2.
2. Lire graphiquement le nombre qui a pour image 4.
3. Déterminer graphiquement l’image du nombre \(-2\).
4. Lire graphiquement le nombre qui a pour image 1.

On a représenté ci-contre un repère orthonormé. On souhaite dans ce repère tracer la représentation graphique des fonctions :

• \(h : x \mapsto 2x - 3\)
• \(k : x \mapsto -0{,}5x + 1\)

Que peut-on dire de ces deux fonctions ?

Quelle est l’image de 0 pour chacune des fonctions ?

Quelle est l’image de 2 pour chacune des fonctions ?

Après avoir placé dans le repère les points correspondants aux résultats précédents, tracer (d3) la représentation graphique de \(h\) et (d3) la représentation graphique de \(k\).

On suspend un objet à un ressort, puis on mesure la longueur de ce ressort. On note \(x\) la masse en grammes de cet objet et \(f(x)\) la longueur du ressort en centimètres.

À l’aide du dessin compléter le tableau :

Les physiciens proposent la formule suivante : \(f(x) = 0{,}1 \times x + 4\). Quelle est la nature de la fonction \(f\) ? Déterminer l^{\prime}image de 20 par la fonction \(f\). Justifier la réponse par un calcul. Déterminer l^{\prime}image de 40 par la fonction \(f\). Justifier la réponse par un calcul. Déterminer la longueur de ce ressort à vide. Justifier la réponse. Déterminer la masse de l’objet suspendu lorsque le ressort s’allonge de 9 centimètres. Justifier la réponse par la résolution d’une équation.

Deux entreprises de location de matériel louent une même machine aux tarifs suivants :

• Tarif A = 300 € par jour de location.
• Tarif B = un forfait de 1000 € puis 200 € par jour de location.

1. Déterminer le tarif le plus intéressant pour une durée de location de 8 jours. Déterminer le tarif le plus intéressant pour une durée de location de 15 jours.
2. On appelle \(f(x)\) le prix payé pour \(x\) jours de location avec le tarif A. Déterminer l’expression de \(f(x)\). Quelle est la nature de la fonction \(f\) ?
3. On appelle \(g(x)\) le prix payé pour \(x\) jours de location avec le tarif B. Déterminer l’expression de \(g(x)\). Quelle est la nature de la fonction \(g\) ?
4. Représenter dans le repère orthogonal ci-dessous les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\). Utiliser deux couleurs afin de distinguer les deux fonctions.
5. Pour quelle durée de location les deux tarifs sont-ils égaux ? Justifier la réponse graphiquement puis par résolution d’une équation.
6. Quand a-t-on intérêt à choisir le tarif A ? Quand a-t-on intérêt à choisir le tarif B ? Justifier la réponse graphiquement puis par résolution d’une inéquation.

Voici les tarifs pratiqués par deux agences de location de voitures :

• Tarif A = un forfait de 400 € puis 2 € par kilomètre parcouru.
• Tarif B = un forfait de 200 € puis 4 € par kilomètre parcouru.

On appelle \(f(x)\) le prix payé pour \(x\) km parcourus avec le tarif A. Déterminer l’expression de \(f(x)\). Quelle est la nature de la fonction \(f\). On appelle \(g(x)\) le prix payé pour \(x\) km parcourus avec le tarif B. Déterminer l’expression de \(g(x)\). Quelle est la nature de la fonction \(g\).

1. Représenter ci-dessous les droites qui représentent les fonctions \(f\) et \(g\).
2. Déterminer le nombre de kilomètres à parcourir pour que les deux tarifs soient les mêmes. Quand le tarif A est-il plus intéressant que le tarif B ? Quand le tarif B est-il plus intéressant que le tarif A ? Justifier chaque réponse graphiquement et algébriquement.

Dans le repère ci-dessous tracer la représentation graphique des fonctions suivantes :

• \(f(x) = 4\)
• \(g(x) = -2x + 2\)
• \(h(x) = 0{,}5x - 4\)
• \(k(x) = \dfrac{3}{5}x\)

Parmi les fonctions suivantes, détermine les fonctions affines, les fonctions linéaires et les fonctions constantes.

1. \(f(x) = 3x\)
2. \(g(x) = -7x + 2\)
3. \(h(x) = 5x^{2} - 3\)
4. \(k(x) = x\)
5. \(l(x) = 3x - 7\)

Parmi ces fonctions, détermine :

\(f : x \mapsto 4x - 3\)

\(g : x \mapsto 5 - 2x\)

\(h : x \mapsto 4{,}5x\)

\(j : x \mapsto 3x^{2} + 5\)

\(k : x \mapsto -4\)

\(l : x \mapsto \dfrac{1}{x}\)

1. celles qui sont affines : ……
2. celles qui sont linéaires : ……
3. celles qui sont constantes : ……
4. celles qui ne sont pas affines : ……

\(g\) est la fonction définie par \(g(x) = 2x - 5\).

1. Complète le tableau de valeurs.
   

   \(x\)	\(-5{,}5\)	\(-3\)		0		15
   \(g(x)\)			0		5		2,4

2. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.

Les droites \((d_1)\), \((d_2)\), \((d_3)\) et \((d_4)\) sont les représentations graphiques respectives de quatre fonctions linéaires \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) et \(f_4\).

1. Quelles sont les coordonnées de \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) et \(A_4\) ? ……
2. Déduis-en quatre égalités avec \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) et \(f_4\).

Par lecture graphique, indique pour chaque fonction affine la droite qui est sa représentation graphique.

Les droites \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\) sont les représentations graphiques respectives de trois fonctions affines \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\).

1. Par \(f_1\), détermine les images de 1 et 6. ……
2. Par \(f_2\), détermine les images de 1 et 4. ……
3. Indique la (les) fonction(s) qui ont un coefficient négatif. ……
4. Indique le coefficient de chaque fonction dans ce tableau.
   

   Fonction	\(f_1\)	\(f_2\)	\(f_3\)
   Coefficient

5. Indique l’ordonnée à l’origine de chaque droite.
   

   Droite	\((d_1)\)	\((d_2)\)	\((d_3)\)
   Ordonnée à l’origine

Soient les fonctions définies par les expressions suivantes :

\[f(x) = 5x \; ; \; g(x) = 5x + 2 \text{ et } h(x) = -\dfrac{1}{5}x - 4\]

1. Tracer les courbes \(C_f\), \(C_g\) et \(C_h\) dans un repère orthonormé.
2. Que remarque-t-on ?