Positions relatives de droites et plans de l’espace : cours de maths en 2de à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
I. Repérage sur la sphère terrestre
1. La sphère terrestre
La sphère de centre O et de rayon R est formée des points M de l’espace tels que OM=R.On assimile la terre à une sphère de rayon 6 400 km et de centre O. Les points N et S représentent respectivement le pôle nord et le pôle sud.
M est un point de la sphère terrestre distinct des pôles N et S.Le méridien du lieu M est le demi-cercle de diamètre [NS] passant par M.
Le parallèle du lieu M est le cercle section de la sphère par le plan passant par M et perpendiculaire à la droite (NS).
L’équateur est le seul parallèle qui est un grand cercle (de centre O) de la sphère.
2. Repérage sur la sphère terrestre
M est un plan de la sphère distinct des pôles N et S.Le méridien de M coupe l’équateur en P et le méridien de Greenwich coupe l’équateur en A.
- La longitude du lieu M est la mesure, en degrés, de l’angle
suivie de l’indication ouest(O) ou est (E). - La latitude du lieu M est la mesure, en degrés, de l’angle suivie de l’indication nord (N) ou sud (S).
II. Positions relatives de droites et plans
1. Règle d’incidence.
- Par deux points distincts de l’espace, il passe une unique droite;
- Par trois points non alignés A,B et C de l’espace, il passe un unique plan noté (ABC);
- Si deux points distincts A et B de l’espace appartiennent à un plan P, alors tout point de la droite (AB) appartient au plan P. On dit que la droite (AB) est contenue dans le plan P et on note .
- Dans chaque plan de l’espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane.
2.Les positions relatives.
- Deux droites sont coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan:
- Deux droites sont strictement parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et non sécantes.
III. Droites et plans parallèles
1.Parallélisme entre droites
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles;
- Si deux droites sont parallèles , alors tout plan qui coupe l’une, coupe l’autre.
2.Parallélisme entre plans
3.Parallélisme entre droites et plans
Autre version de cette leçon
I. Perspective cavalière
Dans une représentation d’un solide en perspective cavalière :
- une figure représentée dans un plan vu de face est représentée en vraie grandeur, sans changer sa forme ;
- deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles ;
- des points alignés sont représentés par des points alignés ;
- le milieu d’un segment est représenté par le milieu du segment dessiné ;
- les éléments visibles sont en traits pleins, ceux qui sont cachés sont en pointillés ;
- une droite perpendiculaire au plan frontal est représentée par une droite faisant un angle aigu avec l’horizontale du support de représentation ;
- toute longueur sur une telle droite est multipliée par un coefficient inférieur à 1.
II. Positions relatives de droites et de plans
1.Règles d’incidence
- Par deux points distincts il passe une unique droite ;
- Par trois points non alignés A, B, C, il passe un unique plan noté (ABC) ;
- Si un plan contient deux points A et B, alors il contient tous les points de la droite (AB) ;
- Si (d) est une droite et A un point non situé sur (d), il existe un unique plan contenant (d) et A.
2.Positions relatives de deux droites
Deux droites peuvent être :
- Coplanaires : elles sont situées dans un même plan (elles sont alors sécantes ou parallèles)
- Non coplanaires : et dans ce cas elles n’ont aucun point en commun.
3.Positions relatives d’une droite et d’un plan
Une droite peut être :
- Contenue dans un plan si elle passe par deux points du plan ;
- Sécante au plan, si elle n’a qu’un seul point commun avec ce plan (voir ci-contre) ;
- Parallèle au plan si elle n’a aucun point commun avec le plan.
4.Position relatives de deux plans
Deux plans sont soit parallèles, s’ils n’ont aucun point en commun, soit sécants et dans ce cas leur intersection est une droite (ils ont donc une infinité de points d’intersection).
Exemple de plans sécants, selon la droite (UV).
III- Parallélisme dans l’espace
1.Parallélisme entre des droites
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles alors tout plan qui coupe l’une coupe aussi l’autre.
2.Parallélisme entre deux plans
- Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est aussi parallèle à l’autre.
- Si deux droites sécantes (d) et (d’) du plan (P) sont parallèles à deux droites sécantes et du plan (P’) alors les deux plans (P) et (P’) sont parallèles.
- Si deux plans (P) et (P’) sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe aussi l’autre et les droites d’intersection (d) et (d’) sont parallèles.
Exemple de plans parallèles déterminés par deux paires de droites sécantes.
2.Parallélisme entre droites et plans
- Si deux plans sont parallèles et si une droite est parallèle au premier plan alors elle est aussi parallèle au second.
- Si la droite (d) est parallèle au plan (P) alors tout plan contenant (d) et sécant à (P) le coupe selon une droite parallèle à (d). Démonstration
- Si la droite (d) est parallèle à une droite du plan (P) alors (d) est parallèle au plan (P) .Démonstration
- Si les plans (P) et (P’) sont sécants selon la droite et si (d) est une droite parallèle aux deux plans (P) et (P’) alors les droites et (d) sont parallèles.
IV. Calculs en géométrie dans l’espace
1.Orthogonalité entre droite et plan
- Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
- Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
2.Aires et volumes des solides classiques
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