Les suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Les suites sont un concept fondamental en mathématiques, essentiel pour les élèves de première qui préparent leur baccalauréat. Maîtriser les suites arithmétiques et suites géométriques permet de développer des compétences analytiques et de raisonnement logique. Cet article propose des corrections d’exercices pour aider les étudiants à renforcer leur compréhension et à exceller dans cette thématique cruciale. Plongeons dans l’univers fascinant des suites pour améliorer votre aisance en mathématiques !

Exercice 1 – problème sur les suites récurrentes.

1) Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = -2n + 7$.

a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

$u_{n+1}=-2(n+1)+7$

b) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

$u_{n+1}=u_n-2$

2) Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = 2^n$.

a) Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $n$.

$v_{n+1}=2^{n+1}$

b) Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

$v_{n+1}=2\times v_n$

1) $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 3u_n + 5n – 1$.

Exprimer $u_n$ en fonction de $u_{n-1}$.

$u_n=3u_{n-1}+5(n-1)+4$

2) $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = 2$ et $u_{n+2} = (n+1)u_{n+1} + 5$.

Exprimer $u_n$ en fonction de $u_{n-1}$.

Dans ce cas, il n’y a pas de lien direct entre $u_n$ et $u_{n-1}$ simple à établir sans informations supplémentaires ou calculs intermédiaires spécifiques.

Exercice 2 – algorithme et terme d’une suite défini par sa forme explicite.

1) La suite $(u_n)$ est-elle définie par sa forme explicite ou par récurrence ?

La suite $(u_n)$ est définie par sa forme explicite car le terme général est calculé directement à l’aide d’une expression donnée dans l’algorithme : $u_n=\frac{5n-2}{2}$

2) Définir la suite $(u_n)$.

La suite $(u_n)$ est définie explicitement par :

$u_n=\frac{5n-2}{2}$

Exercice 3 – algorithme et définition d’une suite numérique.

1) Comment est définie cette suite ?

La suite est définie par : et $u_{n+1}=u_n+2$

2) Que fait cet algorithme ?

L’algorithme lit un nombre , initialise à 5, et affiche les premiers termes de la suite. À chaque itération, il ajoute 2 au terme précédent pour obtenir le suivant.

3) Modifier cet algorithme pour qu’il n’affiche que le terme dont l’indice a été choisi par l’utilisateur.

On peut modifier l’algorithme de la manière suivante :

VARIABLES
   u EST_DU_TYPE NOMBRE
   n EST_DU_TYPE NOMBRE
   i EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME
   LIRE n
   u PREND_LA_VALEUR 5
   POUR i ALLANT_DE 1 A n
       u PREND_LA_VALEUR u+2
   FIN_POUR
   AFFICHER u
FIN_ALGORITHME

Cette version ne calcule que le terme et l’affiche, sans afficher les autres termes intermédiaires.

Exercice 4 – une suite de triangles rectangles et étude de la suite de longueurs.

1) Calculer $ u_2 $ et $ u_3 $.

Considérons le triangle rectangle $ OA_1A_2 $ avec l’hypoténuse $ OA_2 $. Comme $ OA_1 = A_1A_2 = 1 $, on utilise le théorème de Pythagore :

$OA_2 = \sqrt{OA_1^2 + A_1A_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Ainsi, $ u_2 = \sqrt{2} $.

Pour calculer $ u_3 = OA_3 $, on considère le triangle rectangle $ OA_2A_3 $ avec l’hypoténuse $ OA_3 $ :

$OA_3 = \sqrt{OA_2^2 + A_2A_3^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Donc, $ u_3 = \sqrt{3} $.

2) Définir la suite $(u_n)$ par récurrence.

Par récurrence, nous avons la relation suivante pour la suite $(u_n)$ :

$u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + 1}$

3) Conjecturer la forme explicite de la suite $(u_n)$.

En observant les valeurs calculées, nous remarquons que $ u_n = \sqrt{n} $. Ainsi, la conjecture pour la forme explicite est :

$u_n = \sqrt{n}$

Exercice 5 – suite récurrente et utilisation du tableur.

Pour obtenir les premiers termes de la suite $u$, il faut entrer les formules suivantes dans Excel :

Dans la cellule B2 : -3

Dans la cellule C2 : =B2^2 + 3*B2

Puis, étirez la cellule C2 vers la droite pour remplir les cellules suivantes.

Exercice 6 – tableur et formule entrée dans la cellule pour une suite.

1) Quelle est la formule entrée dans la cellule C2 et recopiée vers la droite ?

La cellule C2 contient la formule pour calculer les termes de la suite $u_{n+1}=0,5u_{n}+2$ . Ainsi, dans C2, la formule est =0.5*B2+2 et elle est recopiée vers la droite pour les cellules suivantes (D2, E2, etc.).

2) Quelle est la formule entrée dans la cellule C3 et recopiée vers la droite ?

La cellule C3 contient la somme partielle des termes de la suite de la ligne 2. Ainsi, dans C3, la formule est =B3+C2 où B3 est initialisé à $u_{0}=1$ . Cette formule est ensuite recopiée vers la droite pour calculer chaque somme cumulative (D3, E3, etc.).

Exercice 7 – etude de trois suites.

1) Écrire $ u_{n+1} $ en fonction de $ n $.

$ u_{n+1} = 2(n+1)^2 + (-1)^{n+1} $

Calculons :

$ u_{n+1} = 2(n^2 + 2n + 1) + (-1)(-1)^n = 2n^2 + 4n + 2 – (-1)^n $

$u_{n+1}=2n^2+4n+2-(-1)^n$

2) Écrire $ u_{2n} $ en fonction de $ n $.

$ u_{2n} = 2(2n)^2 + (-1)^{2n} $

Calculons :

$ u_{2n} = 8n^2 + 1 $ (puisque $ (-1)^{2n} = 1 $ pour tout $ n $ entier)

$u_{2n}=8n^2+1$

3) Écrire $ v_{n-1} $ en fonction de $ n $.

$ v_{n-1} = \frac{(-2)^{n-2}}{3^{n-1}} $

$v_{n-1}=\frac{(-2)^{n-2}}{3^{n-1}}$

4) Écrire $ u_{n+2} $ en fonction de $ n $.

$ v_{n+2} = \frac{(-2)^{n+1}}{3^{n+2}} $

$v_{n+2}=\frac{(-2)^{n+1}}{3^{n+2}}$

5) Calculer les 6 premiers termes de la suite $(w_n)$ définie par $ w_n = \cos(\frac{n\pi}{3}) $.

Calculons les valeurs :

$ w_0=\cos(0)=1 $, $ w_1=\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} $, $ w_2=\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2} $,

$ w_3=\cos(\pi)=-1 $, $ w_4=\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2} $, $ w_5=\cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2} $

1, $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$, $-1$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$

6) Exprimer $ w_{n+6} $ en fonction de $ w_n $.

La suite $(w_n)$ est périodique de période 6.

$ w_{n+6} = w_n $

$w_{n+6}=w_n$

Exercice 8 – mode de génération des 4 premiers termes d’une suite.

a) La suite u est définie de manière récurrente par :

$u_n=\frac{2}{u_{n-1}}+1\ \text{avec}\ u_0=1$

Calcul des quatre premiers termes :

–

– $u_1=\frac{2}{1}+1=3$

– $u_2=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$

– $u_3=\frac{2}{\frac{5}{3}}+1=\frac{11}{5}$

b) La suite v est définie explicitement par :

$v_n=\sin(\frac{n\pi}{3})$

Calcul des quatre premiers termes :

– $v_0=\sin(0)=0$

– $v_1=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

– $v_2=\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

– $v_3=\sin(\pi)=0$

Exercice 9 – tableur et formule des termes d’une suite v.

1) En recopiant la formule écrite en C2 vers la droite, quelle valeur obtient-on dans la case D2 ?

La formule en C2 est $=2\times B1+B2$ .

Lorsque l’on copie cette formule vers la cellule D2, les références changent automatiquement vers la colonne suivante :

La formule devient $=2\times C1+C2$ .

On a donc $=2\times 3-2=6-2=4$ .

La valeur dans la case D2 est donc 4.

2) Définir la suite v.

La suite v est définie par la relation de récurrence suivante :

$v_{n+1}=2\times n+v_n$ , avec .

Exercice 10 – courbe des premiers termes d’une suite.

En suivant graphiquement les itérations de la suite sur le schéma, nous observons les valeurs successives des termes ${u_n}$. En commençant avec $u_0 = 1$, nous traçons la verticale vers la courbe, puis l’horizontale vers la droite $y=x$ pour obtenir chaque terme suivant. Pour $u_4$, nous avons :

$u_0 = 1$

$u_1 = f(u_0) \approx 1,3$

$u_2 = f(u_1) \approx 1,7$

$u_3 = f(u_2) \approx 1,9$

$u_4 = f(u_3) \approx 2$

La valeur approchée de $u_4$ est donc $u_4\approx2$

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