Aires et périmètres en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Pour les aires, chaque unité est 100 fois plus grande que la suivante : dans le tableau de conversion, on met deux chiffres par colonne.

• a) \( 2{,}6 \text{ m}^2 = 2{,}6 \times 100 \text{ dm}^2 = \mathbf{260 \text{ dm}^2} \) et \( 260 \text{ dm}^2 = 260 \times 100 \text{ cm}^2 = \mathbf{26\,000 \text{ cm}^2} \).
• b) \( 3 \text{ cm}^2 = 3 : 100 \text{ dm}^2 = \mathbf{0{,}03 \text{ dm}^2} \) et \( 0{,}03 \text{ dm}^2 = 0{,}03 : 100 \text{ m}^2 = \mathbf{0{,}0003 \text{ m}^2} \).
• c) \( 57{,}4 \text{ hm}^2 = 57{,}4 : 100 \text{ km}^2 = \mathbf{0{,}574 \text{ km}^2} \) et \( 57{,}4 \text{ hm}^2 = 57{,}4 \times 10\,000 \text{ m}^2 = \mathbf{574\,000 \text{ m}^2} \) (deux colonnes, donc deux fois ×100).

On exprime tout en mètres : \( 0{,}1 \text{ dam}^2 = 0{,}1 \times 100 \text{ m}^2 = 10 \text{ m}^2 \) et \( 800 \text{ cm} = 8 \text{ m} \).

L’aire d’un triangle est \( \mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \). On a donc \( \dfrac{8 \times h}{2} = 10 \), soit \( 8 \times h = 20 \) :

\[ h = 20 : 8 = 2{,}5 \text{ m} \]

Vérification : \( \dfrac{8 \times 2{,}5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ m}^2 \).

Aire d’une feuille A4 : \( 21 \times 29{,}7 = 623{,}7 \text{ cm}^2 \).

Aire des 500 feuilles : \( 500 \times 623{,}7 = 311\,850 \text{ cm}^2 \). Comme \( 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 \) :

\[ 311\,850 \text{ cm}^2 = 31{,}185 \text{ m}^2 \]

Masse : chaque mètre carré pèse 90 g, donc

\[ 31{,}185 \times 90 = 2\,806{,}65 \text{ g} = 2{,}806\,65 \text{ kg} \]

ABCD est un trapèze rectangle de bases \( AB = 54 \text{ m} \) et \( DC = 35 \text{ m} \), et de hauteur \( AD = 30 \text{ m} \).

\[ \mathcal{A} = \frac{(B + b) \times h}{2} = \frac{(54 + 35) \times 30}{2} = \frac{89 \times 30}{2} = \frac{2\,670}{2} = 1\,335 \text{ m}^2 \]

On peut vérifier par découpage : un rectangle de \( 35 \times 30 = 1\,050 \text{ m}^2 \) et un triangle rectangle de base \( 54 – 35 = 19 \text{ m} \) et de hauteur 30 m, d’aire \( \dfrac{19 \times 30}{2} = 285 \text{ m}^2 \). Total : \( 1\,050 + 285 = 1\,335 \text{ m}^2 \).

Aire du losange (diagonales 42 cm et 26 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{losange}} = \frac{D \times d}{2} = \frac{42 \times 26}{2} = \frac{1\,092}{2} = 546 \text{ cm}^2 \]

Aire du trou (disque de rayon 10 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times r^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi \approx 314{,}16 \text{ cm}^2 \]

Aire hachurée = aire du losange − aire du trou :

\[ \mathcal{A} = 546 – 100\pi \approx 546 – 314{,}16 \approx 231{,}84 \text{ cm}^2 \]

D’après les cotes, la hauteur du triangle est \( AH = 90 \text{ mm} \), le rectangle mesure 16 mm sur 17 mm et le côté commun \( [BE] \) mesure 17 mm (la figure n’est pas à l’échelle).

Aire du triangle ABE (base BE, hauteur AH) :

\[ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{BE \times AH}{2} = \frac{17 \times 90}{2} = \frac{1\,530}{2} = 765 \text{ mm}^2 \]

Aire du rectangle :

\[ \mathcal{A}_{\text{rectangle}} = 16 \times 17 = 272 \text{ mm}^2 \]

Aire totale :

\[ \mathcal{A} = 765 + 272 = 1\,037 \text{ mm}^2 \]

Rayon du cercle. Le demi-cercle a pour diamètre le côté supérieur du rectangle, qui mesure 280 cm : \( R = 280 : 2 = \mathbf{140 \text{ cm}} \).

Aire du trapèze (bases 280 cm et 150 cm, hauteur 80 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \frac{(280 + 150) \times 80}{2} = \frac{430 \times 80}{2} = 17\,200 \text{ cm}^2 \]

Aire du rectangle (280 cm sur 95 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{rectangle}} = 280 \times 95 = 26\,600 \text{ cm}^2 \]

Aire du demi-disque :

\[ \mathcal{A}_{\text{demi-disque}} = \frac{\pi \times 140^2}{2} = \frac{19\,600\pi}{2} = 9\,800\pi \approx 30\,787{,}6 \text{ cm}^2 \]

Aire totale :

\[ \mathcal{A} = 17\,200 + 26\,600 + 9\,800\pi = 43\,800 + 9\,800\pi \approx 74\,587{,}6 \text{ cm}^2 \]

La figure est formée de carrés identiques : 4 carrés en largeur pour 6 cm, donc chaque carré a pour côté \( 6 : 4 = 1{,}5 \text{ cm} \) (et 3 carrés en hauteur : \( 3 \times 1{,}5 = 4{,}5 \text{ cm} \)). On compte \( 4 + 2 + 1 = 7 \) carrés.

Aire :

\[ \mathcal{A} = 7 \times 1{,}5 \times 1{,}5 = 7 \times 2{,}25 = 15{,}75 \text{ cm}^2 \]

Périmètre : on fait le tour en additionnant les côtés : \( 6 + 4{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 3 + 1{,}5 \). Plus simplement, les marches de l’escalier, « repoussées », reconstituent le contour d’un rectangle de 6 cm sur 4,5 cm :

\[ \mathcal{P} = 2 \times (6 + 4{,}5) = 2 \times 10{,}5 = 21 \text{ cm} \]

Sur le quadrillage, 6 cm correspondent à 12 carreaux : un carreau mesure 0,5 cm. Chaque encoche est un demi-cercle de diamètre 4 carreaux, soit 2 cm (rayon 1 cm), placé au milieu d’un côté de 6 cm.

Parties droites : les deux côtés de 3 cm, et en haut comme en bas deux segments de 2 cm :

\[ 3 + 3 + 4 \times 2 = 14 \text{ cm} \]

Parties courbes : deux demi-cercles de diamètre 2 cm forment un cercle entier :

\[ \pi \times 2 = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ cm} \]

Périmètre :

\[ \mathcal{P} = 14 + 2\pi \approx 20{,}28 \text{ cm} \]

On passe d’une unité d’aire à la suivante en multipliant ou en divisant par 100 (deux chiffres par colonne dans le tableau).

Pour c, on remonte de deux colonnes (cm² → dm² → m²) : on divise deux fois par 100. Pour d, trois colonnes (m² → dam² → hm² → km²) : on divise par \( 100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000 \).