Statistiques en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10 avec graphiques
Voici le corrigé exercices statistiques 4ème pour les dix premiers exercices de la fiche. Ils partent de situations réelles : lieux d’achat des livres, températures au Groenland, films diffusés à la télévision, ancienneté des salariés, SMIC horaire, temps sur 200 m, notes de contrôle ou âge des skieurs d’une station.
Les notions travaillées sont celles du programme de quatrième : identifier la population et le caractère étudiés, calculer un effectif total, des fréquences et des effectifs cumulés, une moyenne (simple, avec des nombres relatifs, ou à partir des centres de classes) et surtout la médiane, avec un nombre pair ou impair de valeurs. Côté graphiques, la correction construit un diagramme circulaire (avec le calcul des angles), un polygone des effectifs cumulés et lit un histogramme. Ces solutions conviennent aux élèves de quatrième qui révisent et aux parents qui les aident. Refaites chaque calcul vous-même, calculatrice en main, avant de regarder la résolution : c’est en comparant l’ordre des étapes que l’on progresse le plus.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Statistiques : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF. (17 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 10 sur les statistiques en 4ème
Exercice 1 : Statistiques et histogramme
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
1. La population étudiée est l’ensemble des livres achetés en France en 2004 (ou, selon la lecture, les achats de livres de la population française en 2004). Le caractère étudié est le lieu d’achat du livre : c’est un caractère qualitatif.
2. Les données représentées sont des pourcentages (des fréquences en %) : la part des achats de livres réalisée dans chaque type de lieu. Leur somme vaut bien \( 17{,}3 + 19{,}1 + 17{,}2 + 24 + 8{,}9 + 6{,}4 + 1 + 0{,}2 + 5{,}9 = 100 \).
3. Le nombre 17,2 signifie que 17,2 % des livres ont été achetés en librairie en 2004, soit environ 17 livres sur 100.
4. Les données sont des parts d’un tout (100 %) et le caractère est qualitatif : un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) aurait été plus adapté. L’angle de chaque secteur est proportionnel au pourcentage : \( 360 \times \frac{p}{100} \), par exemple \( 360 \times 0{,}172 \approx 62^\circ \) pour les librairies.
Exercice 2 : Statistique et moyenne
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
On additionne les douze températures (attention aux signes) :
\[ \begin{aligned} S &= (-11) + (-10) + (-9) + (-4) + 3 + 6 + 8 + 7 + 4 + (-2) + (-6) + (-8) \\ &= -50 + 28 \\ &= -22 \end{aligned} \]
(somme des négatifs : \( -11 – 10 – 9 – 4 – 2 – 6 – 8 = -50 \) ; somme des positifs : \( 3 + 6 + 8 + 7 + 4 = 28 \).)
\[ \text{moyenne} = \frac{-22}{12} \approx -1{,}8 \text{ °C} \]
Exercice 3 : Statistiques et films diffusés
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
1. La population étudiée est l’ensemble des films diffusés en 2004 par ces grandes chaînes ; le caractère étudié est la chaîne de diffusion.
2. 271 est un effectif : Arte a diffusé 271 films en 2004.
3. \( 191 + 158 + 209 + 8 + 271 + 170 + 400 = 1\,407 \) : l’effectif total est de 1 407 films.
4. Fréquence = effectif ÷ effectif total. Pour le diagramme, l’angle vaut fréquence × 360° :
| Chaîne | TF1 | France 2 | France 3 | France 5 | Arte | M6 | Canal + |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 191 | 158 | 209 | 8 | 271 | 170 | 400 |
| Fréquence | 0,136 | 0,112 | 0,149 | 0,006 | 0,193 | 0,121 | 0,284 |
| En % | 13,6 % | 11,2 % | 14,9 % | 0,6 % | 19,3 % | 12,1 % | 28,4 % |
| Angle | 49° | 40° | 53° | 2° | 69° | 44° | 102° |
Exemple : \( \frac{191}{1\,407} \approx 0{,}136 \) et \( 0{,}1357 \times 360 \approx 48{,}9^\circ \approx 49^\circ \). La somme des angles arrondis vaut 359° : l’écart de 1° avec 360° vient des arrondis.
5. Diagramme circulaire :
Exercice 4 : Statistiques et caractère continu
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
1. \( [15 – 20[ \) désigne les salariés dont l’ancienneté est supérieure ou égale à 15 ans et strictement inférieure à 20 ans (15 est compris, 20 ne l’est pas).
2. Effectifs cumulés croissants : on ajoute les effectifs de haut en bas ; décroissants : de bas en haut.
| Classe | [0 ; 5[ | [5 ; 10[ | [10 ; 15[ | [15 ; 20[ | [20 ; 25[ | [25 ; 30[ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 15 | 23 | 14 | 9 | 7 | 2 |
| Cumulés croissants | 15 | 38 | 52 | 61 | 68 | 70 |
| Cumulés décroissants | 70 | 55 | 32 | 18 | 9 | 2 |
| Fréquence | 21,4 % | 32,9 % | 20 % | 12,9 % | 10 % | 2,9 % |
| Fréquences cumulées | 21,4 % | 54,3 % | 74,3 % | 87,1 % | 97,1 % | 100 % |
3. Ont au moins 10 ans d’ancienneté : l’effectif cumulé décroissant de [10 ; 15[, soit \( 14 + 9 + 7 + 2 = \) 32 personnes. Ont moins de 20 ans d’ancienneté : l’effectif cumulé croissant de [15 ; 20[, soit 61 personnes.
4. On place les points (borne supérieure de la classe ; effectif cumulé croissant), en partant de (0 ; 0) :
5. Centres des classes : 2,5 ; 7,5 ; 12,5 ; 17,5 ; 22,5 ; 27,5.
\[ \begin{aligned} m &= \frac{15 \times 2{,}5 + 23 \times 7{,}5 + 14 \times 12{,}5 + 9 \times 17{,}5 + 7 \times 22{,}5 + 2 \times 27{,}5}{70} \\ &= \frac{37{,}5 + 172{,}5 + 175 + 157{,}5 + 157{,}5 + 55}{70} = \frac{755}{70} \approx 10{,}8 \end{aligned} \]
6. Fréquences (effectif ÷ 70) et fréquences cumulées : voir les deux dernières lignes du tableau (par exemple \( \frac{23}{70} \approx 0{,}329 \)).
7. Entre 5 et 15 ans : \( 23 + 14 = 37 \) salariés, et \( \frac{37}{70} \approx 0{,}529 \), soit environ 52,9 %.
Exercice 5 : Le SMIC horaire
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La série compte 11 valeurs (de 2001 à 2011). On les range dans l’ordre croissant :
6,67 ; 6,83 ; 7,19 ; 7,61 ; 8,03 ; 8,27 ; 8,44 ; 8,63 ; 8,82 ; 9,00 ; 9,40.
11 est impair : la médiane est la valeur du milieu, la 6e (5 valeurs avant, 5 valeurs après), soit 8,27 € (valeur de 2006).
Exercice 6 : Compétition d'athlétisme et statistiques
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a. Il y a 7 temps : l’effectif total est 7.
b. Ordre croissant : 20,09 ; 20,12 ; 20,19 ; 20,25 ; 20,38 ; 20,48 ; 20,69.
7 est impair : la médiane est la 4e valeur, avec 3 temps avant et 3 temps après.
Exercice 7 : Résultats obtenus en mathématiques
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On lit les 12 notes sur le graphique, mois par mois : 13 ; 12 ; 9 ; 11 ; 6 ; 11 ; 11 ; 17 ; 19 ; 14 ; 3 ; 12.
Ordre croissant : 3 ; 6 ; 9 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 17 ; 19.
12 est pair : la médiane est la moyenne des 6e et 7e valeurs :
\[ \text{médiane} = \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5 \]
Exercice 8 : Des fans de jeux de société et statistiques
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a. Il y a 8 parties :
\[ \text{moyenne} = \frac{72 + 35 + 48 + 52 + 26 + 55 + 43 + 105}{8} = \frac{436}{8} = 54{,}5 \text{ min} \]
b. Ordre croissant : 26 ; 35 ; 43 ; 48 ; 52 ; 55 ; 72 ; 105. L’effectif 8 est pair, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs :
\[ \text{médiane} = \frac{48 + 52}{2} = 50 \text{ min} \]
c. La moitié des parties jouées ce mois-ci a duré 50 minutes ou moins, et l’autre moitié 50 minutes ou plus. La moyenne (54,5 min) est plus grande que la médiane car elle est tirée vers le haut par la partie exceptionnellement longue de 105 minutes.
Exercice 9 : Notes lors d'un contrôle
Revoir l’énoncé de l’exercice 9
a. On compte chaque note (on peut barrer les notes au fur et à mesure) :
| Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 0 | 1 | 0 | 3 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| Note | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 3 | 4 | 0 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 |
b. Effectif total : \( 1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 = 29 \) élèves.
c. 29 est impair : la médiane est la 15e note (14 notes avant, 14 après). En cumulant les effectifs dans l’ordre croissant : jusqu’à 9 on a 13 notes, la note 10 est la 14e, et les notes 11 occupent les 15e et 16e places.
Exercice 10 : Une station de ski et statistiques
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a. Lecture de l’histogramme (hauteur de chaque rectangle) :
| Âge | [0;10[ | [10;20[ | [20;30[ | [30;40[ | [40;50[ | [50;60[ | [60;70[ | [70;80[ | [80;90[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 27 | 45 | 48 | 39 | 42 | 36 | 33 | 24 | 6 |
Contrôle : \( 27 + 45 + 48 + 39 + 42 + 36 + 33 + 24 + 6 = 300 \) skieurs, comme annoncé.
b. 300 est pair : la médiane se situe entre le 150e et le 151e skieur, rangés par âge croissant. Effectifs cumulés : 27 ; 72 ; 120 ; 159 ; … Les 120 premiers ont moins de 30 ans et les 159 premiers moins de 40 ans : le 150e et le 151e skieur sont dans la classe [30 ; 40[.
La méthode à retenir sur les statistiques
- Toujours ranger les valeurs dans l’ordre croissant avant de chercher la médiane.
- Effectif N impair : la médiane est la valeur de rang \( \frac{N + 1}{2} \) ; N pair : la moyenne des valeurs de rangs \( \frac{N}{2} \) et \( \frac{N}{2} + 1 \).
- Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total ; avec des classes, on remplace chaque classe par son centre.
- Fréquence = effectif ÷ effectif total ; dans un diagramme circulaire, angle = fréquence × 360°.
- Les effectifs cumulés répondent directement aux questions « combien ont moins de… » ou « au moins… ».
Les erreurs fréquentes
- Prendre la valeur du milieu du tableau sans avoir rangé la série.
- Oublier les signes « − » dans la somme des températures.
- Confondre la moyenne et la médiane : une valeur extrême (105 min) déplace la moyenne mais pas la médiane.
- Mal lire une classe : [15 ; 20[ contient 15 mais pas 20.
Les exercices 11 à 17 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?
La moyenne partage la somme des valeurs équitablement ; la médiane partage l’effectif en deux groupes de même taille. Quand une valeur est très grande ou très petite, la moyenne est entraînée alors que la médiane ne bouge presque pas.
La médiane doit-elle être une valeur de la série ?
Pas forcément. Avec un nombre impair de valeurs, c’est une valeur de la série ; avec un nombre pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales, comme 11,5 pour les notes de Mathieu, qui n’apparaît pas dans la série.
Comment calculer les angles d’un diagramme circulaire ?
On utilise la proportionnalité entre effectif et angle : l’effectif total correspond à 360°. L’angle d’une catégorie est donc effectif ÷ effectif total × 360. On vérifie à la fin que la somme des angles fait 360°, aux arrondis près.
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