Arithmétique en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Les trois divisions posées se traduisent par trois égalités euclidiennes (le reste est toujours inférieur au diviseur) :

\[ 368 = 15 \times 24 + 8 \qquad 368 = 16 \times 23 + 0 \qquad 368 = 14 \times 26 + 4 \]

1. Les nombres 14, 15 et 16 sont-ils des diviseurs de 368 ?

Un entier \(d\) est un diviseur de 368 si le reste de la division euclidienne de 368 par \(d\) est nul.

• Division par 15 : le reste vaut 8, donc 15 n’est pas un diviseur de 368.
• Division par 16 : le reste vaut 0, donc \(368 = 16 \times 23\) et 16 est un diviseur de 368.
• Division par 14 : le reste vaut 4, donc 14 n’est pas un diviseur de 368.

2. Plus petit multiple de 15 supérieur à 368.

On sait que \(15 \times 24 = 360\), qui est inférieur à 368. Le multiple suivant est \(15 \times 25 = 375\), qui dépasse 368. Il n’y a pas de multiple de 15 entre 360 et 375, donc le plus petit multiple de 15 supérieur à 368 est 375.

3. Plus grand multiple de 14 inférieur à 368.

On a \(14 \times 26 = 364\) et \(364 \lt 368\), alors que \(14 \times 27 = 378 \gt 368\). Le plus grand multiple de 14 inférieur à 368 est donc 364 (on retire le reste : \(368 – 4 = 364\)).

On utilise la relation dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste strictement inférieur au diviseur.

• Ligne 1 : \(16 \times 29 + 11 = 464 + 11 = 475\). Le dividende est 475.
• Ligne 2 : \(23 \times 432 + 21 = 9\,936 + 21 = 9\,957\). Le dividende est 9 957.
• Ligne 3 : \(41 \times 11 = 451\), donc le reste vaut \(456 – 451 = 5\) (et \(5 \lt 41\)). Le reste est 5.
• Ligne 4 : \(27 \times 28 = 756\), donc le reste vaut \(781 – 756 = 25\) (et \(25 \lt 27\)). Le reste est 25.
• Ligne 5 : le reste est nul, donc \(935 = \text{diviseur} \times 55\) et le diviseur vaut \(935 \div 55 = 17\). Le diviseur est 17.

Égalités euclidiennes correspondantes :

\[ \begin{aligned} 475 &= 16 \times 29 + 11 \\ 9\,957 &= 23 \times 432 + 21 \\ 456 &= 41 \times 11 + 5 \\ 781 &= 27 \times 28 + 25 \\ 935 &= 17 \times 55 + 0 \end{aligned} \]

Une équipe de basket compte 5 joueurs, une équipe de hand-ball 7 joueurs, une équipe de football 11 joueurs et une équipe de rugby 15 joueurs. Pour chaque sport, on effectue la division euclidienne de 131 par le nombre de joueurs : le quotient donne le nombre d’équipes complètes, le reste le nombre d’enfants sans équipe.

\[ \begin{aligned} 131 &= 5 \times 26 + 1 \\ 131 &= 7 \times 18 + 5 \\ 131 &= 11 \times 11 + 10 \\ 131 &= 15 \times 8 + 11 \end{aligned} \]

Chaque reste est bien inférieur au nombre de joueurs d’une équipe : on ne peut pas former une équipe de plus.

On cherche les diviseurs par paires : si \(a \times b = n\), alors \(a\) et \(b\) sont deux diviseurs de \(n\). On s’arrête quand les deux facteurs se rejoignent.

• 16 : \(1 \times 16 = 2 \times 8 = 4 \times 4\), donc les diviseurs sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
• 20 : \(1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5\), donc 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.
• 36 : \(1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6\), donc 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
• 90 : \(1 \times 90 = 2 \times 45 = 3 \times 30 = 5 \times 18 = 6 \times 15 = 9 \times 10\), donc 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90.
• 59 : aucun entier de 2 à 7 ne divise 59 (et \(8 \times 8 = 64 \gt 59\)), donc 1 ; 59 : 59 est un nombre premier.
• 33 : \(1 \times 33 = 3 \times 11\), donc 1 ; 3 ; 11 ; 33.

Rappels : un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s’il se termine par 0 ; par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ; par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou 9).

• a. 5 912 : somme des chiffres 17 ; se termine par 12, divisible par 4.
• b. 34 200 : somme des chiffres 9 ; se termine par 00.
• c. 54 208 : somme des chiffres 19 ; se termine par 08, divisible par 4.
• d. 317 : somme des chiffres 11 ; nombre impair.
• e. 708 : somme des chiffres 15 ; se termine par 08, divisible par 4.

Pour les lignes f à i, il faut trouver un nombre qui respecte la ligne : plusieurs réponses sont possibles, en voici une (vérifiée avec les critères).

Attention à 34 200 : la somme de ses chiffres vaut \(3 + 4 + 2 + 0 + 0 = 9\), il est donc divisible par 9 ; et 708 se termine par 08, il est donc divisible par 4.

1. Somme de deux entiers impairs consécutifs.

Un entier impair s’écrit \(2n + 1\) avec \(n\) entier. L’impair suivant est \(2n + 3\). Leur somme vaut :

\[ \begin{aligned} (2n + 1) + (2n + 3) &= 4n + 4 \\ &= 4 \times (n + 1) \end{aligned} \]

Comme \(n + 1\) est un entier, la somme est de la forme \(4 \times \text{entier}\) : c’est un multiple de 4. Exemple : \(7 + 9 = 16 = 4 \times 4\).

2. Un multiple de 8 est un multiple de 4.

Un multiple de 8 s’écrit \(8k\) avec \(k\) entier. Or

\[ 8k = 4 \times 2k \]

et \(2k\) est un entier. Donc \(8k\) est un multiple de 4. Exemple : \(40 = 8 \times 5 = 4 \times 10\).

Tous les paquets sont identiques et toutes les billes sont utilisées : le nombre de paquets doit donc diviser à la fois 90 et 150. C’est un diviseur commun à 90 et 150.

1. et 2. Peut-il y avoir 9 paquets ? 30 paquets ?

• 9 paquets : \(90 = 9 \times 10\), mais \(150 = 9 \times 16 + 6\) : le reste n’est pas nul, 9 ne divise pas 150. Impossible.
• 30 paquets : \(90 = 30 \times 3\) et \(150 = 30 \times 5\). C’est possible : chaque paquet contient 3 billes rouges et 5 billes noires.

3. Listes des diviseurs.

• Diviseurs de 90 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90.
• Diviseurs de 150 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150.

4. Les différentes possibilités (question 1) sont les diviseurs communs aux deux listes :

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.

Le plus grand nombre de paquets possible est donc 30, le PGCD de 90 et 150.

On décompose chaque facteur de l’égalité donnée en produit de nombres premiers, puis on regroupe avec des puissances.

\[ \begin{aligned} \text{a. } 36 &= 4 \times 9 = 2^2 \times 3^2 \\ \text{b. } 18\,375 &= 3 \times 125 \times 49 = 3 \times 5^3 \times 7^2 \\ \text{c. } 3\,872 &= 32 \times 121 = 2^5 \times 11^2 \\ \text{d. } 1\,183 &= 91 \times 13 = 7 \times 13 \times 13 = 7 \times 13^2 \\ \text{e. } 214\,375 &= 625 \times 343 = 5^4 \times 7^3 \end{aligned} \]

Pour le d., attention : 91 n’est pas premier, car \(91 = 7 \times 13\).

On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…).

• \(180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\), donc \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).
• \(63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7\), donc \(63 = 3^2 \times 7\).
• \(1\,225 = 5 \times 245 = 5 \times 5 \times 49\), donc \(1\,225 = 5^2 \times 7^2\).
• \(3\,672 = 2 \times 1\,836 = 2^2 \times 918 = 2^3 \times 459 = 2^3 \times 3 \times 153 = 2^3 \times 3^2 \times 51 = 2^3 \times 3^3 \times 17\).
• \(416 = 2 \times 208 = 2^2 \times 104 = 2^3 \times 52 = 2^4 \times 26 = 2^5 \times 13\).
• \(24\,000 = 24 \times 1\,000 = (2^3 \times 3) \times (2^3 \times 5^3) = 2^6 \times 3 \times 5^3\).

Le nombre est compris entre 100 et 150 : son chiffre des centaines est \(a = 1\). Notons \(b\) le chiffre des dizaines et \(c\) celui des unités. La condition s’écrit :

\[ c – 1 = 2b \quad \text{donc} \quad c = 2b + 1 \]

Comme le nombre est inférieur à 150, \(b\) vaut 0, 1, 2, 3 ou 4. On teste chaque cas :

Pour tester si un nombre inférieur à 169 est premier, il suffit d’essayer les diviseurs premiers 2, 3, 5, 7 et 11, car \(13 \times 13 = 169\).

Plusieurs nombres conviennent : 101, 113, 137 et 149. Si l’on exclut le cas où la différence et le chiffre des dizaines sont nuls (101), il reste 113, 137 et 149. Par exemple pour 137 : \(7 – 1 = 6 = 2 \times 3\).