Homothéties en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(|k|\) (la distance à zéro de \(k\)). C’est une réduction si \(|k| \lt 1\) et un agrandissement si \(|k| \gt 1\). Le signe de \(k\) n’intervient pas.

Par exemple \(|-0{,}8| = 0{,}8 \lt 1\) : réduction ; \(\left|-\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3} \gt 1\) : agrandissement.

Les deux serpents sont du même côté de O et alignés avec lui : le rapport est positif. En mesurant sur la figure, le grand serpent est deux fois plus haut que le petit, et chacun de ses points est deux fois plus loin de O que le point correspondant du petit.

a. On passe de \(\mathcal{F}_1\) à \(\mathcal{F}_2\) par l’homothétie de centre O et de rapport 2 (agrandissement).

b. On passe de \(\mathcal{F}_2\) à \(\mathcal{F}_1\) par l’homothétie de centre O et de rapport \(\frac{1}{2}\) (réduction) : c’est la transformation réciproque, de rapport \(\frac{1}{k}\).

• a. \(\mathcal{B}_4\) est le « reflet » de \(\mathcal{B}_1\) dans la droite verte (même taille, tête en bas, bras du même côté) : c’est la symétrie axiale d’axe la droite verte.
• b. \(\mathcal{B}_2\) est le reflet de \(\mathcal{B}_1\) dans la droite rouge (le bras passe de gauche à droite) : c’est la symétrie axiale d’axe la droite rouge.
• c. \(\mathcal{B}_5\) est retourné de part et d’autre de O, tête en bas et bras à droite : c’est la symétrie centrale de centre O, c’est-à-dire l’homothétie de centre O et de rapport \(-1\).
• d. \(\mathcal{B}_3\) est un agrandissement de \(\mathcal{B}_2\), du même côté de O : c’est une homothétie de centre O et de rapport positif supérieur à 1, environ 2 d’après les carreaux.

On compte les carreaux : \(k = \dfrac{OM^{\prime}}{OM}\) si M et M’ sont du même côté de O, et \(k = -\dfrac{OM^{\prime}}{OM}\) si O est entre M et M’.

• a. \(OM = 5\), \(OM^{\prime} = 10\), même côté : \(k = 2\).
• b. \(OM = 10\), \(OM^{\prime} = 5\) : \(k = \frac{1}{2}\).
• c. \(OM = 8\), \(OM^{\prime} = 12\) : \(k = \frac{3}{2}\).
• d. \(OM = 8\), \(OM^{\prime} = 6\) : \(k = \frac{3}{4}\).
• e. \(OM = 4\), \(OM^{\prime} = 4\), O entre M et M’ : \(k = -1\).
• f. \(OM = 4\), \(OM^{\prime} = 7\), O entre M et M’ : \(k = -\frac{7}{4}\).

Pour e., \(|k| = 1\) : les longueurs sont conservées, ce n’est ni un agrandissement ni une réduction (c’est une symétrie centrale).

On mesure OM en carreaux, on calcule \(OM^{\prime} = |k| \times OM\), puis on place M’ du même côté que M si \(k \gt 0\), du côté opposé si \(k \lt 0\).

• Cas a, b, c : \(OM = 7\) carreaux. a. \(OM^{\prime} = \frac{5}{7} \times 7 = 5\) ; b. \(OM^{\prime} = \frac{10}{7} \times 7 = 10\) ; c. \(OM^{\prime} = 2 \times 7 = 14\) carreaux, du côté de M.
• Cas d, e, f : \(OM = 5\) carreaux. d. \(OM^{\prime} = 1 \times 5 = 5\) ; e. \(OM^{\prime} = \frac{3}{5} \times 5 = 3\) ; f. \(OM^{\prime} = \frac{7}{5} \times 5 = 7\) carreaux, à gauche de O.

En prenant O comme origine et le carreau comme unité, les sommets du triangle gris sont à (2 ; 4), (4 ; 8) et (8 ; 4) : 2 carreaux à droite et 4 vers le haut pour le premier, etc.

a. Rapport 2 : on double les deux déplacements. Les sommets de l’image bleue sont à (4 ; 8), (8 ; 16) et (16 ; 8). Chaque sommet image est sur la demi-droite [O sommet) à une distance double.

b. Rapport \(\frac{1}{2}\) : on divise par 2. Les sommets de l’image rouge sont à (1 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 2).

Le triangle bleu a des côtés deux fois plus longs que le triangle gris, le rouge des côtés deux fois plus courts ; les trois ont les mêmes angles et des côtés parallèles.

L’image d’un cercle de centre A et de rayon \(r\) par une homothétie de centre O et de rapport \(k\) est le cercle de centre A’ (image de A) et de rayon \(|k| \times r\).

Sur la figure, A est 4 carreaux au-dessus de O et le rayon mesure 8 carreaux. Comme \(k\) est négatif, A’ est sous O.

• a. \(k = -\frac{1}{4}\) : \(OA^{\prime} = \frac{1}{4} \times 4 = 1\) carreau sous O, rayon \(\frac{1}{4} \times 8 = 2\) carreaux.
• b. \(k = -\frac{1}{2}\) : A’ à 2 carreaux sous O, rayon 4 carreaux.
• c. \(k = -\frac{3}{4}\) : A’ à 3 carreaux sous O, rayon 6 carreaux.

Pour chaque entier \(k\) de 2 à 8, on place l’image de chaque sommet S sur la demi-droite [OS) à la distance \(k \times OS\), puis on relie. On obtient sept triangles emboîtés, tous de même forme que le triangle gris, avec des côtés 2, 3, …, 8 fois plus longs.

Comme le sommet du triangle gris le plus proche de O est presque confondu avec O, les images de ce sommet restent tout près de O, et tous les côtés « du bas » sont sur la même droite. Les aires sont multipliées par \(k^2\) : 4, 9, 16, …, 64.

Rapport −1 (centre O) : c’est la symétrie centrale de centre O. Chaque point P a pour image P’ tel que O soit le milieu de [PP’]. La figure est retournée (le demi-disque se retrouve au-dessus du diamètre, la pointe du triangle vers le bas), sans changer de taille.

Rapport −1,5 (centre O’) : chaque point P a pour image P’ situé de l’autre côté de O’, avec \(O^{\prime}P^{\prime} = 1{,}5 \times O^{\prime}P\). On construit l’image du centre du demi-disque et des trois sommets du triangle, puis on trace le demi-disque de rayon 1,5 fois plus grand. La figure obtenue est retournée et agrandie.

a. Une homothétie conserve les angles et, avec un rapport positif, l’orientation de la figure. On repère donc les sommets par leur position et leurs angles :

A est le sommet de l’angle droit : son image est le sommet de l’angle droit de BELO, E. L’angle aigu de 52° en I correspond à la pointe O, et R, voisin de A et de I, correspond à L, voisin de E et de O. Il reste M → B.

b. [LE] est l’image de [RA], donc :

\[ LE = \frac{2}{3} \times RA = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \text{ cm} \]

c. On peut aussi calculer LO, image de [RI] :

\[ LO = \frac{2}{3} \times 4{,}2 = 2{,}8 \text{ cm} \]

On connaît aussi les angles : \(\widehat{ELO} = 83^\circ\), \(\widehat{LOB} = 52^\circ\), \(\widehat{LEB} = 90^\circ\).