Probabilités en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

La roue compte 8 secteurs de même probabilité \( \dfrac{1}{8} \) : 4 blancs, 3 noirs et 1 gris.

1) a. On gagne 2 € avec le secteur gris : \( P = \dfrac{1}{8} \).

b. On gagne 1 € avec un secteur noir : \( P = \dfrac{3}{8} \).

c. On perd 2 € avec un secteur blanc : \( P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \).

2) On gagne (1 € ou 2 €) avec \( \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \), et on perd avec \( \dfrac{1}{2} \). Il y a autant de chances de gagner que de perdre.

L’urne contient 10 boules : 6 blanches (A, B, C, E, H, J) et 4 noires (D, F, G, I). Les voyelles sont A, E et I.

1) a. Les issues sont les 10 lettres A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.

b. Non : chaque lettre n’apparaît qu’une fois et les boules sont indiscernables au toucher.

c. Oui, c’est une situation d’équiprobabilité.

d. i. \( P(C) = \dfrac{1}{10} \) ; ii. \( P(J) = \dfrac{1}{10} \) ; iii. \( P(\text{voyelle}) = \dfrac{3}{10} \).

2) a. Les issues sont « blanche » et « noire ».

b. Oui : « blanche », car il y a 6 boules blanches contre 4 noires.

c. Non, les deux issues n’ont pas la même probabilité.

d. i. \( P(\text{blanche}) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \) ; ii. \( P(\text{noire}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \).

3) a. Chaque boule correspond à un couple (couleur, lettre) différent : il y a 10 issues équiprobables, c’est une situation d’équiprobabilité.

b.

• i. Blanche : \( \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \).
• ii. Avec une voyelle : \( \dfrac{3}{10} \).
• iii. Blanche avec une voyelle : A et E, \( \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \).
• iv. Blanche ou avec une voyelle : les 6 blanches et la noire I, soit \( \dfrac{7}{10} \).

1. Une lettre parmi 3 suivie d’un chiffre parmi 3 : \( 3 \times 3 = 9 \) codes.

2. a. Un seul code est le bon parmi 9 : \( P = \dfrac{1}{9} \).

b. La lettre n’est pas A et le chiffre n’est pas 1. Il reste les codes B2, B3, C2, C3 : \( P = \dfrac{1}{4} \).

c. Si au deuxième essai elle ne se trompe que de lettre, le chiffre est le bon. Pour la lettre, elle a déjà éliminé A (premier essai) et la lettre du deuxième essai : il ne reste qu’une seule lettre possible. Le troisième essai est donc forcément le bon.

a. Le bâton de la somme 7 atteint 170 lancers. Fréquence : \( \dfrac{170}{1\,000} = 0{,}17 = 17\,\% \).

b. Tableau des 36 issues équiprobables (dé 1 en ligne, dé 2 en colonne) ; les sommes égales à 7 sont en gras :

Il y a 6 cas favorables sur 36 : \( P(7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167 \), soit environ 16,7 %.

La fréquence observée (17 %) est très proche de la probabilité (16,7 %) : sur un grand nombre de lancers, la fréquence se rapproche de la probabilité.

a. Le lutin dit 1 si \( n \lt 9 \), et 0 sinon.

• \( n = 2 \) : \( 2 \lt 9 \), il dit 1.
• \( n = 10 \) : il dit 0.
• \( n = 3 \) : il dit 1.
• \( n = 9 \) : \( 9 \lt 9 \) est faux, il dit 0.
• \( n = 15 \) : il dit 0.

b. Les issues sont 0 et 1. \( n \) est choisi au hasard parmi les 15 entiers de 1 à 15 (équiprobabilité). Le lutin dit 1 pour \( n \) de 1 à 8, soit 8 valeurs, et 0 pour \( n \) de 9 à 15, soit 7 valeurs.

\[ P(1) = \frac{8}{15} \qquad P(0) = \frac{7}{15} \]

\( A = 5 + n \) et \( B = 2n \). L’événement « \( A = B \) » se produit quand \( 5 + n = 2n \), c’est-à-dire \( n = 5 \).

\( n \) est choisi au hasard parmi les 10 entiers de 1 à 10 ; une seule valeur convient. Vérification : pour \( n = 5 \), \( A = 10 \) et \( B = 10 \).

1. a. Pour chaque couleur de toit, 3 couleurs de porte, et pour chacune 3 couleurs de fenêtre.

b. \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) dessins possibles.

2. \( \overline{A} \) : « l’enfant n’a utilisé qu’une seule couleur ». Il y a 3 issues : RRR, BBB, JJJ. En supposant les coloriages choisis au hasard (équiprobables) :

\[ P(\overline{A}) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \qquad P(A) = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

1. a. Après P comme après F, on a les 5 couleurs R, V, B, N, J (le sac contient une boule de chaque couleur).

b. \( 2 \times 5 = 10 \) issues, toutes équiprobables (pièce et tirage équilibrés).

2. \( E_1 \) est réalisé par PR et FR : \( P(E_1) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \).

\( E_2 \) est le contraire de « obtenir jaune » (PJ, FJ, soit \( \dfrac{2}{10} \)) : \( P(E_2) = 1 – \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} \).

1. a. La fève de la frangipane peut être chez A, B, C ou D, et pour chacun, la fève de la briochée aussi.

b. \( 4 \times 4 = 16 \) issues équiprobables (les parts sont égales).

2. a. \( E \) : seule l’issue AA convient, \( P(E) = \dfrac{1}{16} \).

b. \( F \) : les deux fèves sont chez A, C ou D : \( 3 \times 3 = 9 \) issues, \( P(F) = \dfrac{9}{16} \).

c. \( G \) : C a la fève de la frangipane mais pas celle de la briochée (CA, CB, CD), ou l’inverse (AC, BC, DC) : 6 issues, \( P(G) = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} \).

d. \( H \) est le contraire de « Dylan n’a aucune fève » (9 issues, comme pour Baptiste) : \( P(H) = 1 – \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16} \).

1. \( E = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\} \), \( F = \{3\,;\,6\,;\,9\} \), \( G = \{5\,;\,10\} \).

2. Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps (aucune issue commune).

• a. \( E \) et \( F \) : non incompatibles, le numéro 6 réalise les deux.
• b. \( E \) et \( G \) : non incompatibles, le numéro 10 réalise les deux.
• c. \( F \) et \( G \) : incompatibles, aucun numéro de 1 à 10 n’est multiple à la fois de 3 et de 5 (il faudrait un multiple de 15).

3. Les 10 secteurs sont équiprobables : \( P(E) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \), \( P(F) = \dfrac{3}{10} \), \( P(G) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \).