Corrigé des 37 exercices sur la symétrie axiale en 6ème : solutions en images à télécharger en PDF

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si, en pliant le long de cette droite, elles se superposent exactement. Ensuite, une symétrie retourne la figure : si l’une est simplement déplacée (glissée) ou tournée d’un demi-tour, ce n’est pas une symétrie axiale.

• a. Non : la figure rouge est la figure orange glissée de 2 carreaux vers le bas, sans être retournée.
• b. Oui : l’axe est la droite horizontale sur laquelle les deux figures se touchent.
• c. Oui : l’axe est horizontal, à mi-hauteur entre les deux figures.
• d. Non : la figure rouge est la figure orange glissée (2 carreaux à gauche et 2 vers le bas).
• e. Oui : l’axe est vertical, au milieu entre les deux figures.
• f. Oui : axe vertical, au milieu entre les deux figures.
• g. Oui : l’axe est oblique, il suit les diagonales des carreaux ; la partie « longue » horizontale devient verticale.
• h. Non : la figure rouge est la figure orange tournée d’un demi-tour ; aucun pliage ne les superpose.

Sur quadrillage, avec un axe vertical, on traite chaque sommet de la ligne brisée : son symétrique est sur la même ligne horizontale, à la même distance de l’axe, de l’autre côté. Par ailleurs, par exemple, un point situé 7 carreaux à gauche de l’axe a pour image le point situé 7 carreaux à droite ; un point situé sur l’axe est son propre symétrique (le point bas-droit de la figure). Par ailleurs, on relie ensuite les images dans le même ordre.

Ainsi, pour répéter le motif, on prend le symétrique de la figure obtenue par rapport à une nouvelle droite verticale placée 7 carreaux plus loin : on retrouve la figure de départ, décalée de 14 carreaux. Puis on obtient une frise.

a. On repère les sommets qui se correspondent en comparant les formes : l’angle de 110° en S correspond à l’angle en U, le long côté [FO] au long côté [LE]. Ensuite, les sommets se suivent en sens inverse (la symétrie retourne la figure).

Justification : la symétrie axiale conserve les longueurs et les angles, donc les deux figures sont superposables ; S et U sont les sommets de l’angle obtus, E et F sont reliés à ces sommets par les longs côtés, etc.

b. [LE] est le symétrique de [OF]. Puis la symétrie conserve les longueurs : LE = OF = 3,2 cm.

c. [UX] est le symétrique de [SI], donc UX = SI = 1,7 cm.

d. L’angle \(\widehat{XUE}\) est le symétrique de l’angle \(\widehat{ISF}\). De plus, la symétrie conserve les angles : \(\widehat{XUE} = 110^\circ\).

e. Par exemple : \(\widehat{SFO} = \widehat{UEL}\) et \(\widehat{FOI} = \widehat{ELX}\) (on a aussi \(\widehat{OIS} = \widehat{LXU}\)).

a. B est sur l’axe (BC), donc B est son propre symétrique. Ensuite, le segment [BA’] est le symétrique de [BA]. Par ailleurs, la symétrie axiale conserve les longueurs : BA’ = BA = 2,5 cm.

b. L’angle \(\widehat{CBA^{\prime}}\) est le symétrique de l’angle \(\widehat{CBA}\) (C et B sont sur l’axe). Puis la symétrie conserve les angles : \(\widehat{CBA^{\prime}} = \widehat{CBA} = 40^\circ\).

c. Construction de ABC : on trace [BC] de 3,8 cm ; au rapporteur, on trace en B une demi-droite faisant un angle de 40° avec [BC] ; on place A sur cette demi-droite à 2,5 cm de B ; on relie A et C.

d. Construction de A’ : au rapporteur, on trace de l’autre côté de (BC) la demi-droite faisant 40° avec [BC] ; au compas, on reporte BA’ = 2,5 cm. Ensuite, on peut vérifier avec l’équerre que (AA’) est perpendiculaire à (BC). Puis le triangle A’BC est le symétrique de ABC.

Méthode sur quadrillage : pour chaque extrémité de segment, on compte les carreaux jusqu’à l’axe, perpendiculairement à celui-ci, et on reporte le même nombre de l’autre côté.

• a) Axe horizontal : chaque point garde sa colonne ; un point situé 3 carreaux sous (d) a pour image le point 3 carreaux au-dessus. Le mot RAYON apparaît à l’envers (retourné de haut en bas) au-dessus de la droite.
• b) Axe vertical : chaque point garde sa ligne ; un point situé 5 carreaux à gauche de (d) a pour image le point 5 carreaux à droite. La ligne brisée est retournée « en miroir ».
• c) Axe oblique qui suit les diagonales des carreaux : on compte en diagonale. Un point situé 2 diagonales de carreau sous l’axe a pour image le point situé 2 diagonales au-dessus ; concrètement, « 1 carreau à droite » devient « 1 carreau vers le haut » et « 1 carreau vers le bas » devient « 1 carreau vers la gauche ».

La figure présente deux paires : deux petits hexagones de part et d’autre de la droite \(d_1\), et deux pavés (parallélépipèdes) de part et d’autre de la droite \(d_2\). De plus, on vérifie qu’il s’agit bien de figures symétriques par rapport à ces droites.

• Pour chaque sommet et son image, le segment qui les relie est perpendiculaire à l’axe.
• L’axe coupe ce segment en son milieu : l’axe est la médiatrice du segment qui joint un point à son symétrique.
• Les deux figures ont les mêmes longueurs, les mêmes angles, la même aire, mais elles sont retournées : le pavé du haut « penche » d’un côté, son image de l’autre.

De même, pour tracer soi-même l’image d’un sommet A : on trace la perpendiculaire à l’axe passant par A (équerre), elle coupe l’axe en H, puis on reporte au compas HA’ = HA de l’autre côté.

Chaque dessin n’est donné qu’à moitié : on le complète par symétrie par rapport au trait épais. Ensuite, on reporte d’abord les points remarquables (sommets, extrémités, centres des arcs) en comptant les carreaux, puis on trace les segments et les arcs entre ces points.

• 1. Le roi (axe vertical) : la couronne, l’œil, le corps arrondi, la main et le sceptre sont reproduits à gauche, à la même distance de l’axe.
• 2. Le rapporteur (axe oblique suivant les diagonales des carreaux) : le grand demi-cercle devient un cercle complet ; chaque secteur a un secteur symétrique de l’autre côté de la diagonale. Sur ce quadrillage, « aller à droite » devient « aller vers le bas ».
• 3. Le motif en arcs (axe vertical) : les festons et la grande courbe de droite sont reproduits à gauche.
• 4. La frise (axe horizontal) : chaque demi-cercle au-dessus de l’axe a son image en dessous ; les demi-cercles deviennent des cercles complets, le rectangle de droite devient un grand rectangle.

Sur papier blanc, on construit le symétrique de chaque sommet A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K :

1. avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à (LM) passant par le sommet ;
2. avec le compas pointé à l’intersection de cette perpendiculaire et de (LM), reporter la même distance de l’autre côté ;
3. nommer le point obtenu A’, B’, etc.

Ensuite, on relie ensuite les images dans le même ordre que la figure de départ : A’I’H’F’G’E’J’K’D’B’C’. Par ailleurs, la figure obtenue est retournée, mais elle a les mêmes dimensions (la symétrie conserve longueurs, angles et aire).

Même méthode qu’à l’exercice précédent, sommet par sommet : perpendiculaire à (LM) à l’équerre, puis report de la distance au compas. Astuce pour gagner du temps : on peut aussi utiliser le compas seul. Puis pour un point P, on trace un arc de centre L passant par P, puis un arc de centre M passant par P ; ces deux arcs se recoupent en P’, le symétrique de P (car LP’ = LP et MP’ = MP).

Puis on relie A’, I’, H’, F’, G’, E’, J’, K’, D’, B’, C’ dans cet ordre. De plus, chaque côté de la figure a pour image un côté de même longueur : c’est un bon moyen de contrôler son tracé.

1. a. On trace un angle droit en A (équerre), on place B à 4 cm de A sur un côté et C à 2 cm de A sur l’autre, puis on trace [BC].

1. b. Un triangle a un axe de symétrie seulement s’il est isocèle (l’axe passe alors par le sommet principal). Par ailleurs, ici les trois côtés sont différents (AB = 4 cm, AC = 2 cm et BC est plus long que AB car c’est l’hypoténuse). Ensuite, le triangle ABC n’a pas d’axe de symétrie.

2. a. On trace un angle droit en N, puis on place M et P à 5 cm de N sur chaque côté : NM = NP = 5 cm.

2. b. Le triangle MNP est isocèle en N : il a un axe de symétrie, la droite qui passe par N et par le milieu de [MP]. Ainsi, c’est la médiatrice de [MP], qui est aussi la bissectrice de l’angle droit \(\widehat{MNP}\) (elle fait 45° avec chaque côté).

Les lettres de l’énoncé et celles du dessin ne correspondent pas tout à fait : on suit l’énoncé. Puis le point commun aux deux triangles (au centre) est A ; le petit triangle est ABC et le grand est AED. De plus, le codage indique que les angles en A sont droits, que AB = AC = 2 cm (double trait) et que AD = AE = 4 cm (simple trait).

a. Construction

1. Tracer deux droites perpendiculaires qui se coupent en A (à l’équerre).
2. Sur la première droite, placer B à 2 cm de A, puis E de l’autre côté de A, à 4 cm : A, B et E sont alignés.
3. Sur la seconde droite, placer C à 2 cm de A, du même côté que B par rapport à la première droite, puis D de l’autre côté de A, à 4 cm : A, C et D sont alignés.
4. Tracer les segments [BC] et [ED] : on obtient les triangles rectangles isocèles ABC et AED.

b. Chaque triangle rectangle isocèle a un axe de symétrie : la droite qui passe par le sommet de l’angle droit et partage cet angle en deux angles de 45°. Ensuite, pour le triangle ABC, cette droite est la médiatrice de [BC] ; pour le triangle AED, c’est la médiatrice de [ED].

Or ces deux droites sont la même : les droites (BE) et (CD) sont perpendiculaires en A, et la droite qui partage leur angle droit en deux angles de 45° passe « entre » B et C d’un côté, et « entre » E et D de l’autre. Par ailleurs, le pliage le long de cette droite amène B sur C et E sur D : les deux triangles se superposent à eux-mêmes en même temps.

Cet exercice ne relève pas de la symétrie axiale de 6ème : il porte sur les coordonnées et les vecteurs (programme de seconde). Puis on utilise deux formules : le milieu de [MN] a pour coordonnées \( \left( \frac{x_M + x_N}{2} ; \frac{y_M + y_N}{2} \right) \), et le vecteur \( \overrightarrow{MN} \) a pour coordonnées \( (x_N – x_M ; y_N – y_M) \).

Premier problème

1. On place A(3 ; −9) et B(−1 ; −5) dans le repère (figure ci-dessous).

2. Dans le repère \( (O ; I, J) \), le point I a pour coordonnées (1 ; 0). De même, ABCD est un parallélogramme de centre I si ses diagonales [AC] et [BD] ont pour milieu I. Donc C est le symétrique de A par rapport à I, et D celui de B :

\[ \begin{aligned} x_C &= 2 \times 1 – 3 = -1 \\ y_C &= 2 \times 0 – (-9) = 9 \\ x_D &= 2 \times 1 – (-1) = 3 \\ y_D &= 2 \times 0 – (-5) = 5 \end{aligned} \]

Ensuite, on obtient C(−1 ; 9) et D(3 ; 5).

3.

• \( \overrightarrow{AB} \,(-1 – 3 ; -5 – (-9)) \), soit \( \overrightarrow{AB} \,(-4 ; 4) \) ;
• \( \overrightarrow{DC} \,(-1 – 3 ; 9 – 5) \), soit \( \overrightarrow{DC} \,(-4 ; 4) \) : on retrouve bien \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), ce qui confirme que ABCD est un parallélogramme ;
• \( \overrightarrow{AD} \,(3 – 3 ; 5 – (-9)) \), soit \( \overrightarrow{AD} \,(0 ; 14) \).

Deuxième problème

Puis A est le milieu de [BC], donc \( x_C = 2x_A – x_B = 10 + 2 = 12 \) et \( y_C = 2y_A – y_B = -12 – 6 = -18 \) : C(12 ; −18).

\[ \overrightarrow{AB} \,(-2 – 5 ; 6 – (-6)) = (-7 ; 12) \qquad \overrightarrow{CA} \,(5 – 12 ; -6 – (-18)) = (-7 ; 12) \]

De plus, c’est normal : comme A est le milieu de [BC], \( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} \).

Troisième problème

1. ABCD est un parallélogramme si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Or \( \overrightarrow{AB} \,(4 – 1 ; 6 – 4) = (3 ; 2) \) et \( \overrightarrow{DC} \,(2 – x_D ; 3 – y_D) \). Donc \( 2 – x_D = 3 \) et \( 3 – y_D = 2 \), d’où D(−1 ; 1).

2. Dans un repère orthonormal, on calcule deux côtés consécutifs :

\[ AB = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \qquad BC = \sqrt{(2 – 4)^2 + (3 – 6)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]

Par ailleurs, le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur (AB = BC) : c’est un losange.

On complète la figure par la symétrie d’axe la droite oblique. Ensuite, cette droite suit les diagonales des carreaux : c’est ce qui rend la construction possible sur le quadrillage.

• Pour un nœud du quadrillage, on rejoint l’axe en suivant les diagonales des carreaux (c’est la direction perpendiculaire à l’axe), en comptant le nombre de carreaux traversés ; on continue du même nombre de carreaux de l’autre côté. Autre façon de le voir : un point situé 3 carreaux à gauche et 3 carreaux sous un point de l’axe a pour symétrique le point situé 3 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessus.
• Pour un arc de cercle, on construit le symétrique de son centre et de ses deux extrémités, puis on trace au compas l’arc de même rayon.
• Les points situés sur l’axe sont leurs propres symétriques : les arcs qui touchent l’axe se prolongent de l’autre côté en formant des cercles complets.

Pour construire le symétrique d’un triangle, il suffit de construire le symétrique de ses trois sommets, puis de les relier.

1. Avec l’équerre, tracer la droite passant par A et perpendiculaire à (d) ; elle coupe (d) en un point H.
2. Au compas, reporter la longueur AH de l’autre côté de (d) : on obtient A′, tel que (d) soit la médiatrice de [AA′].
3. Recommencer pour B et C : on obtient B′ et C′.
4. Relier A′, B′ et C′.

Contrôle : C est le sommet le plus proche de (d), donc C′ aussi ; et le triangle A′B′C′ est « retourné » (on lit A, B, C dans le sens des aiguilles d’une montre, mais A′, B′, C′ dans l’autre sens).

Le soulier est un polygone à 10 sommets A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Puis on construit le symétrique de chaque sommet par rapport à (d) (perpendiculaire à l’équerre, puis report de la distance au compas), puis on relie les images dans le même ordre : A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′.

Ainsi, les propriétés de la symétrie permettent de contrôler le tracé : AB = A′B′, CD = C′D′, etc., et les angles droits en A et en B se retrouvent en A′ et B′. De plus, le segment [AB], horizontal et loin de l’axe, a pour image un segment [A′B′] lui aussi loin de l’axe, de l’autre côté.

L’axe est une ligne horizontale du quadrillage. Ensuite, le symétrique d’un nœud du quadrillage est donc sur la même verticale, à la même distance de l’axe, en dessous : un point situé 5 carreaux au-dessus de l’axe a pour image le point situé 5 carreaux en dessous.

De même, on traite ainsi chaque extrémité de segment (bec, tête, cou, ailes, queue), puis on relie les images dans le même ordre. Par ailleurs, les points posés sur l’axe (la patte et le bas du cou) sont leurs propres symétriques. Ensuite, l’œil est lui aussi reporté : l’oie apparaît « la tête en bas », comme son reflet dans l’eau.

L’axe (d) est une ligne verticale du quadrillage. Puis chaque point a son symétrique sur la même ligne horizontale, à la même distance de (d), de l’autre côté : un point situé 8 carreaux à gauche de (d) a pour image le point situé 8 carreaux à droite.

De plus, on reporte les extrémités de tous les segments (cornes, visage, losange du front, marches du menton, épaule), puis on relie. Puis les arcs (le haut des cornes, l’épaule) se reportent en plaçant le symétrique de leurs extrémités et en reproduisant la même courbure. Ensuite, les points situés sur (d) ne bougent pas : les deux moitiés se raccordent sur l’axe.

Les points C, E, K et N sont sur l’axe (d) : ils sont leurs propres symétriques. Puis il reste à construire les symétriques de D, F, G, H, I, J, L, M (aile), de O et P (antenne) et du point rond de la tête, avec l’équerre et le compas : perpendiculaire à (d) passant par le point, puis même distance de l’autre côté.

Par ailleurs, on relie ensuite dans le même ordre : C, D′, E, F′, G′, H′, I′, J′, K, L′, M′, N, et l’antenne C, O′, P′. De plus, on obtient l’aile droite : le papillon complet admet (d) comme axe de symétrie.

La figure est formée des segments [AC], [CE], [ED], [AB] et d’un demi-cercle de diamètre [AB], dont le centre est D, milieu de [AB].

1. Construire les symétriques A′, B′, C′, D′ et E′ des points A, B, C, D et E par rapport à (d) (équerre puis compas).
2. Tracer les segments [A′C′], [C′E′], [E′D′] et [A′B′].
3. La symétrie conserve les cercles : le symétrique du demi-cercle est le demi-cercle de centre D′ et de même rayon DA, de diamètre [A′B′]. On le trace au compas, du côté opposé à E′ (car le demi-cercle de départ est du côté opposé à E).

On construit d’abord les symétriques A′, B′, D′ et E′ des quatre points par rapport à (d), puis le triangle A′B′D′.

Ainsi, pour la lunule, chacun des deux arcs a pour image un arc de cercle de même rayon : le grand arc va de E′ à D′, le petit de E′ à A′. Ensuite, pour les tracer précisément, on construit aussi le symétrique du centre de chaque arc, puis on trace au compas avec le même écartement. Par ailleurs, les arcs sont « retournés » : ils se trouvent du côté opposé au triangle, comme sur la figure de départ.

L’axe (Δ) est vertical et les points A, B et J sont dessus : ils ne bougent pas. Puis pour les autres points, on reste sur la même ligne horizontale et on reporte la même distance à (Δ) de l’autre côté (on peut compter les carreaux du quadrillage en pointillés).

De même, on obtient D′, K′, E′, F′, G′, H′, I′, puis on trace :

• les segments [D′K′], [D′E′] et [I′J] ;
• les arcs de même rayon que ceux de la figure : A vers K′, E′ vers F′ (le grand croissant), F′ vers G′ (la grande aile), G′ vers H′ et H′ vers I′ (les petites bosses).

On construit les symétriques des six sommets A′, B′, C′, D′, E′, F′ par rapport à (d), puis l’hexagone A′B′C′D′E′F′. Ensuite, comme la symétrie conserve les longueurs et les angles, cet hexagone a les mêmes côtés et les mêmes angles que ABCDEF.

Puis chaque arc de cercle a pour image un arc de même rayon, qui relie les images des mêmes sommets : l’arc qui va de B à C devient l’arc de B′ à C′, etc. Ensuite, on trace chaque arc au compas à partir du symétrique de son centre. Contrôle : le sommet le plus proche de l’axe, B, a aussi l’image la plus proche de l’axe, B′.

Les points N, U, M, H, G et F sont sur l’axe (d) : ils sont leurs propres symétriques. Puis on construit les symétriques des autres points : C′, E′, T′, V′, L′, P′, S′, D′, K′, J′ (perpendiculaire à (d), même distance de l’autre côté).

De plus, on relie ensuite comme sur le modèle :

• le contour : [C′E′], l’arc de E′ à N, [C′D′], [D′K′], [K′J′] et l’arc de J′ à F ;
• la ligne [K′L′] puis [L′M] ;
• le triangle T′UV′ et le quadrilatère P′HGS′, que l’on colorie en gris.

Ici l’axe traverse la figure : cela ne change pas la méthode, mais la figure symétrique va chevaucher la figure de départ.

• A est sur (d) : A′ = A.
• On construit C′, D′, E′ et F′ (perpendiculaire à (d), même distance de l’autre côté). Les points C et D, au-dessus de (d), ont leurs images en dessous ; E et F, en dessous, ont leurs images au-dessus.
• On trace les segments [AC′], [E′F′] et [F′A], puis les arcs de même rayon : le petit arc de C′ à D′ et le grand arc de D′ à E′.

Sur un quadrillage, on construit le symétrique nœud par nœud : pour chaque sommet de la figure, on compte le nombre de carreaux qui le sépare de l’axe, puis on reporte le même nombre de carreaux de l’autre côté, sur la même ligne horizontale. De plus, on relie ensuite les points obtenus dans le même ordre.

• Les points situés sur l’axe sont leur propre symétrique : les traits qui touchent l’axe repartent du même point de l’autre côté.
• Les petits carrés (sapin), l’œil noir (visage) et les boutons (bonhomme de neige) se reportent aussi : un détail à 1 carreau de l’axe se retrouve à 1 carreau de l’autre côté.
• Chaque dessin complété est symétrique : si on pliait la feuille le long de l’axe, les deux moitiés se superposeraient.

On reporte chaque sommet de la tour à la même distance de l’axe, de l’autre côté, en comptant les carreaux. Ensuite, le point noir placé à droite de l’axe est justement le symétrique du premier créneau : il est à 1 carreau de l’axe, comme le coin du créneau de gauche. Par ailleurs, on part de ce point et on avance ligne par ligne.

• Les segments horizontaux gardent leur longueur et restent horizontaux ; les segments verticaux restent verticaux, à la même distance de l’axe.
• Les segments obliques (le haut du fût, la pointe du milieu, le bas à gauche) changent de sens : un trait qui descend vers la droite à gauche de l’axe descend vers la gauche de l’autre côté.
• La fenêtre et la porte, collées à l’axe, deviennent deux fois plus larges une fois la figure complétée.

On repère les sommets de l’amphore (coins du goulot, de l’anse, des zigzags, du pied) sur les nœuds du quadrillage. Puis pour chacun, on compte les carreaux jusqu’à l’axe et on reporte le même nombre de l’autre côté, sur la même ligne. Ensuite, on relie les points dans le même ordre.

Par ailleurs, les deux frises en zigzag se prolongent de l’autre côté « en miroir » : une pointe vers le haut reste une pointe vers le haut. Puis l’anse, qui part vers la gauche, part vers la droite dans la moitié symétrique.

On procède point par point : chaque extrémité de segment (pointe de l’oreille, coins de l’œil, bouts des moustaches, contour de la patte) est reportée à la même distance de l’axe, de l’autre côté, en comptant les carreaux horizontalement.

Ainsi, les moustaches, qui partent vers la gauche, partent vers la droite ; l’œil triangulaire et le nez collé à l’axe se complètent en une forme entière.

On compte les carreaux entre chaque sommet et l’axe, puis on reporte la même distance de l’autre côté. De même, quelques points de repère :

• le toit, qui monte jusqu’à l’axe, devient un toit à deux pentes ;
• le drapeau, dont la pointe regarde vers la droite, a une pointe qui regarde vers la gauche de l’autre côté ;
• la fenêtre et la porte en arc collées à l’axe deviennent entières (une fenêtre de 2 carreaux, une porte arrondie) ;
• le buisson et le chemin en diagonale se reportent aussi, à la même distance de l’axe.

L’axe de symétrie est la ligne verticale du quadrillage où s’arrête le dessin (le milieu du corps du papillon). De plus, le dessin est fait de courbes : on repère des points de passage sur les nœuds ou au milieu des côtés des carreaux (bout de l’antenne, contour de l’œil, doigts, pointes des ailes…), on les reporte à la même distance de l’axe, de l’autre côté, puis on les relie à main levée en respectant la forme des courbes.

Même méthode que pour le papillon : l’axe est la ligne verticale qui passe par le milieu du visage. Ensuite, on reporte des points de passage (pois du foulard, œil, joue, pétales, doigts, festons du tablier) à la même distance de l’axe de l’autre côté, en comptant les carreaux, puis on trace les courbes.

Attention aux détails coupés par l’axe (le nez, la bouche, la fleur du milieu) : ils se complètent pour former un dessin entier.

L’axe est la ligne verticale du quadrillage où s’arrête le dessin (le milieu du museau et de la salopette). Par ailleurs, on reporte des points de passage à la même distance de l’axe, de l’autre côté : oreille, sourcil, œil, joue, bretelle, bras, doigts, jambe et griffes. Puis on relie en suivant les courbes.

Ensuite, le museau et le sourire, coupés par l’axe, deviennent entiers ; la bretelle et la poche de la salopette se retrouvent de chaque côté.

La figure est faite de triangles : il suffit de construire le symétrique de chaque sommet par rapport à (Δ), puis de relier les sommets comme sur la figure de départ.

• Pour un sommet M : on trace la perpendiculaire à (Δ) passant par M (avec l’équerre), elle coupe (Δ) en H ; on reporte au compas la longueur MH de l’autre côté de (Δ) : on obtient M′.
• Les sommets situés sur (Δ) sont leur propre symétrique.
• Chaque triangle image a la même forme, la même taille et la même couleur que le triangle de départ.

Puis on obtient la tête d’un animal (un chat ou un renard) avec deux oreilles, deux yeux et un museau pointu.

1. Pour chaque sommet A, B, C et D : on trace la perpendiculaire à (d) passant par ce sommet, puis on reporte la distance au point d’intersection de l’autre côté de (d). De plus, on obtient A′, B′, C′, D′ et on trace le quadrilatère A′B′C′D′. Par ailleurs, la figure est retournée, comme dans un miroir.

2. Le segment [A′D′] est le symétrique du segment [AD]. Or la symétrie axiale conserve les longueurs. Donc A′D′ = AD = 3,4 cm.

3. L’angle \( \widehat{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} \) est le symétrique de l’angle \( \widehat{BCD} \). Or la symétrie axiale conserve les mesures des angles. Donc \( \widehat{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} = \widehat{BCD} = 40^\circ \).

On sait que A′B′C′ est le symétrique de ABC par rapport à (d), avec D′ et G′ symétriques de D et G. Ainsi, on utilise les propriétés de conservation.

1. La seule longueur donnée sur la figure est DG = 4 cm : la question porte donc sur le segment [D′G′], symétrique de [DG]. De même, la symétrie axiale conserve les longueurs, donc D′G′ = DG = 4 cm. (De même, D′C′ = DC, mais la longueur DC n’est pas donnée.)

2. La symétrie axiale conserve les aires : le triangle A′B′C′ est superposable à ABC, donc son aire vaut 11,71 cm².

3. L’angle \( \widehat{A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}} \) est le symétrique de \( \widehat{ACB} \), et la symétrie axiale conserve les angles : \( \widehat{A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}} = 27^\circ \).

4. Les droites (DG) et (BC) sont parallèles. Ensuite, leurs symétriques sont (D′G′) et (B′C′). Or la symétrie axiale conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour symétriques deux droites parallèles. Donc (D′G′) et (B′C′) sont parallèles.

1. On construit les symétriques A′, B′, C′ et D′ des points A, B, C et D par rapport à (Δ) (perpendiculaire à (Δ) à l’équerre, puis report de la distance au compas). Puis on trace le triangle A′B′C′, puis les deux demi-cercles de diamètres [A′D′] et [A′C′], du côté opposé à B′ comme sur la figure de départ.

2. [A′B′] est le symétrique de [AB], et la symétrie axiale conserve les longueurs : A′B′ = AB = 3 cm.

3. La symétrie axiale conserve les angles : \( \widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} = \widehat{ABC} = 53^\circ \).

4. La symétrie axiale conserve les aires : l’aire du triangle A′B′C′ est égale à celle de ABC, soit 6 cm².

5. Le triangle ABC est rectangle en A : les droites (AC) et (AB) sont perpendiculaires. De plus, comme la symétrie conserve les angles, l’angle \( \widehat{B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}} \) est droit : (A′C′) et (A′B′) sont perpendiculaires.

On commence par associer chaque point à son symétrique. Par ailleurs, le bec est près de l’axe des deux côtés, la queue loin de l’axe : D a pour symétrique U, E a pour symétrique Q, F a pour symétrique R, G a pour symétrique P, H a pour symétrique Y, A a pour symétrique Z, B a pour symétrique X et C a pour symétrique W.

Ainsi, on lit aussi les codages : [CD] et [AH] ont le même codage (deux traits), donc AH = CD = 1,7 cm ; [HG] et [GF] ont le même codage (un trait), donc GF = HG = 2 cm.

De même, la symétrie axiale conserve les longueurs et les angles, donc :

• a. [PY] est le symétrique de [GH] : PY = GH = 2 cm. L’affirmation est vraie.
• b. [RP] est le symétrique de [FG] : RP = FG = 2 cm, et non 1,7 cm. L’affirmation est fausse.
• c. \( \widehat{XZY} \) est le symétrique de \( \widehat{BAH} \), qui mesure 38° : \( \widehat{XZY} = 38^\circ \), et non 28°. L’affirmation est fausse.
• d. \( \widehat{RPY} \) est le symétrique de \( \widehat{FGH} = 127^\circ \) : \( \widehat{RPY} = 127^\circ \). L’affirmation est vraie.
• e. Le triangle QRU est le symétrique du triangle EFD, qui a un angle droit en F. Donc QRU a un angle droit en R : c’est un triangle rectangle. L’affirmation est vraie.