Équations et inéquations en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

a) \(f(x) = 4x – 3\) s’annule pour \(4x – 3 = 0\), soit \(x = \frac{3}{4}\). Le coefficient \(a = 4\) est positif : \(f(x)\) est négatif avant \(\frac{3}{4}\) et positif après (signe de \(a\) à droite de la racine).

b) \(4x – 3 \gt 0\) correspond à la case « + » du tableau, zéro exclu (inégalité stricte).

a) \(g(x) = -3x – 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{3}\). Ici \(a = -3 \lt 0\) : \(g(x)\) est positif avant \(-\frac{1}{3}\) et négatif après.

b) Oui, c’est possible : \(-0{,}502 \lt -\frac{1}{3}\) (car \(-\frac{1}{3} \approx -0{,}333\)). Le nombre \(-0{,}502\) est dans la zone « + » du tableau, donc \(g(-0{,}502) \gt 0\). (Contrôle : \(g(-0{,}502) = 0{,}506\).)

c) On lit les solutions dans le tableau :

• \(-3x – 1 \leqslant 0\) : zone « − » et zéro inclus, \(S = \left[-\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\) ;
• \(-3x – 1 \gt 0\) : zone « + », zéro exclu, \(S = \left]-\infty\,;\,-\frac{1}{3}\right[\).

1. \(f(x) = -5x + 5\) s’annule en \(x = 1\) et \(a = -5 \lt 0\) : \(f(x) \gt 0\) pour \(x \lt 1\), \(f(x) \lt 0\) pour \(x \gt 1\).
\(g(x) = 5x – 3\) s’annule en \(x = \frac{3}{5} = 0{,}6\) et \(a = 5 \gt 0\) : \(g(x) \lt 0\) pour \(x \lt 0{,}6\), \(g(x) \gt 0\) pour \(x \gt 0{,}6\).

2.

• a) Vrai. \(0{,}982 \lt 1\), donc \(0{,}982\) est dans la zone où \(f(x) \gt 0\).
• b) Vrai. Tout réel \(x \lt 1\) (donc inférieur à 2) a une image positive, par exemple \(f(0) = 5\).
• c) Vrai. Si \(x \leqslant 0\), alors \(x \lt \frac{3}{5}\), donc \(g(x) \lt 0\) (par exemple \(g(0) = -3\)).
• d) Vrai. \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \leqslant 1\) et \(g(x) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant \frac{3}{5}\) : les deux sont positifs pour \(x \in \left[\frac{3}{5}\,;\,1\right]\). Exemple : \(f(0{,}8) = 1\) et \(g(0{,}8) = 1\).

a) Chaque équation est celle d’une droite : \(y = 1 – x\) (pente \(-1\)) et \(y = 2x – 5\) (pente \(2\)). Les pentes sont différentes, donc les droites sont sécantes : elles ont un seul point commun, et le système a un seul couple solution. (Autre justification : \(1 \times (-1) – 1 \times 2 = -3 \neq 0\), les coefficients ne sont pas proportionnels.)

b) On additionne les deux équations membre à membre, ce qui élimine \(y\) :

\[ \begin{aligned} (x + y) + (2x – y) &= 1 + 5 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Puis \(y = 1 – x = 1 – 2 = -1\). Vérification : \(2 + (-1) = 1\) et \(2 \times 2 – (-1) = 5\).

On note \(x\) le nombre de départ et on suit le programme :

\[ \begin{aligned} &x \;\to\; x + 8 \;\to\; 3(x + 8) \;\to\; 3(x + 8) – 24 \;\to\; 3(x + 8) – 24 – x. \end{aligned} \]

On développe et on réduit :

\[ \begin{aligned} 3(x + 8) – 24 – x &= 3x + 24 – 24 – x \\ &= 2x. \end{aligned} \]

Le résultat est toujours le double du nombre de départ. Exemple de contrôle : avec 5, on obtient \(13 \to 39 \to 15 \to 10\), et \(10 = 2 \times 5\).

Notons \(x\) (en cm) le côté des petits triangles, avec \(0 \lt x \lt 3\). Sur chaque côté du grand triangle, on enlève \(x\) à chaque bout : il reste un côté de l’hexagone de longueur \(6 – 2x\). Les trois autres côtés de l’hexagone sont les côtés « intérieurs » des petits triangles, de longueur \(x\).

\[ \begin{aligned} \text{Somme des périmètres des petits triangles} &= 3 \times 3x = 9x \\ \text{Périmètre de cet hexagone} &= 3x + 3(6 – 2x) = 18 – 3x \end{aligned} \]

Égalité des deux : \(9x = 18 – 3x \iff 12x = 18 \iff x = 1{,}5\).

La conjecture n’est donc pas vraie en général : elle n’est vraie que si les petits triangles ont un côté de 1,5 cm. Par exemple, avec \(x = 2\) (hexagone régulier, comme sur la figure de l’énoncé), on trouve 18 cm pour les petits triangles et 12 cm pour l’hexagone.

Avec \(x\) au départ, on obtient \((x – 3)^2 – x^2\). En développant :

\[ (x – 3)^2 – x^2 = x^2 – 6x + 9 – x^2 = -6x + 9. \]

a) Avec \(-4\) : \((-4 – 3)^2 – (-4)^2 = 49 – 16 = \mathbf{33}\) (et \(-6 \times (-4) + 9 = 33\)).

b) On résout \(-6x + 9 = 0 \iff x = \frac{9}{6} = 1{,}5\). Vérification : \((1{,}5 – 3)^2 – 1{,}5^2 = 2{,}25 – 2{,}25 = 0\).

Avec \(x\) au départ :

• programme vert : \(2x + 1\) ;
• programme jaune : \((x + 1)^2 – x^2 = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1\).

a) Les deux expressions sont égales pour tout \(x\) : Joseph a raison. Tester quelques valeurs ne suffirait pas ; c’est le calcul littéral qui le prouve.

b) \(2x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}\). Oui, en choisissant \(-0{,}5\), on obtient 0 avec les deux programmes.

Pour \(x\) films, la formule A coûte \(u = 30 + 1{,}45x\) euros et la formule B coûte \(v = 20 + 1{,}75x\) euros. On compare \(u\) et \(v\) : si \(u \lt v\), c’est A la moins chère.

Pour aller plus loin : \(30 + 1{,}45x \lt 20 + 1{,}75x \iff 10 \lt 0{,}3x \iff x \gt 33{,}3\ldots\) Comme \(x\) est entier, la formule A est moins chère à partir de 34 films ; les deux tarifs ne sont jamais égaux.

Avec \(x\) au départ : programme 1 donne \(4(x – 1)^2 – 1\), programme 2 donne \((2x – 1)(2x – 3)\).

1.

2. a) Conjecture : les deux programmes donnent toujours le même résultat.

b) On développe les deux expressions :

\[ \begin{aligned} 4(x – 1)^2 – 1 &= 4(x^2 – 2x + 1) – 1 = 4x^2 – 8x + 3 \\ (2x – 1)(2x – 3) &= 4x^2 – 6x – 2x + 3 = 4x^2 – 8x + 3 \end{aligned} \]

Les deux expressions sont égales pour tout réel \(x\) : la conjecture est démontrée.