Corrigé des 30 exercices sur la fonction inverse en seconde : solutions détaillées à télécharger en PDF

La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et sur \(]-\infty\,;\,0[\) : sur chacun de ces intervalles, prendre l’inverse renverse l’ordre.

Toutefois, a) \(x \geqslant 100\) : \(x\) est positif, et \(x \geqslant 100 \gt 0\) donne \(\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{100}\). De plus \(\frac{1}{x} \gt 0\).

\[ 0 \lt \frac{1}{x} \leqslant 0{,}01. \]

b) \(-4 \leqslant y \leqslant -2\) : ces nombres sont négatifs, l’inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) :

\[ \frac{1}{-2} \leqslant \frac{1}{y} \leqslant \frac{1}{-4} \quad \text{soit} \quad -\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{y} \leqslant -\frac{1}{4}. \]

On lit sur la courbe : \(\frac{1}{0{,}1} = 10\), \(\frac{1}{0{,}2} = 5\), \(\frac{1}{-0{,}2} = -5\). Sur chaque branche, la courbe descend quand \(x\) augmente.

• a) \(x \geqslant 0{,}1\) : la courbe est entre l’axe des abscisses et la hauteur 10, donc \(0 \lt \frac{1}{x} \leqslant 10\).
• b) \(x \leqslant -0{,}2\) : on est sur la branche de gauche, à gauche de \(-0{,}2\), donc \(-5 \leqslant \frac{1}{x} \lt 0\).
• c) \(0 \lt x \lt 0{,}1\) : la courbe est au-dessus de la hauteur 10, donc \(\frac{1}{x} \gt 10\).
• Également, d) \(0{,}1 \leqslant x \leqslant 0{,}2\) : \(5 \leqslant \frac{1}{x} \leqslant 10\).

a) On écrit 1 avec le dénominateur \(x – 3\) (possible car \(x \neq 3\)) :

\[ \begin{aligned} \frac{x+2}{x-3} – 1 &= \frac{x+2}{x-3} – \frac{x-3}{x-3} \\ &= \frac{x + 2 – (x – 3)}{x-3} \\ &= \frac{5}{x-3}. \end{aligned} \]

b) Le numérateur 5 est toujours positif ; le dénominateur \(x – 3\) est négatif pour \(x \lt 3\), positif pour \(x \gt 3\), et s’annule en 3 (valeur interdite).

1. a) Avec \(R_1 = 10\) et \(R_2 = x\) (\(x \gt 0\)) :

\[ \frac{1}{R_e} = \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{x}{10x} + \frac{10}{10x} = \frac{x + 10}{10x}. \]

En prenant l’inverse des deux membres : \(R_e = \frac{10x}{x + 10}\). (Pour \(x = 0\), la formule donne \(R_e = 0\) : court-circuit.)

b) À la calculatrice, sur \([0\,;\,10]\), la courbe part de l’origine, est croissante et arrive au point \((10\,;\,5)\).

Cependant, 2. a) Graphiquement, la courbe est au-dessus de la droite \(y = 4\) à partir d’environ \(x = 6{,}7\).

b) Algébriquement, pour \(x \in [0\,;\,10]\), \(x + 10 \gt 0\) donc on peut multiplier sans changer le sens :

\[ \frac{10x}{x+10} \gt 4 \iff 10x \gt 4x + 40 \iff 6x \gt 40 \iff x \gt \frac{20}{3}. \]

a) Dans la fenêtre demandée, \(\mathcal{C}_f\) est une hyperbole à deux branches de part et d’autre de la droite \(x = 1\), et \(\mathcal{C}_g\) est la droite \(y = 2x\). En effet, de plus, elles se coupent en \((-0{,}5\,;\,-1)\) et \((2\,;\,4)\).

b) \(\mathcal{C}_f\) est sous la droite (ou la touche) pour \(x\) entre \(-0{,}5\) et 1 (1 exclu) et pour \(x \geqslant 2\). Conjecture : \(S = \left[-\frac{1}{2}\,;\,1\right[ \cup [2\,;\,+\infty[\).

Par ailleurs, c) Le logiciel donne \(f(x) – g(x) = -(x-2)\frac{2x+1}{x-1}\). Ensuite, on étudie le signe de chaque facteur :

\(f(x) \leqslant g(x) \iff f(x) – g(x) \leqslant 0\) : on garde les « − » et les zéros, sans la valeur interdite 1. Par ailleurs, on retrouve \(S = \left[-\frac{1}{2}\,;\,1\right[ \cup [2\,;\,+\infty[\) : la conjecture est démontrée.

Par exemple, a) \(P \times V = 1\) avec \(V \gt 0\) donne \(P = \frac{1}{V}\) : la pression est l’inverse du volume. P est donc donnée par la fonction inverse de V.

b) La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : si \(0{,}5 \leqslant V \leqslant 5\), alors

\[ \frac{1}{5} \leqslant P \leqslant \frac{1}{0{,}5} \quad \text{soit} \quad 0{,}2 \leqslant P \leqslant 2. \]

a) \(N(x\,;\,0)\) avec \(x \gt 0\) : \(ON = x\). M est le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\), donc \(M\left(x\,;\,\frac{1}{x}\right)\) ; M et N ont la même abscisse, donc \(MN = \frac{1}{x}\) (car \(\frac{1}{x} \gt 0\)).

b) Le triangle OMN est rectangle en N :

\[ \mathcal{A}_{OMN} = \frac{ON \times MN}{2} = \frac{x \times \frac{1}{x}}{2} = \frac{1}{2}. \]

a) Sur \(I = ]2\,;\,+\infty[\), \(x – 2 \gt 0\). Puis on multiplie par \(x – 2\) sans changer le sens :

\[ \frac{1}{x-2} \gt 1 \iff 1 \gt x – 2 \iff x \lt 3. \]

Avec \(x \gt 2\) : \(S = ]2\,;\,3[\).

b) Sur \(I = ]-\infty\,;\,-3[\), \(x + 3 \lt 0\). Ensuite, on multiplie par \(x + 3\), négatif, donc on change le sens :

\[ \frac{2}{x+3} \lt -4 \iff 2 \gt -4(x + 3) \iff 2 \gt -4x – 12 \iff 4x \gt -14 \iff x \gt -3{,}5. \]

Avec \(x \lt -3\) : \(S = ]-3{,}5\,;\,-3[\). Contrôle : pour \(x = -3{,}2\), \(\frac{2}{-0{,}2} = -10 \lt -4\).

a) \(2x – 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}\) (− puis +) ; \(3 – x = 0 \iff x = 3\) (+ puis −), et 3 est une valeur interdite.

Ainsi, b) \(\frac{2x-1}{3-x} \lt 0\) : on garde les « − », sans le zéro (inégalité stricte) ni la valeur interdite.

\[ S = \left]-\infty\,;\,\tfrac{1}{2}\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[ \]

c) À la calculatrice, la courbe est sous l’axe des abscisses à gauche de \(\frac{1}{2}\) et à droite de 3 : c’est cohérent.

On étudie le signe du quotient \(\frac{5x+7}{3x-4}\). \(5x + 7 = 0 \iff x = -\frac{7}{5}\) (coefficient 5 positif : − puis +) ; \(3x – 4 = 0 \iff x = \frac{4}{3}\) (− puis +), valeur interdite.

Également, le quotient est strictement positif pour \(x \lt -\frac{7}{5}\) ou \(x \gt \frac{4}{3}\). C’est exactement ce qu’affiche le logiciel : \(\left\{-\frac{7}{5} \gt x,\ x \gt \frac{4}{3}\right\}\).

Toutefois, on a \( AB=AM+MB=2+x \) (en cm), avec \( x\gt 0 \).

Les droites \((MP)\) et \((BC)\) sont parallèles, \(M\) est sur \([AB]\) et \(P\) sur \([AC]\) : d’après le théorème de Thalès,

\[ \frac{MP}{BC}=\frac{AM}{AB}, \quad \text{donc} \quad \frac{MP}{8}=\frac{2}{2+x} \quad \text{et} \quad MP=\frac{16}{x+2}. \]

On résout \( MP\geqslant 6 \) :

\[ \frac{16}{x+2}\geqslant 6 \iff \frac{1}{x+2}\geqslant\frac{6}{16}=\frac{3}{8}. \]

En effet, les nombres \(x+2\) et \( \frac{8}{3} \) sont strictement positifs, et la fonction inverse est décroissante sur \( ]0\,;+\infty[ \) : elle inverse l’ordre. Comme \( \frac{3}{8} \) est l’inverse de \( \frac{8}{3} \) :

\[ \frac{1}{x+2}\geqslant\frac{1}{8/3} \iff x+2\leqslant\frac{8}{3} \iff x\leqslant\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}. \]

Puis, Vérification pour \( x=\frac{2}{3} \) : \( MP=\frac{16}{8/3}=16\times\frac{3}{8}=6 \) cm.

Pour \(x\neq 1\), on transforme l’écriture du quotient :

\[ \frac{x+5}{x-1}=\frac{(x-1)+6}{x-1}=1+\frac{6}{x-1}. \]

Si \( x\gt 2 \), alors \( x-1\gt 1 \gt 0 \). Puis la fonction inverse est décroissante sur \( ]0\,;+\infty[ \), donc :

\[ \frac{1}{x-1}\lt\frac{1}{1}=1, \quad \text{puis} \quad \frac{6}{x-1}\lt 6 \quad \text{et} \quad 1+\frac{6}{x-1}\lt 7. \]

Ainsi, pour tout \(x\gt 2\), \( \frac{x+5}{x-1}\lt 7\lt 10 \). Ainsi, exemple : pour \(x=3\), \( \frac{8}{2}=4 \lt 10 \).

On peut aussi étudier le signe de la différence : \( \frac{x+5}{x-1}-10=\frac{x+5-10(x-1)}{x-1}=\frac{15-9x}{x-1} \). De plus, pour \(x\gt 2\), \( 15-9x\lt 15-18\lt 0 \) et \( x-1\gt 0 \), donc la différence est négative.

1. On calcule quelques points : \( (0{,}25\,;4) \), \( (0{,}5\,;2) \), \( (1\,;1) \), \( (2\,;0{,}5) \), \( (4\,;0{,}25) \) et leurs symétriques par rapport à l’origine, puis on trace l’hyperbole, formée de deux branches (la fonction n’est pas définie en 0).

2. a) On cherche les points de la courbe dont l’ordonnée est strictement comprise entre 0,5 et 2 (entre les deux droites rouges). \( \frac{1}{x}=2 \) pour \( x=0{,}5 \) et \( \frac{1}{x}=0{,}5 \) pour \( x=2 \). Ensuite, ces points ne se trouvent que sur la branche de droite, pour \(x\) entre 0,5 et 2 : \( x\in\left]0{,}5\,;2\right[ \).

Cependant, b) On cherche les points dont l’ordonnée est comprise entre \(-3\) et \(-1\) (droites bleues), bornes comprises. \( \frac{1}{x}=-3 \) pour \( x=-\frac{1}{3} \) et \( \frac{1}{x}=-1 \) pour \( x=-1 \). Par ailleurs, ces points sont sur la branche de gauche : \( x\in\left[-1\,;-\frac{1}{3}\right] \).

On utilise le conseil : on multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine carrée présente au dénominateur.

Donc, a) \[ f\left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

b) \[ f\left(-\sqrt{3}\right)=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \]

c) \[ f\left(2\sqrt{5}\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2\times 5}=\frac{\sqrt{5}}{10}. \]

a. On calcule l’inverse de chaque nombre : par exemple \( \frac{1}{-0{,}25}=-4 \) car \( -0{,}25=-\frac{1}{4} \), et \( \frac{1}{0{,}5}=2 \) car \( 0{,}5=\frac{1}{2} \). Puis pour \(\pm 3\), l’inverse \( \pm\frac{1}{3} \) n’a pas d’écriture décimale exacte (\( \frac{1}{3}\approx 0{,}33 \)).

b. On trace deux axes perpendiculaires qui se coupent en O. Sur l’axe des abscisses, on gradue 1 cm pour 1 unité (de \(-4\) à 4, donc 8 cm) ; sur l’axe des ordonnées, 1 cm pour 0,5 unité, c’est-à-dire 2 cm pour 1 unité (de \(-4\) à 4, donc 16 cm). Ensuite, le repère est orthogonal mais pas orthonormé.

c. On place les 12 points \( \left(x\,;\frac{1}{x}\right) \) du tableau, puis on les relie par une courbe « arrondie » (pas de segments), sans jamais traverser l’axe des ordonnées : la courbe a deux branches. Puis le dessin ci-dessous est réduit, mais les proportions entre les axes sont du même type.

Puis, a. L’image de \(x\) par la fonction inverse est \( \frac{1}{x} \). De plus, l’inverse d’une fraction \( \frac{a}{b} \) est \( \frac{b}{a} \) (même signe).

• \( f(-4)=-\frac{1}{4} \) ; \( f(-2)=-\frac{1}{2} \) ; \( f(5)=\frac{1}{5} \) ;
• \( f\left(\frac{1}{4}\right)=4 \) ; \( f\left(\frac{5}{9}\right)=\frac{9}{5} \) ; \( f\left(-\frac{3}{7}\right)=-\frac{7}{3} \) ; \( f\left(-\frac{7}{6}\right)=-\frac{6}{7} \).

b. Un antécédent de \(k\) est un nombre \(x\) tel que \( \frac{1}{x}=k \). Ensuite, pour \(k\neq 0\), il y en a un seul : \( x=\frac{1}{k} \) (l’inverse de l’inverse de \(x\) est \(x\)).

• Enfin, antécédent de 9 : \( \frac{1}{9} \) ; de 2 : \( \frac{1}{2} \) ; de \(-7\) : \( -\frac{1}{7} \) ; de 8 : \( \frac{1}{8} \) ;
• antécédent de 3 : \( \frac{1}{3} \) ; de \( \frac{4}{5} \) : \( \frac{5}{4} \) ; de \( -\frac{7}{3} \) : \( -\frac{3}{7} \).

a. Fausse. \( \frac{3}{4}\lt 1 \) et \( \frac{7}{3}\gt 1 \), donc \( \frac{3}{4}\lt\frac{7}{3} \).

b. Ensuite, vraie. Au même dénominateur 35 : \( \frac{6}{5}=\frac{42}{35} \) et \( \frac{9}{7}=\frac{45}{35} \). Comme \( 42\lt 45 \), on a bien \( \frac{6}{5}\lt\frac{9}{7} \).

c. Vraie. Au même dénominateur 63 : \( -\frac{3}{7}=-\frac{27}{63} \) et \( -\frac{2}{9}=-\frac{14}{63} \). Enfin, comme \( -27\lt -14 \), on a \( -\frac{3}{7}\lt -\frac{2}{9} \).

d. Fausse. L’inverse de \( \frac{3}{5} \) est \( \frac{5}{3} \), et l’inverse de \( \frac{5}{3} \) est \( \frac{3}{5} \). Par ailleurs, l’inverse de l’inverse d’un nombre non nul est ce nombre lui-même : ici \( \frac{3}{5} \), pas \( \frac{5}{3} \).

Puis, la fonction inverse est décroissante sur \( ]-\infty\,;0[ \) et décroissante sur \( ]0\,;+\infty[ \) : sur chacun de ces intervalles, elle change l’ordre. Attention, on ne peut appliquer cette règle qu’à deux nombres de même signe.

a. \( 0\lt 2{,}1\lt 3{,}4 \), donc \( f(2{,}1)\gt f(3{,}4) \).

b. \( -4{,}7\lt -3{,}2\lt 0 \), donc \( f(-4{,}7)\gt f(-3{,}2) \).

c. \( 0\lt\frac{3}{4}\lt\frac{7}{4} \), donc \( f\left(\frac{3}{4}\right)\gt f\left(\frac{7}{4}\right) \).

d. \( \frac{1}{4}+\frac{3}{2} \) est une somme de deux positifs, donc un nombre positif, et son inverse est positif. \( -1+\frac{2}{3} \) est négatif (car \( \frac{2}{3}\lt 1 \)), et son inverse est négatif. Puis un positif est plus grand qu’un négatif : \( f\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right)\gt f\left(-1+\frac{2}{3}\right) \).

a. Avec 3 : l’inverse est \( \frac{1}{3} \) ; multiplié par \(-5\) : \( -\frac{5}{3} \) ; on soustrait 4 :

Enfin, \[ -\frac{5}{3}-4=-\frac{5}{3}-\frac{12}{3}=-\frac{17}{3}. \]

On obtient \( -\frac{17}{3} \) (environ \(-5{,}67\)).

b. En partant de \(x\) (non nul, car 0 n’a pas d’inverse) : \( x\to\frac{1}{x}\to-\frac{5}{x}\to-\frac{5}{x}-4 \). Donc

\[ f(x)=-\frac{5}{x}-4, \qquad x\in\mathbb{R}^*. \]

c. Un algorithme possible (en langage naturel, puis en Python) :

• Cependant, entrée : saisir X (non nul)
• Traitement : Y ← −5/X − 4
• Sortie : afficher Y

En Python : x = float(input(« x = « )), puis y = -5/x – 4, puis print(y).

d. Seule la ligne de calcul (Traitement) change : on la remplace par Y ← −6*(−8/X + 23), soit en Python y = -6*(-8/x + 23). Ensuite, les lignes d’entrée et de sortie restent les mêmes.

En effet, pour \( k\neq 0 \), l’équation \( \frac{1}{x}=k \) a une unique solution dans \( \mathbb{R}^* \) : \( x=\frac{1}{k} \).

a. \( \frac{1}{x}=9 \iff x=\frac{1}{9} \).

b. \( \frac{1}{x}=-\frac{1}{4} \iff x=-4 \).

c. \( \frac{1}{x}=\frac{6}{11} \iff x=\frac{11}{6} \).

d. \( \frac{1}{x}=-5 \iff x=-\frac{1}{5} \).

e. \( \frac{1}{x}+\frac{8}{7}=0 \iff \frac{1}{x}=-\frac{8}{7} \iff x=-\frac{7}{8} \).

Toutefois, f. \( \frac{1}{x}-\frac{4}{7}=0 \iff \frac{1}{x}=\frac{4}{7} \iff x=\frac{7}{4} \).

a. La courbe de \(f\) est l’hyperbole d’équation \( y=\frac{1}{x} \) ; celle de \(g\) est la droite d’équation \( y=x \), qui passe par l’origine.

b. Un nombre égal à son inverse vérifie \( x=\frac{1}{x} \), c’est-à-dire \( g(x)=f(x) \) : ce sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes. Notamment, sur le graphique, on lit deux points : \( (1\,;1) \) et \( (-1\,;-1) \).

Vérification par le calcul : pour \(x\neq 0\), \( x=\frac{1}{x}\iff x^2=1\iff x=1 \text{ ou } x=-1 \). Puis en effet, \( \frac{1}{1}=1 \) et \( \frac{1}{-1}=-1 \).

Car 1. On trace l’hyperbole \(\mathscr{H}\) et la droite horizontale \(\mathscr{D}\) d’équation \( y=4 \).

2. Un point d’intersection vérifie \( \frac{1}{x}=4 \), donc \( x=\frac{1}{4}=0{,}25 \). De plus, il n’y a qu’un seul point d’intersection : \( I\left(\frac{1}{4}\,;4\right) \). (La branche de gauche, où \( \frac{1}{x}\lt 0 \), ne rencontre pas la droite.)

3. \( f(x)\geqslant 4 \) signifie que le point de \(\mathscr{H}\) d’abscisse \(x\) est au-dessus de la droite \(\mathscr{D}\) (ou dessus). Car sur le graphique, c’est le cas pour les \(x\) entre 0 (exclu) et \( \frac{1}{4} \) (inclus). Donc \( S=\left]0\,;\frac{1}{4}\right] \).

4. Même méthode sur \( [-4\,;0[\,\cup\,]0\,;4] \) : on trace la droite horizontale correspondante, on cherche l’abscisse du point d’intersection (\( \frac{1}{x}=k \iff x=\frac{1}{k} \)), puis on lit où la courbe est au-dessus ou en dessous.

• a. \( f(x)\gt -2 \) : sur \( ]0\,;4] \), \( f(x)\gt 0\gt -2 \), toujours vrai. Sur \( [-4\,;0[ \), la courbe coupe \( y=-2 \) en \( x=-\frac{1}{2} \) et est au-dessus à gauche de ce point. \( S=\left[-4\,;-\frac{1}{2}\right[\,\cup\,]0\,;4] \).
• Alors, b. \( f(x)\leqslant 4 \) : sur \( [-4\,;0[ \), \( f(x)\lt 0\lt 4 \), toujours vrai. Sur \( ]0\,;4] \), vrai pour \( x\geqslant\frac{1}{4} \). \( S=[-4\,;0[\,\cup\left[\frac{1}{4}\,;4\right] \).
• c. \( f(x)\geqslant\frac{1}{6} \) : impossible sur \( [-4\,;0[ \) (\(f(x)\lt 0\)). Sur \( ]0\,;4] \), \( f(x)\geqslant\frac{1}{6}\iff x\leqslant 6 \), toujours vrai car \( x\leqslant 4 \). \( S=]0\,;4] \).
• Notamment, d. \( f(x)\lt 5 \) : toujours vrai sur \( [-4\,;0[ \). Sur \( ]0\,;4] \), vrai pour \( x\gt\frac{1}{5} \). \( S=[-4\,;0[\,\cup\left]\frac{1}{5}\,;4\right] \).

Méthode : on sépare les cas \(x\gt 0\) et \(x\lt 0\), car \( \frac{1}{x} \) a le signe de \(x\), et la fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles.

a. \( f(x)\gt\frac{1}{3} \) : il faut \( \frac{1}{x}\gt 0 \), donc \(x\gt 0\) ; alors \( \frac{1}{x}\gt\frac{1}{3}\iff x\lt 3 \). \( S=]0\,;3[ \).

b. \( f(x)\geqslant 0{,}25=\frac{1}{4} \) : il faut \(x\gt 0\), et alors \( x\leqslant 4 \). \( S=]0\,;4] \).

c. \( f(x)\lt -4 \) : il faut \(x\lt 0\) ; \( -4=\frac{1}{-1/4} \) et la fonction est décroissante sur \( ]-\infty\,;0[ \), donc \( \frac{1}{x}\lt\frac{1}{-1/4}\iff x\gt -\frac{1}{4} \). \( S=\left]-\frac{1}{4}\,;0\right[ \).

Donc, d. \( f(x)\gt 9 \) : \(x\gt 0\) et \( x\lt\frac{1}{9} \). \( S=\left]0\,;\frac{1}{9}\right[ \).

e. \( f(x)\geqslant -1 \) : pour \(x\gt 0\), \( \frac{1}{x}\gt 0\gt -1 \), toujours vrai ; pour \(x\lt 0\), \( \frac{1}{x}\geqslant\frac{1}{-1}\iff x\leqslant -1 \). \( S=]-\infty\,;-1]\,\cup\,]0\,;+\infty[ \).

f. (le second « d. » de l’énoncé) \( f(x)\lt 2 \) : pour \(x\lt 0\), \( \frac{1}{x}\lt 0\lt 2 \), toujours vrai ; pour \(x\gt 0\), \( \frac{1}{x}\lt\frac{1}{1/2}\iff x\gt\frac{1}{2} \). \( S=]-\infty\,;0[\,\cup\left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[ \).

1. a. On suit les étapes avec \(X=x\) : \( Y=3-x \), puis \( Z=\frac{1}{3-x} \), puis \( W=\frac{1}{3-x}+4 \).

\[ f(x)=\frac{1}{3-x}+4, \qquad \text{définie pour } x\neq 3. \]

b. \( Y=3+2x \), puis \( Z=\sqrt{3+2x} \), puis \( W=\sqrt{3+2x}-1 \).

\[ g(x)=\sqrt{3+2x}-1, \qquad \text{définie pour } 3+2x\geqslant 0, \text{ soit } x\geqslant -\frac{3}{2}. \]

Cependant, 2. Pour la fonction du a. :

\[ f(5)=\frac{1}{3-5}+4=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}=3{,}5 \qquad f(-1)=\frac{1}{3+1}+4=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}=4{,}25. \]

Pour la fonction du b. :

Cependant, \[ g(5)=\sqrt{3+10}-1=\sqrt{13}-1\approx 2{,}61 \qquad g(-1)=\sqrt{3-2}-1=\sqrt{1}-1=0. \]

a.

\[ i(3+4)=i(7)=\frac{1}{7} \qquad \text{et} \qquad i(3)+i(4)=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}. \]

b. Avec \(x=3\) et \(y=4\), la question a. montre que \( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12} \) alors que \( \frac{1}{3+4}=\frac{1}{7} \), et \( \frac{7}{12}\neq\frac{1}{7} \). Ensuite, ce contre-exemple suffit : l’égalité n’est pas vraie pour tous les réels \(x\) et \(y\) non nuls. Par ailleurs, en général, \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy} \).

« Quel que soit » signifie que la propriété est vraie pour tous les \(x\) de l’intervalle ; « pour un certain » signifie qu’elle est vraie pour au moins un \(x\), mais pas forcément pour tous.

a. Si \( 0\lt x\leqslant 5 \), la fonction inverse étant décroissante sur \( ]0\,;+\infty[ \), \( \frac{1}{x}\geqslant\frac{1}{5} \). C’est vrai pour tous : Quel que soit \( x\in\,]0\,;5] \), \( f(x)\in\left[\frac{1}{5}\,;+\infty\right[ \).

b. \( f(x)=-2 \) seulement pour \( x=-\frac{1}{2} \), qui est bien dans \( [-3\,;0[ \) : Pour un certain \( x\in[-3\,;0[ \), \( f(x)=-2 \).

c. L’inverse d’un nombre strictement positif est strictement positif : Quel que soit \( x\in\,]0\,;+\infty[ \), \( f(x)\gt 0 \).

Puis, d. Pour \(x=1\), \( f(1)=1\gt\frac{1}{2} \) : ce n’est pas vrai pour tous. Mais pour \(x=-1\), \( f(-1)=-1\leqslant\frac{1}{2} \) (et c’est aussi vrai pour \(x=2\)) : Pour un certain \( x\in[-8\,;0[\,\cup\,]0\,;2] \), \( f(x)\leqslant\frac{1}{2} \).

Dans chaque cas, on isole \( \frac{1}{x} \) (ou un multiple de \( \frac{1}{x} \)), puis on utilise \( \frac{1}{x}=k\iff x=\frac{1}{k} \) pour \(k\neq 0\). Puis on travaille dans \( \mathbb{R}^* \).

Première série

• a. \( \frac{1}{x}+4=3\iff\frac{1}{x}=-1\iff x=-1 \).
• En effet, b. \( 5-\frac{1}{x}=9\iff -\frac{1}{x}=4\iff\frac{1}{x}=-4\iff x=-\frac{1}{4} \).
• c. \( \frac{4}{x}=1\iff 4=x \) (en multipliant par \(x\neq 0\)), donc \( x=4 \).
• d. \( \frac{1}{x}+\frac{4}{5}=6\iff\frac{1}{x}=6-\frac{4}{5}=\frac{26}{5}\iff x=\frac{5}{26} \).

Deuxième série

• a. \( \frac{3}{x}-4=\frac{8}{x}+6\iff\frac{3}{x}-\frac{8}{x}=6+4\iff -\frac{5}{x}=10\iff\frac{1}{x}=-2\iff x=-\frac{1}{2} \).
• Par ailleurs, b. \( 5-\frac{9}{x}=7\iff -\frac{9}{x}=2\iff\frac{1}{x}=-\frac{2}{9}\iff x=-\frac{9}{2} \).
• c. \( 6x+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}+6x-4\iff\frac{3}{x}-\frac{5}{x}=-4\iff -\frac{2}{x}=-4\iff\frac{1}{x}=2\iff x=\frac{1}{2} \).
• d. \( \frac{3}{4}+\frac{5}{x}=\frac{7}{5}-\frac{3}{x}\iff\frac{8}{x}=\frac{7}{5}-\frac{3}{4}=\frac{28-15}{20}=\frac{13}{20}\iff\frac{1}{x}=\frac{13}{160}\iff x=\frac{160}{13} \).

a. L’ensemble de définition \( \mathbb{R}^* \) est symétrique par rapport à 0 : si \(x\neq 0\), alors \(-x\neq 0\). Et pour tout \(x\neq 0\) :

\[ f(-x)=\frac{a}{-x}=-\frac{a}{x}=-f(x). \]

Donc \(f\) est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

b. \( f(-2)=\frac{a}{-2}=\frac{1}{4} \iff a=-2\times\frac{1}{4}=-\frac{1}{2} \). Donc, pour tout \(x\neq 0\) :

\[ f(x)=\frac{-1/2}{x}=-\frac{1}{2x}. \]

Donc, c. À la calculatrice, on entre \( Y_1=-1/(2X) \). Ensuite, on obtient une hyperbole dont les branches sont dans le quart en haut à gauche et le quart en bas à droite (car \(a\lt 0\)).

1. \(f\) est définie sur \( \mathbb{R} \), symétrique par rapport à 0, et pour tout réel \(x\), \( (-x)^2=x^2 \), donc

\[ f(-x)=\frac{5}{(-x)^2+1}=\frac{5}{x^2+1}=f(x). \]

\(f\) est paire : \(\mathscr{C}\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2. \( f(0)=\frac{5}{1}=5 \) ; \( f(1)=\frac{5}{2}=2{,}5 \) ; \( f(2)=\frac{5}{5}=1 \) ; \( f(3)=\frac{5}{10}=0{,}5 \).

a. Pour tout réel \(x\), \( x^2\geqslant 0 \), donc \( x^2+1\geqslant 1\gt 0 \). Puis le quotient de 5 (positif) par un nombre strictement positif est strictement positif : \( f(x)\gt 0 \).

b. \( x^2+1\geqslant 1\gt 0 \) et la fonction inverse est décroissante sur \( ]0\,;+\infty[ \), donc \( \frac{1}{x^2+1}\leqslant\frac{1}{1}=1 \). Par exemple, de plus, en multipliant par \(5\gt 0\) : \( f(x)\leqslant 5 \).

c. Pour tout \(x\), \( 0\lt f(x)\leqslant 5 \) : chaque point de \(\mathscr{C}\) a une ordonnée comprise entre celle de l’axe des abscisses (\(y=0\)) et celle de la droite \(D\) (\(y=5\)). Ensuite, la courbe est donc entre l’axe des abscisses et la droite \(D\) (elle touche \(D\) au point \( (0\,;5) \)).

3. Un point de \(\mathscr{C}\) est en dessous de \(\Delta\) lorsque \( f(x)\lt\frac{1}{10} \) :

\[ \frac{5}{x^2+1}\lt\frac{1}{10}\iff 50\lt x^2+1\iff x^2\gt 49\iff x\lt -7 \text{ ou } x\gt 7 \]

Car (on a multiplié par \( 10(x^2+1)\gt 0 \)). Par ailleurs, les points de \(\mathscr{C}\) situés en dessous de \(\Delta\) sont ceux dont l’abscisse appartient à \( ]-\infty\,;-7[\,\cup\,]7\,;+\infty[ \).

4. La partie de \(\mathscr{C}\) au-dessus de \(\Delta\) correspond donc à \( x\in\,]-7\,;7[ \). Puis on la trace avec le tableau de valeurs et la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (points \( (\pm 1\,;2{,}5) \), \( (\pm 2\,;1) \), \( (\pm 3\,;0{,}5) \)…).

1. \(f\) est définie sur \( \mathbb{R} \) (car \( x^2+1\gt 0 \)), symétrique par rapport à 0, et

\[ f(-x)=\frac{2(-x)}{(-x)^2+1}=\frac{-2x}{x^2+1}=-f(x). \]

\(f\) est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

2. \( f(0)=\frac{0}{1}=0 \) et \( f(1)=\frac{2}{2}=1 \).

a. On met au même dénominateur et on reconnaît une identité remarquable :

\[ 1-f(x)=\frac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}. \]

Un carré est positif ou nul et \( x^2+1\gt 0 \), donc \( 1-f(x)\geqslant 0 \) pour tout \(x\) (nul seulement pour \(x=1\)).

b. De même :

\[ 1+f(x)=\frac{x^2+1+2x}{x^2+1}=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geqslant 0 \]

Ensuite, pour tout \(x\) (nul seulement pour \(x=-1\)).

3. On a donc \( f(x)\leqslant 1 \) et \( f(x)\geqslant -1 \), soit \( -1\leqslant f(x)\leqslant 1 \) pour tout réel \(x\) : \(\mathscr{C}_f\) est située entre les droites d’équations \(y=-1\) et \(y=1\) (elle les touche en \( (-1\,;-1) \) et \( (1\,;1) \)).

4. On calcule quelques valeurs et on utilise la symétrie par rapport à l’origine : \( f(2)=\frac{4}{5}=0{,}8 \), \( f(3)=\frac{6}{10}=0{,}6 \), \( f(0{,}5)=\frac{1}{1{,}25}=0{,}8 \), \( f(-2)=-0{,}8 \), \( f(-3)=-0{,}6 \).

5. a. Graphiquement (ou avec la table de la calculatrice), la droite \(D\) coupe \(\mathscr{C}^{\prime}\) en un seul point \(A\), d’abscisse environ 0,27 : \( A(0{,}27\,;0{,}5) \) environ.

b. \( (x-2)^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1 \).

c. \(A\) vérifie \( f(x)=\frac{1}{2} \). Ensuite, en multipliant par \( 2(x^2+1)\gt 0 \) :

\[ \frac{2x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\iff 4x=x^2+1\iff x^2-4x+1=0\iff (x-2)^2=3. \]

Donc \( x-2=\sqrt{3} \) ou \( x-2=-\sqrt{3} \), soit \( x=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73 \) ou \( x=2-\sqrt{3}\approx 0{,}27 \). De même, seule la seconde valeur est dans \( [-3\,;3] \) : \( A\left(2-\sqrt{3}\,;\frac{1}{2}\right) \).

6. a. De la même façon, sur \( [-3\,;3] \) :

\[ f(x)\leqslant\frac{1}{2}\iff 4x\leqslant x^2+1\iff x^2-4x+1\geqslant 0\iff (x-2)^2\geqslant 3. \]

Or \( (x-2)^2\geqslant 3 \iff x-2\leqslant -\sqrt{3} \) ou \( x-2\geqslant\sqrt{3} \), c’est-à-dire \( x\leqslant 2-\sqrt{3} \) ou \( x\geqslant 2+\sqrt{3} \). En effet, comme \( 2+\sqrt{3}\gt 3 \), il reste sur \( [-3\,;3] \) : \( S=\left[-3\,;2-\sqrt{3}\right] \).

b. \(\mathscr{C}^{\prime}\) est au-dessous de \(D\) exactement lorsque \( f(x)\leqslant\frac{1}{2} \) : sur l’intervalle \( \left[-3\,;2-\sqrt{3}\right] \) (strictement en dessous sur \( \left[-3\,;2-\sqrt{3}\right[ \), la courbe touchant \(D\) en \(A\)).