La fonction inverse en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et sur \(]-\infty\,;\,0[\) : sur chacun de ces intervalles, prendre l’inverse renverse l’ordre.

a) \(x \geqslant 100\) : \(x\) est positif, et \(x \geqslant 100 \gt 0\) donne \(\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{100}\). De plus \(\frac{1}{x} \gt 0\).

\[ 0 \lt \frac{1}{x} \leqslant 0{,}01. \]

b) \(-4 \leqslant y \leqslant -2\) : ces nombres sont négatifs, l’inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) :

\[ \frac{1}{-2} \leqslant \frac{1}{y} \leqslant \frac{1}{-4} \quad \text{soit} \quad -\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{y} \leqslant -\frac{1}{4}. \]

On lit sur la courbe : \(\frac{1}{0{,}1} = 10\), \(\frac{1}{0{,}2} = 5\), \(\frac{1}{-0{,}2} = -5\). Sur chaque branche, la courbe descend quand \(x\) augmente.

• a) \(x \geqslant 0{,}1\) : la courbe est entre l’axe des abscisses et la hauteur 10, donc \(0 \lt \frac{1}{x} \leqslant 10\).
• b) \(x \leqslant -0{,}2\) : on est sur la branche de gauche, à gauche de \(-0{,}2\), donc \(-5 \leqslant \frac{1}{x} \lt 0\).
• c) \(0 \lt x \lt 0{,}1\) : la courbe est au-dessus de la hauteur 10, donc \(\frac{1}{x} \gt 10\).
• d) \(0{,}1 \leqslant x \leqslant 0{,}2\) : \(5 \leqslant \frac{1}{x} \leqslant 10\).

a) On écrit 1 avec le dénominateur \(x – 3\) (possible car \(x \neq 3\)) :

\[ \begin{aligned} \frac{x+2}{x-3} – 1 &= \frac{x+2}{x-3} – \frac{x-3}{x-3} \\ &= \frac{x + 2 – (x – 3)}{x-3} \\ &= \frac{5}{x-3}. \end{aligned} \]

b) Le numérateur 5 est toujours positif ; le dénominateur \(x – 3\) est négatif pour \(x \lt 3\), positif pour \(x \gt 3\), et s’annule en 3 (valeur interdite).

1. a) Avec \(R_1 = 10\) et \(R_2 = x\) (\(x \gt 0\)) :

\[ \frac{1}{R_e} = \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{x}{10x} + \frac{10}{10x} = \frac{x + 10}{10x}. \]

En prenant l’inverse des deux membres : \(R_e = \frac{10x}{x + 10}\). (Pour \(x = 0\), la formule donne \(R_e = 0\) : court-circuit.)

b) À la calculatrice, sur \([0\,;\,10]\), la courbe part de l’origine, est croissante et arrive au point \((10\,;\,5)\).

2. a) Graphiquement, la courbe est au-dessus de la droite \(y = 4\) à partir d’environ \(x = 6{,}7\).

b) Algébriquement, pour \(x \in [0\,;\,10]\), \(x + 10 \gt 0\) donc on peut multiplier sans changer le sens :

\[ \frac{10x}{x+10} \gt 4 \iff 10x \gt 4x + 40 \iff 6x \gt 40 \iff x \gt \frac{20}{3}. \]

a) Dans la fenêtre demandée, \(\mathcal{C}_f\) est une hyperbole à deux branches de part et d’autre de la droite \(x = 1\), et \(\mathcal{C}_g\) est la droite \(y = 2x\). Elles se coupent en \((-0{,}5\,;\,-1)\) et \((2\,;\,4)\).

b) \(\mathcal{C}_f\) est sous la droite (ou la touche) pour \(x\) entre \(-0{,}5\) et 1 (1 exclu) et pour \(x \geqslant 2\). Conjecture : \(S = \left[-\frac{1}{2}\,;\,1\right[ \cup [2\,;\,+\infty[\).

c) Le logiciel donne \(f(x) – g(x) = -(x-2)\frac{2x+1}{x-1}\). On étudie le signe de chaque facteur :

\(f(x) \leqslant g(x) \iff f(x) – g(x) \leqslant 0\) : on garde les « − » et les zéros, sans la valeur interdite 1. On retrouve \(S = \left[-\frac{1}{2}\,;\,1\right[ \cup [2\,;\,+\infty[\) : la conjecture est démontrée.

a) \(P \times V = 1\) avec \(V \gt 0\) donne \(P = \frac{1}{V}\) : la pression est l’inverse du volume. P est donc donnée par la fonction inverse de V.

b) La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : si \(0{,}5 \leqslant V \leqslant 5\), alors

\[ \frac{1}{5} \leqslant P \leqslant \frac{1}{0{,}5} \quad \text{soit} \quad 0{,}2 \leqslant P \leqslant 2. \]

a) \(N(x\,;\,0)\) avec \(x \gt 0\) : \(ON = x\). M est le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\), donc \(M\left(x\,;\,\frac{1}{x}\right)\) ; M et N ont la même abscisse, donc \(MN = \frac{1}{x}\) (car \(\frac{1}{x} \gt 0\)).

b) Le triangle OMN est rectangle en N :

\[ \mathcal{A}_{OMN} = \frac{ON \times MN}{2} = \frac{x \times \frac{1}{x}}{2} = \frac{1}{2}. \]

a) Sur \(I = ]2\,;\,+\infty[\), \(x – 2 \gt 0\). On multiplie par \(x – 2\) sans changer le sens :

\[ \frac{1}{x-2} \gt 1 \iff 1 \gt x – 2 \iff x \lt 3. \]

Avec \(x \gt 2\) : \(S = ]2\,;\,3[\).

b) Sur \(I = ]-\infty\,;\,-3[\), \(x + 3 \lt 0\). On multiplie par \(x + 3\), négatif, donc on change le sens :

\[ \frac{2}{x+3} \lt -4 \iff 2 \gt -4(x + 3) \iff 2 \gt -4x – 12 \iff 4x \gt -14 \iff x \gt -3{,}5. \]

Avec \(x \lt -3\) : \(S = ]-3{,}5\,;\,-3[\). Contrôle : pour \(x = -3{,}2\), \(\frac{2}{-0{,}2} = -10 \lt -4\).

a) \(2x – 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}\) (− puis +) ; \(3 – x = 0 \iff x = 3\) (+ puis −), et 3 est une valeur interdite.

b) \(\frac{2x-1}{3-x} \lt 0\) : on garde les « − », sans le zéro (inégalité stricte) ni la valeur interdite.

\[ S = \left]-\infty\,;\,\tfrac{1}{2}\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[ \]

c) À la calculatrice, la courbe est sous l’axe des abscisses à gauche de \(\frac{1}{2}\) et à droite de 3 : c’est cohérent.

On étudie le signe du quotient \(\frac{5x+7}{3x-4}\). \(5x + 7 = 0 \iff x = -\frac{7}{5}\) (coefficient 5 positif : − puis +) ; \(3x – 4 = 0 \iff x = \frac{4}{3}\) (− puis +), valeur interdite.

Le quotient est strictement positif pour \(x \lt -\frac{7}{5}\) ou \(x \gt \frac{4}{3}\). C’est exactement ce qu’affiche le logiciel : \(\left\{-\frac{7}{5} \gt x,\ x \gt \frac{4}{3}\right\}\).