Les vecteurs en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

a) Pour construire \(D\) tel que \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{BI}\), on part de \(J\) et on reproduit le déplacement qui va de \(B\) à \(I\) : \(D\) est le quatrième sommet du parallélogramme \(BIDJ\) (on trace la parallèle à \((AB)\) passant par \(J\) et on reporte la longueur \(BI\) dans le même sens).

b) \(E\) est le symétrique de \(J\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([JE]\). \(F\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([DF]\).

Les diagonales \([JE]\) et \([DF]\) du quadrilatère \(JDEF\) ont le même milieu \(C\), donc \(JDEF\) est un parallélogramme. On en déduit \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{FE}\).

Or \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{BI}\) par construction. Donc \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{FE}\), ce qui signifie que \(BIEF\) est un parallélogramme.

a) \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}\) : \(A\) est le milieu de \([EB]\), on place \(E\) sur la demi-droite \([BA)\) au-delà de \(A\). \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\) : \(B\) est le milieu de \([AD]\). \(C\) milieu de \([AG]\) : \(G\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(C\). \(C\) milieu de \([BF]\) : \(F\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(C\).

b) Les diagonales \([AG]\) et \([BF]\) du quadrilatère \(ABGF\) ont le même milieu \(C\) : \(ABGF\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FG}\).

Comme \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{FG}\), donc \(EAGF\) est un parallélogramme et ses côtés opposés vérifient \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{EF}\).

Deux vecteurs égaux ont la même direction : les droites \((AG)\) et \((EF)\) sont parallèles.

c) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FG}\), donc \(BDGF\) est un parallélogramme et \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DG}\) : les droites \((BF)\) et \((DG)\) sont parallèles.

d) \(ABGF\) est un parallélogramme (question b), donc \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BG}\) : les droites \((AF)\) et \((BG)\) sont parallèles.

a) \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

\(I\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\) : \(A\) est le milieu de \([IB]\), donc \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{AB}\).

\(J\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([DJ]\), donc \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CJ}\).

On obtient la chaîne d’égalités : \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CJ}\) (et aussi \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DJ}\)).

b) De \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{CJ}\), on déduit \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JC}\) (vecteurs opposés de deux vecteurs égaux). Or \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JC}\) signifie que \(AICJ\) est un parallélogramme.

Dans le repère \((O,I,J)\), une unité vaut un carreau. On lit \(A(-2\,;3)\) et \(D(3\,;2)\). Alors :

\[ \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D-x_A \\ y_D-y_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-(-2) \\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \]

On le vérifie en comptant les carreaux : pour aller de \(A\) à \(D\), on avance de 5 vers la droite et on descend de 1. La réponse b oublie le signe, les réponses c et d correspondent à d’autres déplacements.

Les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\) s’obtiennent par « extrémité moins origine », ici \(A\) moins \(B\) :

\[ \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} x_A-x_B \\ y_A-y_B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-2 \\ -2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix} \]

La réponse a donne les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) (opposé), c’est le piège classique.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction (droites support parallèles), quel que soit leur sens.

• a. \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{GH}\) : les deux flèches descendent légèrement vers la droite avec quasiment la même pente, elles semblent colinéaires.
• b. \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{KL}\) : les deux sont verticaux, de sens contraires. Ils sont colinéaires.
• c. \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) (noté « RD » sur l’énoncé) : l’un est presque horizontal, l’autre très incliné ; ils ne sont pas colinéaires.
• d. \(\overrightarrow{MN}\) monte fortement alors que \(\overrightarrow{GH}\) descend légèrement : pas colinéaires.

Deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \(xy^{\prime}-yx^{\prime}\) est nul.

\[ \det(\vec{u},\vec{v})=3\times y-(-2)\times4{,}5=3y+9 \]
\[ 3y+9=0 \iff y=-3 \]

Vérification : \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ -3 \end{pmatrix}=1{,}5\,\vec{u}\), les coordonnées sont bien proportionnelles.

On utilise la relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) et le fait que \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\). Il faut souvent réordonner les termes pour que l’extrémité de l’un soit l’origine du suivant.

Première série

\[ \begin{aligned} &1)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA} \\ &2)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BD}+\vec{0}=\overrightarrow{BD} \\ &3)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BB}=\vec{0} \\ &4)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD} \\ &5)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BD} \\ &6)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

Deuxième série

\[ \begin{aligned} &1)\ \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DB} \\ &2)\ \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DB} \\ &3)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0} \\ &4)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB} \\ &5)\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{EM}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EE}=\vec{0} \\ &6)\ -\overrightarrow{AU}+\overrightarrow{SH}-\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{MU}=\overrightarrow{TS}+\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{MU}+\overrightarrow{UA}=\overrightarrow{TH}+\overrightarrow{MA} \end{aligned} \]

Dans le dernier calcul, les deux vecteurs restants n’ont aucune lettre commune « bout à bout » : \(\overrightarrow{TH}+\overrightarrow{MA}\) est l’écriture la plus simple.

On multiplie chaque coordonnée par le réel, puis on soustrait coordonnée par coordonnée :

\[ 3\vec{u}\begin{pmatrix} 3\times(-5) \\ 3\times8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -15 \\ 24 \end{pmatrix} \qquad 2\vec{v}\begin{pmatrix} 2\times3 \\ 2\times5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix} \]
\[ 3\vec{u}-2\vec{v}\begin{pmatrix} -15-6 \\ 24-10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -21 \\ 14 \end{pmatrix} \]

Attention : aucune des quatre propositions ne donne exactement ce résultat. La réponse d \(\begin{pmatrix} -21 \\ -14 \end{pmatrix}\) a la bonne abscisse mais une ordonnée de signe contraire (il s’agit sans doute d’une coquille de l’énoncé) ; la réponse b n’est que \(3\vec{u}\), et les réponses a et c ne correspondent à aucun calcul correct.

\(ABCD\) est un parallélogramme : ses côtés opposés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens quand on va de \(A\) vers \(B\) et de \(D\) vers \(C\). Donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et, de même, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

• a. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) est faux : ces vecteurs sont opposés.
• b. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : vrai.
• c. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\) est faux : ce sont les diagonales, elles n’ont pas la même direction.
• d. \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) : vrai.