Les triangles semblables en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Dans deux triangles semblables, les sommets homologues sont les sommets des angles de même mesure. Sur la figure, les angles de même mesure sont codés avec la même couleur.

• L’angle vert en L correspond à l’angle vert en M.
• L’angle en A (violet) ne correspond pas à l’angle en E (rouge) : l’angle en E correspond donc à l’angle non codé de OLA, celui en O, et l’angle en A correspond à l’angle non codé de MER, celui en R.

On a donc les correspondances L ↔ M, O ↔ E et A ↔ R.

a. L’homologue du sommet L est le sommet M.

b. L’homologue du sommet E est le sommet O.

c. M a pour homologue L et E a pour homologue O : l’homologue du côté [ME] est le côté [LO].

d. L’angle \(\widehat{LAO}\) a pour sommet A, dont l’homologue est R : son homologue est l’angle \(\widehat{MRE}\).

a. Le sommet B est commun aux côtés [BC] et [BD] ; le sommet F est commun à leurs homologues [HF] et [GF]. Donc B et F sont homologues. Ensuite, [BC] ↔ [FH] donne C ↔ H, et [BD] ↔ [FG] donne D ↔ G.

b. Dans le triangle BCD, on lit \(\widehat{DBC} = 75^\circ\) et \(\widehat{BDC} = 40^\circ\). La somme des angles d’un triangle vaut 180° :

\[ \widehat{BCD} = 180^\circ – 75^\circ – 40^\circ = 65^\circ \]

Deux triangles semblables ont leurs angles homologues de même mesure, donc :

\[ \widehat{HFG} = 75^\circ, \quad \widehat{FGH} = 40^\circ, \quad \widehat{FHG} = 65^\circ \]

Propriété : si deux triangles ont leurs angles deux à deux de même mesure, alors ils sont semblables. Il suffit même que deux angles soient égaux deux à deux, le troisième l’étant alors aussi.

a. Dans le triangle ABC : \(\widehat{A} = 40^\circ\) et \(\widehat{B} = 30^\circ\), donc

\[ \widehat{C} = 180^\circ – 40^\circ – 30^\circ = 110^\circ \]

Dans le triangle DEF : \(\widehat{D} = 40^\circ\) et \(\widehat{E} = 110^\circ\), donc

\[ \widehat{F} = 180^\circ – 40^\circ – 110^\circ = 30^\circ \]

Les deux triangles ont des angles de 40°, 30° et 110° : ils sont semblables (A ↔ D, B ↔ F, C ↔ E).

b. Le triangle ABC est isocèle en C (CA = CB d’après le codage), donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{A} = \widehat{B} = 70^\circ\), et

\[ \widehat{C} = 180^\circ – 2 \times 70^\circ = 40^\circ \]

Le triangle DEF est isocèle en F (FE = FD) avec \(\widehat{F} = 40^\circ\), donc ses angles à la base mesurent

\[ \widehat{E} = \widehat{D} = \frac{180^\circ – 40^\circ}{2} = 70^\circ \]

Les deux triangles ont des angles de 70°, 70° et 40° : ils sont semblables.

Le point D est sur le segment [BC], donc l’angle \(\widehat{ABD}\) est le même que l’angle \(\widehat{ABC}\) : il mesure 30° dans les deux triangles.

Dans le triangle ABD : \(\widehat{ABD} = 30^\circ\) et \(\widehat{ADB} = 110^\circ\), donc

\[ \widehat{BAD} = 180^\circ – 30^\circ – 110^\circ = 40^\circ \]

Dans le triangle ABC : \(\widehat{ABC} = 30^\circ\) et \(\widehat{ACB} = 40^\circ\), donc

\[ \widehat{BAC} = 180^\circ – 30^\circ – 40^\circ = 110^\circ \]

Les deux triangles ont chacun des angles de 30°, 40° et 110° : ils ont leurs angles deux à deux de même mesure, donc les triangles ABC et ABD sont semblables. Les sommets homologues sont B ↔ B, C ↔ A et A ↔ D.

a. Les codages de couleur donnent les angles égaux : l’angle vert en C correspond à l’angle vert en E, l’angle orange en L à l’angle orange en H. Le troisième sommet O correspond donc à T.

b. Les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles :

\[ \frac{LO}{HT} = \frac{LC}{HE} = \frac{OC}{TE} \]

On connaît LO = 1,6 cm et HT = 2 cm, d’où le coefficient :

\[ \frac{LO}{HT} = \frac{1{,}6}{2} = 0{,}8 \]

Calcul de LC :

\[ \frac{LC}{3} = 0{,}8 \quad \text{donc} \quad LC = 0{,}8 \times 3 = 2{,}4 \text{ cm} \]

Calcul de TE :

\[ \frac{2}{TE} = 0{,}8 \quad \text{donc} \quad TE = \frac{2}{0{,}8} = 2{,}5 \text{ cm} \]

Pour savoir si deux triangles sont semblables à partir des longueurs, on range les côtés de chaque triangle dans l’ordre croissant, puis on compare les rapports.

• Triangle ART : RT = 8,1 cm ; AR = 12 cm ; AT = 14,4 cm.
• Triangle ZEN : ZN = 5,4 cm ; EN = 8 cm ; ZE = 9,6 cm.

\[ \frac{RT}{ZN} = \frac{8{,}1}{5{,}4} = 1{,}5 \qquad \frac{AR}{EN} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \qquad \frac{AT}{ZE} = \frac{14{,}4}{9{,}6} = 1{,}5 \]

Les trois rapports sont égaux : les longueurs des côtés sont proportionnelles (coefficient 1,5). Les triangles ART et ZEN sont donc semblables ; ART est un agrandissement de ZEN, avec les sommets homologues R ↔ N, A ↔ E et T ↔ Z.

Le triangle DEF est isocèle en F (FD = FE = 4,5 cm) et le triangle ABC est isocèle en C (CA = CB = 2,5 cm). Ils sont semblables, avec les sommets principaux homologues : C ↔ F, et les bases homologues : [AB] ↔ [DE].

Les côtés homologues sont proportionnels :

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{CB}{FE} \quad \text{soit} \quad \frac{AB}{3{,}6} = \frac{2{,}5}{4{,}5} \]
\[ \begin{aligned} AB &= \frac{2{,}5 \times 3{,}6}{4{,}5} \\ &= \frac{9}{4{,}5} \\ &= 2 \text{ cm} \end{aligned} \]

On peut aussi raisonner avec le coefficient d’agrandissement \(k = \dfrac{4{,}5}{2{,}5} = 1{,}8\) : \(AB = 3{,}6 \div 1{,}8 = 2\) cm.

On compare les triangles SPV et BAV.

• Ils sont tous deux rectangles : \(\widehat{SPV} = \widehat{BAV} = 90^\circ\).
• Le rayon lumineux se réfléchit sur le miroir en faisant des angles égaux : \(\widehat{SVP} = \widehat{BVA}\) (angles verts).

Ces deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, donc aussi le troisième : ils sont semblables, avec S ↔ B, P ↔ A et V ↔ V. Leurs côtés homologues sont proportionnels :

\[ \frac{SP}{BA} = \frac{PV}{AV} \quad \text{soit} \quad \frac{SP}{1{,}70} = \frac{36}{2{,}40} \]
\[ \begin{aligned} SP &= \frac{36 \times 1{,}70}{2{,}40} \\ &= 15 \times 1{,}70 \\ &= 25{,}5 \text{ m} \end{aligned} \]

Les égalités d’angles donnent les sommets homologues : \(\widehat{MON} = \widehat{STE}\) donc O ↔ T ; \(\widehat{MNO} = \widehat{EST}\) donc N ↔ S. Le troisième sommet M correspond donc à E.

a. Les angles en M et en E sont homologues, donc de même mesure :

\[ \widehat{NMO} = \widehat{SET} \]

b. Les côtés homologues sont [MO] ↔ [ET], [ON] ↔ [TS] et [MN] ↔ [ES]. Leurs longueurs sont proportionnelles :

\[ \frac{MO}{ET} = \frac{ON}{TS} = \frac{MN}{ES} \]

L’angle violet est \(\widehat{MAN}\) dans le triangle AMN, l’angle vert est \(\widehat{PON}\) dans le triangle OPN. On cherche si ces deux triangles sont semblables.

• AMN est isocèle en A : AM = AN = 5 cm et MN = 6 cm.
• OPN est isocèle en O : OP = ON = 3 cm et PN = 3,6 cm.

On compare les côtés rangés dans le même ordre :

\[ \frac{OP}{AM} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \frac{ON}{AN} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \frac{PN}{MN} = \frac{3{,}6}{6} = 0{,}6 \]

Les côtés sont proportionnels (coefficient de réduction 0,6), donc les triangles AMN et OPN sont semblables. Le sommet A, commun aux deux côtés égaux de AMN, a pour homologue le sommet O, commun aux deux côtés égaux de OPN. Or deux triangles semblables ont leurs angles homologues de même mesure : \(\widehat{MAN} = \widehat{PON}\).