Bissectrice d’un angle en 6ème : corrigé détaillé des 20 exercices à télécharger en PDF

Avec le rapporteur, la bissectrice d’un angle se trace en trois temps : on lit la mesure de l’angle, on calcule la moitié, puis on place le centre du rapporteur sur le sommet, le zéro sur un côté, et on marque un point à la mesure trouvée. Puis on relie ce point au sommet.

• Angle \(\widehat{xOy} = 48^\circ\) : \(48 \div 2 = 24\), on marque \(24^\circ\) à partir de [Ox]. Enfin, on obtient \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \mathbf{24^\circ}\).
• Angle \(\widehat{uAv} = 94^\circ\) : \(94 \div 2 = 47\), on marque \(47^\circ\) à partir de [Av]. Chaque moitié mesure \(\mathbf{47^\circ}\).
• Angle \(\widehat{tIz} = 32^\circ\) : \(32 \div 2 = 16\), on marque \(16^\circ\) à partir de [It]. Donc, Chaque moitié mesure \(\mathbf{16^\circ}\).

Vérification : \(24 + 24 = 48\), \(47 + 47 = 94\) et \(16 + 16 = 32\).

1. Enfin, Construire le triangle. On trace [BC] de 7 cm. Ensuite, on trace un arc de cercle de centre B et de rayon 6 cm, puis un arc de centre C et de rayon 4 cm : ils se coupent en A. Puis on relie A à B et à C.

2. Par ailleurs, Construire chaque bissectrice au compas. Pour l’angle \(\widehat{BAC}\) : on pique le compas en A et on trace un arc qui coupe [AB] et [AC] en deux points ; en gardant le même écartement, on pique successivement sur ces deux points et on trace deux arcs qui se coupent à l’intérieur de l’angle ; la demi-droite qui part de A et passe par ce point de croisement est la bissectrice. De plus, on recommence au sommet B, puis au sommet C.

Exercice 2 : Construction des bissectrices d un triangle (corrigé (suite)

Au rapporteur, on mesure environ \(\widehat{BAC} \approx 86^\circ\), \(\widehat{ABC} \approx 35^\circ\) et \(\widehat{ACB} \approx 59^\circ\) (la somme fait bien \(180^\circ\)). Ensuite, les bissectrices partagent donc ces angles en deux angles d’environ \(43^\circ\), \(17{,}5^\circ\) et \(29{,}5^\circ\).

Ensuite, Remarque : les trois bissectrices se coupent en un même point I, situé à l’intérieur du triangle. C’est un bon moyen de contrôler son tracé : si les trois droites forment un petit triangle, un des tracés est imprécis.

Pour chaque angle, on trace d’abord un côté, puis l’autre côté au rapporteur. Ensuite, la construction à la règle et au compas est toujours la même :

1. Ainsi, on pique le compas sur le sommet et on trace un arc qui coupe les deux côtés en deux points ;
2. on pique sur chacun de ces deux points et, avec le même écartement, on trace deux arcs qui se croisent à l’intérieur de l’angle ;
3. Donc, on trace la demi-droite qui part du sommet et passe par ce point de croisement : c’est la bissectrice.

Contrôle au rapporteur : \(40 \div 2 = 20\), \(100 \div 2 = 50\) et \(170 \div 2 = 85\). Par ailleurs, pour l’angle de \(170^\circ\), les deux points sur les côtés sont presque opposés : il faut prendre un écartement de compas assez grand pour que les deux derniers arcs se coupent.

De plus, le triangle EFG est libre. Prenons par exemple EF = 7 cm, EG = 5 cm et FG = 6 cm : on trace [EF], puis un arc de centre E de rayon 5 cm et un arc de centre F de rayon 6 cm, qui se coupent en G.

On construit ensuite la bissectrice de chacun des trois angles \(\widehat{FEG}\), \(\widehat{EFG}\) et \(\widehat{EGF}\) avec la méthode du compas : un arc centré au sommet qui coupe les deux côtés, deux arcs de même rayon centrés sur ces points, puis la demi-droite qui joint le sommet au point de croisement.

Dans cet exemple, on mesure environ \(\widehat{FEG} \approx 57^\circ\), \(\widehat{EFG} \approx 44^\circ\) et \(\widehat{EGF} \approx 79^\circ\) ; les bissectrices donnent des moitiés d’environ \(28{,}5^\circ\), \(22^\circ\) et \(39^\circ\). Quel que soit le triangle choisi, les trois bissectrices se coupent en un même point.

1. On trace [OI], puis au rapporteur la demi-droite [OJ) telle que \(\widehat{IOJ} = 80^\circ\) (sur la figure, OI = 5 cm et OJ = 4 cm, mais d’autres longueurs conviennent). Puis on construit la bissectrice (d) au compas : arc de centre O qui coupe [OI] et [OJ], deux arcs de même rayon centrés sur ces points, puis la droite passant par O et par le point de croisement.

2. On trace le segment [IJ] ; il coupe (d) en K.

Au rapporteur, on lit \(\widehat{IOK} = \mathbf{40^\circ}\) et \(\widehat{KOJ} = \mathbf{40^\circ}\).

Ce résultat était prévisible : K est sur la bissectrice de \(\widehat{IOJ}\), et la bissectrice partage l’angle en deux angles de même mesure. Donc \(\widehat{IOK} = \widehat{KOJ} = 80^\circ \div 2 = 40^\circ\), quelle que soit la position de I et de J sur les côtés.

Ici on utilise la règle et le rapporteur. Ensuite, pour chaque angle : on trace un côté, on trace le second côté à la mesure demandée, puis on reporte la moitié de la mesure à partir du premier côté.

Pour l’angle droit (c), la bissectrice fait \(45^\circ\) avec chaque côté : c’est la diagonale d’un carreau si l’angle est tracé sur un quadrillage.

La demi-droite rouge est la bissectrice si elle est à l’intérieur de l’angle et si elle forme deux angles de même mesure avec les deux côtés noirs. Puis on mesure au rapporteur les deux angles de part et d’autre de la demi-droite rouge.

• a. environ \(36^\circ\) et \(16^\circ\) : les angles ne sont pas égaux, ce n’est pas la bissectrice.
• b. la demi-droite rouge est en dehors de l’angle formé par les deux côtés noirs : ce n’est pas la bissectrice.
• c. environ \(24^\circ\) et \(25^\circ\) : les deux angles sont égaux (aux erreurs de mesure près), c’est la bissectrice.
• d. environ \(70^\circ\) et \(72^\circ\) : les deux moitiés sont égales aux imprécisions près, c’est la bissectrice.
• e. environ \(104^\circ\) et \(44^\circ\) : très différents, ce n’est pas la bissectrice.

On mesure d’abord l’angle formé par les deux côtés noirs, on calcule la moitié, puis on cherche la demi-droite colorée qui forme cette moitié avec chaque côté.

• a. L’angle mesure environ \(60^\circ\), donc la bissectrice forme \(30^\circ\) avec chaque côté. La verte, la rouge et la violette sont décalées (la verte et la rouge penchent vers le côté gauche, la violette vers le côté droit). La demi-droite bleue forme environ \(30^\circ\) et \(30^\circ\) : c’est la bissectrice.
• b. L’angle mesure environ \(130^\circ\), donc la bissectrice forme \(65^\circ\) avec chaque côté. La rouge et la bleue sont trop près du côté du haut, la verte trop près du côté du bas. La demi-droite orange forme environ \(65^\circ\) et \(65^\circ\) : c’est la bissectrice.

Reproduire la figure. En comptant les carreaux à partir du coin en haut à gauche du quadrillage (15 carreaux sur 12) : W est à 3 carreaux à droite et 2 vers le bas, X à 12 et 3, Y à 13 et 8, Z à 4 et 9. De plus, on place les quatre points puis on trace le quadrilatère WXYZ.

Bissectrice de \(\widehat{WXY}\) (sommet X, côtés [XW] et [XY]) : on pique le compas en X, on trace un arc qui coupe [XW] et [XY] ; de ces deux points, avec le même écartement, on trace deux arcs qui se coupent à l’intérieur de l’angle ; on trace la demi-droite issue de X qui passe par ce croisement.

Bissectrice de \(\widehat{WZY}\) (sommet Z, côtés [ZW] et [ZY]) : même méthode en piquant le compas en Z.

Contrôle au rapporteur : \(\widehat{WXY} \approx 108^\circ\), donc chaque moitié mesure environ \(54^\circ\) ; \(\widehat{WZY} \approx 92^\circ\), donc chaque moitié mesure environ \(46^\circ\).

Dans chaque cas, on trace l’angle au rapporteur puis on construit sa bissectrice au compas et à la règle (arc centré au sommet, deux arcs de même rayon, demi-droite issue du sommet). Au rapporteur, chaque moitié doit mesurer la moitié de l’angle :

Pour l’angle plat \(\widehat{UST} = 180^\circ\), U, S et T sont alignés : la bissectrice est la perpendiculaire à la droite (UT) passant par S. Ensuite, pour 67° et 127°, la moitié n’est pas un nombre entier : c’est justement l’intérêt du compas, qui donne la bissectrice exacte sans calcul.

a. Construire le triangle. On commence par le plus grand côté : on trace [ST] de 7 cm. Par ailleurs, on trace l’arc de cercle de centre S et de rayon 5 cm (car US = 5 cm), puis l’arc de cercle de centre T et de rayon 3 cm (car UT = 3 cm). Puis ils se coupent en U. Ensuite, on relie U à S et à T.

Le triangle existe bien, car le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres : \( 7 \lt 5 + 3 \). Puis en mesurant au rapporteur, on trouve un angle \( \widehat{SUT} \) très ouvert, de 120° : le triangle est obtus en U.

b. Construire les trois bissectrices. Pour chaque angle, on utilise le compas : un arc centré sur le sommet coupe les deux côtés, puis deux arcs de même rayon centrés sur ces points se coupent sur la bissectrice. De plus, on trace ainsi :

Exercice 11 : Triangle et bissectrice (corrigé bissectrice 6ème) (suite)

• la bissectrice de \( \widehat{UST} \) (sommet S) ;
• la bissectrice de \( \widehat{UTS} \) (sommet T) ;
• la bissectrice de \( \widehat{TUS} \) (sommet U), qui partage l’angle de 120° en deux angles de 60°.

c. Constat. Les trois bissectrices se coupent en un même point, noté I : on dit qu’elles sont concourantes. Ensuite, ce point est à l’intérieur du triangle et il est à la même distance des trois côtés (c’est le centre du cercle qui touche les trois côtés, que l’on étudiera plus tard).

a. On trace un cercle de centre O (par exemple de rayon 3 cm) et un diamètre [AB] : une corde qui passe par O, donc O est le milieu de [AB].

b. Médiatrice de [AB] au compas. On pique en A avec un écartement plus grand que la moitié de AB et on trace deux arcs, au-dessus et au-dessous de [AB] ; on garde le même écartement, on pique en B et on trace deux arcs qui coupent les premiers. Par ailleurs, la droite qui passe par les deux points d’intersection est la médiatrice de [AB] ; elle passe par O et coupe le cercle en C et D. Comme elle est perpendiculaire à (AB), on a \( \widehat{AOC} = \widehat{BOC} = 90^\circ \).

c. Bissectrice de \( \widehat{AOC} \). On pique en O et on trace un arc qui coupe [OA] et [OC] ; avec un même écartement, on trace depuis ces deux points deux arcs qui se coupent ; on trace la droite passant par O et ce point. Puis elle partage l’angle droit en deux angles de 45°. Prolongée, elle coupe le cercle en deux points : E (entre A et C) et F (entre B et D).

Exercice 12 : Problème de construction (suite)

d. Bissectrice de \( \widehat{BOC} \). Même méthode : on obtient une droite qui fait 45° avec [OB) et [OC), et qui coupe le cercle en G (entre C et B) et H (entre D et A).

e. On relie dans l’ordre les huit points du cercle : A, E, C, G, B, F, D, H, puis on revient en A.

Pourquoi l’octogone est-il régulier ? Ensuite, les quatre droites tracées (AB), (CD), (EF) et (GH) passent toutes par O et font entre elles des angles de 45°. Puis elles partagent donc le tour complet en 8 angles de 45° (\( 8 \times 45^\circ = 360^\circ \)). De plus, les huit points sont sur le cercle, à égale distance de O, et régulièrement espacés : les huit côtés ont la même longueur et les huit angles sont égaux.

Pour chaque angle, on applique la construction au compas (la mesure indiquée permet seulement de vérifier le résultat au rapporteur) :

1. piquer le compas sur le sommet et tracer un arc qui coupe les deux côtés ;
2. garder un même écartement, piquer sur chacun des deux points obtenus et tracer deux arcs qui se coupent à l’intérieur de l’angle ;
3. tracer la demi-droite qui part du sommet et passe par ce point de croisement : c’est la bissectrice.

Vérification au rapporteur : la bissectrice partage chaque angle en deux angles de même mesure, égale à la moitié de l’angle :

• \( \widehat{ABC} = 45^\circ \), donc chaque moitié mesure \( 45 \div 2 = 22{,}5^\circ \) ;
• \( \widehat{EDF} = 67^\circ \), donc chaque moitié mesure \( 67 \div 2 = 33{,}5^\circ \) ;
• \( \widehat{HGK} = 149^\circ \), donc chaque moitié mesure \( 149 \div 2 = 74{,}5^\circ \) ;
• \( \widehat{MLN} = 135^\circ \), donc chaque moitié mesure \( 135 \div 2 = 67{,}5^\circ \).

Pour un angle obtus comme \( \widehat{HGK} \), il faut un premier arc assez grand pour couper nettement les deux côtés, sinon les arcs suivants se croisent mal.

a. La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui part du sommet et partage cet angle en deux angles de même mesure.

b. Les angles \(\widehat{xOz}\) et \(\widehat{zOy}\) sont égaux et leur somme vaut \(50^{\circ}\) :

\[ \widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 50^{\circ} \div 2 = 25^{\circ} \]

\(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 25^{\circ}\)

a. [Ot) est la bissectrice de \(\widehat{sOr}\), donc \(\widehat{tOr} = \widehat{sOt} = 37^{\circ}\).

b. L’angle entier est le double de chaque moitié :

\[ \widehat{sOr} = 2 \times 37^{\circ} = 74^{\circ} \]

\(\widehat{sOr} = 74^{\circ}\)

On divise par 2 pour trouver \(\widehat{AOM}\) et on multiplie par 2 pour trouver \(\widehat{AOB}\).

\[ 124 \div 2 = 62 \qquad 90 \div 2 = 45 \qquad 2 \times 35 = 70 \qquad 2 \times 7{,}5 = 15 \]

a. [OC) est la bissectrice de \(\widehat{AOB}\) : \[ \widehat{AOC} = 80^{\circ} \div 2 = 40^{\circ} \]

b. [OD) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\) : \[ \widehat{AOD} = 40^{\circ} \div 2 = 20^{\circ} \]

c. D est à l’intérieur de \(\widehat{AOB}\) : \[ \widehat{DOB} = 80^{\circ} – 20^{\circ} = 60^{\circ} \]

\(\widehat{AOC} = 40^{\circ}\) ; \(\widehat{AOD} = 20^{\circ}\) ; \(\widehat{DOB} = 60^{\circ}\)

a. Un angle plat mesure \(180^{\circ}\).

b. [OH) est la bissectrice : \[ \widehat{EOH} = 180^{\circ} \div 2 = 90^{\circ} \]

c. L’angle \(\widehat{EOH}\) est droit, donc les droites (OH) et (EG) sont perpendiculaires.

a. Les angles sont adjacents : \[ \widehat{xOz} = 70^{\circ} + 30^{\circ} = 100^{\circ} \]

b. [Ot) est la bissectrice de \(\widehat{xOz}\) : \[ \widehat{xOt} = 100^{\circ} \div 2 = 50^{\circ} \]

c. Comme \(50^{\circ} \lt 70^{\circ}\), la demi-droite [Ot) est à l’intérieur de \(\widehat{xOy}\) : \[ \widehat{tOy} = 70^{\circ} – 50^{\circ} = 20^{\circ} \]

\(\widehat{xOz} = 100^{\circ}\) ; \(\widehat{xOt} = 50^{\circ}\) ; \(\widehat{tOy} = 20^{\circ}\)

a. Somme des angles du triangle ABC : \[ \widehat{BAC} = 180^{\circ} – 48^{\circ} – 72^{\circ} = 60^{\circ} \]

b. [AD) est la bissectrice de \(\widehat{BAC}\) : \[ \widehat{BAD} = 60^{\circ} \div 2 = 30^{\circ} \]

c. Dans le triangle ABD : \[ \widehat{ADB} = 180^{\circ} – 48^{\circ} – 30^{\circ} = 102^{\circ} \]

\(\widehat{BAC} = 60^{\circ}\) ; \(\widehat{BAD} = 30^{\circ}\) ; \(\widehat{ADB} = 102^{\circ}\)