La bissectrice d’un angle en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Avec le rapporteur, la bissectrice d’un angle se trace en trois temps : on lit la mesure de l’angle, on calcule la moitié, puis on place le centre du rapporteur sur le sommet, le zéro sur un côté, et on marque un point à la mesure trouvée. On relie ce point au sommet.

• Angle \(\widehat{xOy} = 48^\circ\) : \(48 \div 2 = 24\), on marque \(24^\circ\) à partir de [Ox]. On obtient \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \mathbf{24^\circ}\).
• Angle \(\widehat{uAv} = 94^\circ\) : \(94 \div 2 = 47\), on marque \(47^\circ\) à partir de [Av]. Chaque moitié mesure \(\mathbf{47^\circ}\).
• Angle \(\widehat{tIz} = 32^\circ\) : \(32 \div 2 = 16\), on marque \(16^\circ\) à partir de [It]. Chaque moitié mesure \(\mathbf{16^\circ}\).

Vérification : \(24 + 24 = 48\), \(47 + 47 = 94\) et \(16 + 16 = 32\).

1. Construire le triangle. On trace [BC] de 7 cm. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 6 cm, puis un arc de centre C et de rayon 4 cm : ils se coupent en A. On relie A à B et à C.

2. Construire chaque bissectrice au compas. Pour l’angle \(\widehat{BAC}\) : on pique le compas en A et on trace un arc qui coupe [AB] et [AC] en deux points ; en gardant le même écartement, on pique successivement sur ces deux points et on trace deux arcs qui se coupent à l’intérieur de l’angle ; la demi-droite qui part de A et passe par ce point de croisement est la bissectrice. On recommence au sommet B, puis au sommet C.

Au rapporteur, on mesure environ \(\widehat{BAC} \approx 86^\circ\), \(\widehat{ABC} \approx 35^\circ\) et \(\widehat{ACB} \approx 59^\circ\) (la somme fait bien \(180^\circ\)). Les bissectrices partagent donc ces angles en deux angles d’environ \(43^\circ\), \(17{,}5^\circ\) et \(29{,}5^\circ\).

Remarque : les trois bissectrices se coupent en un même point I, situé à l’intérieur du triangle. C’est un bon moyen de contrôler son tracé : si les trois droites forment un petit triangle, un des tracés est imprécis.

Pour chaque angle, on trace d’abord un côté, puis l’autre côté au rapporteur. Ensuite, la construction à la règle et au compas est toujours la même :

1. on pique le compas sur le sommet et on trace un arc qui coupe les deux côtés en deux points ;
2. on pique sur chacun de ces deux points et, avec le même écartement, on trace deux arcs qui se croisent à l’intérieur de l’angle ;
3. on trace la demi-droite qui part du sommet et passe par ce point de croisement : c’est la bissectrice.

Contrôle au rapporteur : \(40 \div 2 = 20\), \(100 \div 2 = 50\) et \(170 \div 2 = 85\). Pour l’angle de \(170^\circ\), les deux points sur les côtés sont presque opposés : il faut prendre un écartement de compas assez grand pour que les deux derniers arcs se coupent.

Le triangle EFG est libre. Prenons par exemple EF = 7 cm, EG = 5 cm et FG = 6 cm : on trace [EF], puis un arc de centre E de rayon 5 cm et un arc de centre F de rayon 6 cm, qui se coupent en G.

On construit ensuite la bissectrice de chacun des trois angles \(\widehat{FEG}\), \(\widehat{EFG}\) et \(\widehat{EGF}\) avec la méthode du compas : un arc centré au sommet qui coupe les deux côtés, deux arcs de même rayon centrés sur ces points, puis la demi-droite qui joint le sommet au point de croisement.

Dans cet exemple, on mesure environ \(\widehat{FEG} \approx 57^\circ\), \(\widehat{EFG} \approx 44^\circ\) et \(\widehat{EGF} \approx 79^\circ\) ; les bissectrices donnent des moitiés d’environ \(28{,}5^\circ\), \(22^\circ\) et \(39^\circ\). Quel que soit le triangle choisi, les trois bissectrices se coupent en un même point.

1. On trace [OI], puis au rapporteur la demi-droite [OJ) telle que \(\widehat{IOJ} = 80^\circ\) (sur la figure, OI = 5 cm et OJ = 4 cm, mais d’autres longueurs conviennent). On construit la bissectrice (d) au compas : arc de centre O qui coupe [OI] et [OJ], deux arcs de même rayon centrés sur ces points, puis la droite passant par O et par le point de croisement.

2. On trace le segment [IJ] ; il coupe (d) en K.

Au rapporteur, on lit \(\widehat{IOK} = \mathbf{40^\circ}\) et \(\widehat{KOJ} = \mathbf{40^\circ}\).

Ce résultat était prévisible : K est sur la bissectrice de \(\widehat{IOJ}\), et la bissectrice partage l’angle en deux angles de même mesure. Donc \(\widehat{IOK} = \widehat{KOJ} = 80^\circ \div 2 = 40^\circ\), quelle que soit la position de I et de J sur les côtés.

Ici on utilise la règle et le rapporteur. Pour chaque angle : on trace un côté, on trace le second côté à la mesure demandée, puis on reporte la moitié de la mesure à partir du premier côté.

Pour l’angle droit (c), la bissectrice fait \(45^\circ\) avec chaque côté : c’est la diagonale d’un carreau si l’angle est tracé sur un quadrillage.

La demi-droite rouge est la bissectrice si elle est à l’intérieur de l’angle et si elle forme deux angles de même mesure avec les deux côtés noirs. On mesure au rapporteur les deux angles de part et d’autre de la demi-droite rouge.

• a. environ \(36^\circ\) et \(16^\circ\) : les angles ne sont pas égaux, ce n’est pas la bissectrice.
• b. la demi-droite rouge est en dehors de l’angle formé par les deux côtés noirs : ce n’est pas la bissectrice.
• c. environ \(24^\circ\) et \(25^\circ\) : les deux angles sont égaux (aux erreurs de mesure près), c’est la bissectrice.
• d. environ \(70^\circ\) et \(72^\circ\) : les deux moitiés sont égales aux imprécisions près, c’est la bissectrice.
• e. environ \(104^\circ\) et \(44^\circ\) : très différents, ce n’est pas la bissectrice.

On mesure d’abord l’angle formé par les deux côtés noirs, on calcule la moitié, puis on cherche la demi-droite colorée qui forme cette moitié avec chaque côté.

• a. L’angle mesure environ \(60^\circ\), donc la bissectrice forme \(30^\circ\) avec chaque côté. La verte, la rouge et la violette sont décalées (la verte et la rouge penchent vers le côté gauche, la violette vers le côté droit). La demi-droite bleue forme environ \(30^\circ\) et \(30^\circ\) : c’est la bissectrice.
• b. L’angle mesure environ \(130^\circ\), donc la bissectrice forme \(65^\circ\) avec chaque côté. La rouge et la bleue sont trop près du côté du haut, la verte trop près du côté du bas. La demi-droite orange forme environ \(65^\circ\) et \(65^\circ\) : c’est la bissectrice.

Reproduire la figure. En comptant les carreaux à partir du coin en haut à gauche du quadrillage (15 carreaux sur 12) : W est à 3 carreaux à droite et 2 vers le bas, X à 12 et 3, Y à 13 et 8, Z à 4 et 9. On place les quatre points puis on trace le quadrilatère WXYZ.

Bissectrice de \(\widehat{WXY}\) (sommet X, côtés [XW] et [XY]) : on pique le compas en X, on trace un arc qui coupe [XW] et [XY] ; de ces deux points, avec le même écartement, on trace deux arcs qui se coupent à l’intérieur de l’angle ; on trace la demi-droite issue de X qui passe par ce croisement.

Bissectrice de \(\widehat{WZY}\) (sommet Z, côtés [ZW] et [ZY]) : même méthode en piquant le compas en Z.

Contrôle au rapporteur : \(\widehat{WXY} \approx 108^\circ\), donc chaque moitié mesure environ \(54^\circ\) ; \(\widehat{WZY} \approx 92^\circ\), donc chaque moitié mesure environ \(46^\circ\).

Dans chaque cas, on trace l’angle au rapporteur puis on construit sa bissectrice au compas et à la règle (arc centré au sommet, deux arcs de même rayon, demi-droite issue du sommet). Au rapporteur, chaque moitié doit mesurer la moitié de l’angle :

Pour l’angle plat \(\widehat{UST} = 180^\circ\), U, S et T sont alignés : la bissectrice est la perpendiculaire à la droite (UT) passant par S. Pour 67° et 127°, la moitié n’est pas un nombre entier : c’est justement l’intérêt du compas, qui donne la bissectrice exacte sans calcul.