Division euclidienne et décimale en 6ème : corrigé des exercices 1 à 10

1. a. Pour diviser par 10, 100 ou 1 000, on déplace la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche (chaque chiffre devient 10, 100 ou 1 000 fois plus petit). Si besoin, on ajoute des zéros à gauche du nombre.

b. Faire la division euclidienne d’un nombre entier \(a\) (le dividende) par un nombre entier \(b\) non nul (le diviseur), c’est trouver deux nombres entiers \(q\) (le quotient) et \(r\) (le reste) tels que

\[ a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad r \lt b. \]

c. Dans la division posée, le dividende est en haut à gauche, le diviseur en haut à droite (dans la « potence »), le quotient est écrit sous le diviseur, et le reste est le dernier nombre obtenu en bas à gauche.

2. On déplace la virgule vers la gauche :

• a. \(70 \div 10 = \mathbf{7}\)
• b. \(12\,000 \div 1\,000 = \mathbf{12}\)
• c. \(12\,400 \div 100 = \mathbf{124}\)
• d. \(13\,957{,}82 \div 1\,000 = \mathbf{13{,}957\,82}\)

3. On pose chaque division et on vérifie avec l’égalité \(a = b \times q + r\), en contrôlant que le reste est plus petit que le diviseur.

• a. \(149 = 8 \times 18 + 5\) : quotient 18, reste 5 (\(5 \lt 8\)).
• b. \(3\,764 = 9 \times 418 + 2\) : quotient 418, reste 2.
• c. \(1\,057 = 3 \times 352 + 1\) : quotient 352, reste 1.
• d. \(12\,455 = 265 \times 47 + 0\) : quotient 47, reste 0 (la division « tombe juste »).
• e. \(78\,456 = 49 \times 1\,601 + 7\) : quotient 1 601, reste 7.

1. Diviser par 10, 100 ou 1 000, c’est déplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.

• a. \(70 \div 10 = \mathbf{7}\)
• b. \(12\,000 \div 1\,000 = \mathbf{12}\)
• c. \(12\,400 \div 100 = \mathbf{124}\)
• d. \(13\,957{,}82 \div 1\,000 = \mathbf{13{,}957\,82}\)

2. Divisions euclidiennes posées, avec leur vérification :

• a. \(149 = 8 \times 18 + 5\) : quotient 18, reste 5.
• b. \(3\,764 = 9 \times 418 + 2\) : quotient 418, reste 2.
• c. \(1\,057 = 3 \times 352 + 1\) : quotient 352, reste 1.
• d. \(12\,455 = 265 \times 47 + 0\) : quotient 47, reste 0.
• e. \(78\,456 = 49 \times 1\,601 + 7\) : quotient 1 601, reste 7.

3. Chaque tarte coûte 6 €. On cherche combien de fois 6 € « rentrent » dans 85 € : c’est la division euclidienne de 85 par 6.

\[ 85 = 6 \times 14 + 1 \]

Le quotient est 14 et le reste est 1 (on vérifie : \(6 \times 14 = 84\) et \(84 + 1 = 85\)). L’information « pour 4 personnes » ne sert pas au calcul.

On déplace la virgule vers la gauche de 1 rang (÷ 10), 2 rangs (÷ 100) ou 3 rangs (÷ 1 000), en ajoutant des zéros si nécessaire.

• a. \(4\,338 \div 10 = \mathbf{433{,}8}\)
• b. \(1\,297 \div 1\,000 = \mathbf{1{,}297}\)
• c. \(12{,}3 \div 10 = \mathbf{1{,}23}\)
• d. \(0{,}87 \div 100 = \mathbf{0{,}008\,7}\)
• e. \(3{,}8 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}003\,8}\)
• f. \(0{,}04 \div 100 = \mathbf{0{,}000\,4}\)
• g. \(354 \div 10 = \mathbf{35{,}4}\)
• h. \(12{,}5 \div 100 = \mathbf{0{,}125}\)

Contrôle : le résultat doit toujours être plus petit que le nombre de départ.

Sans poser l’opération, on élimine les réponses impossibles grâce à un ordre de grandeur, puis on contrôle par une multiplication.

• \(124{,}42 \div 2\) : environ \(124 \div 2 = 62\), donc B et A sont exclus. La moitié de 124,42 est 62,21 car \(62{,}21 \times 2 = 124{,}42\) (62,2 × 2 ne donne que 124,4). Réponse C : 62,21.
• \(5{,}3 \div 4\) : le résultat est plus petit que 5,3 et proche de \(4 \div 4 = 1\) à \(8 \div 4 = 2\). Seul 1,325 convient : \(1{,}325 \times 4 = 5{,}3\). Réponse A : 1,325.
• \(6{,}25 \div 5\) : environ \(6 \div 5\), un peu plus que 1. \(1{,}25 \times 5 = 6{,}25\). Réponse B : 1,25.
• \(81{,}36 \div 18\) : environ \(80 \div 20 = 4\). Entre 4,52 et 3,52 : \(4{,}52 \times 18 = 81{,}36\). Réponse C : 4,52.

Pour arrondir, on regarde le chiffre situé juste après le rang demandé : s’il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde le chiffre du rang ; s’il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on l’augmente de 1.

• \(741 \div 35 \approx 21{,}171\) : à l’unité, le chiffre des dixièmes est 1, donc 21 ; au dixième, le chiffre des centièmes est 7, donc 21,2 ; au centième, le chiffre des millièmes est 1, donc 21,17.
• \(12{,}4 \div 6 \approx 2{,}066\) : à l’unité 2 ; au dixième, le chiffre des centièmes est 6, donc 2,1 ; au centième, le chiffre des millièmes est 6, donc 2,07.
• \(42{,}1 \div 3 \approx 14{,}033\) : à l’unité 14 ; au dixième, le chiffre des centièmes est 3, donc 14,0 ; au centième 14,03.

Remarque : on écrit 14,0 (et non 14) pour montrer que l’arrondi est donné au dixième.

a. À la calculatrice, en gardant 7 chiffres après la virgule :

(Plus précisément : \(22 \div 7 = 3{,}142\,857\,142\,8\ldots\), \(333 \div 106 = 3{,}141\,509\,433\ldots\) et \(355 \div 113 = 3{,}141\,592\,920\ldots\))

b. Ces trois résultats commencent tous par 3,14 : ce sont des approximations du nombre π (pi), qui sert à calculer le périmètre d’un cercle.

c. La touche π de la calculatrice affiche 3,141 592 654 (le nombre de chiffres dépend du modèle).

d. On compare chaque quotient à π chiffre par chiffre :

• 22 ÷ 7 = 3,142 857… : seuls les chiffres 3,14 sont justes (écart d’environ 0,001 3) ;
• 333 ÷ 106 = 3,141 509… : 3,141 5 est juste (écart d’environ 0,000 08) ;
• 355 ÷ 113 = 3,141 592 9… : 3,141 592 est juste (écart d’environ 0,000 000 3).

On pose la division. Quand les chiffres de la partie entière du dividende sont épuisés, on place la virgule au quotient et on abaisse des zéros (85 = 85,000). On s’arrête après avoir obtenu 3 chiffres après la virgule au quotient.

• \(85 \div 6\) : quotient au millième 14,166 (reste 0,004).
• \(10 \div 11\) : quotient au millième 0,909 (reste 0,001).
• \(12 \div 7\) : quotient au millième 1,714 (reste 0,002).
• \(51 \div 21\) : quotient au millième 2,428 (reste 0,012).

Vérification : \(6 \times 14{,}166 + 0{,}004 = 85\) et \(21 \times 2{,}428 + 0{,}012 = 51\). Ces divisions « ne tombent jamais juste » : le quotient exact a une infinité de chiffres. Si l’on demande l’arrondi au millième, on obtient 14,167 ; 0,909 ; 1,714 et 2,429.

On cherche les nombres entiers qui divisent le nombre sans reste, en les trouvant par paires de produits.

a. \(18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6\). Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

b. \(24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6\). Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

c. Les nombres présents dans les deux listes sont 1, 2, 3 et 6.

On remarque que ce sont les diviseurs communs à 18 et 24 ; le plus grand d’entre eux est 6, et ils sont justement tous des diviseurs de 6.

a. Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Le chiffre des unités de 157 326 est 6 : 157 326 est divisible par 2.

b. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

\[ 1 + 5 + 7 + 3 + 2 + 6 = 24 \quad \text{et} \quad 24 = 3 \times 8. \]

Donc 157 326 est divisible par 3 (\(157\,326 = 3 \times 52\,442\)).

c. Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Ici ce nombre est 26, et \(26 = 4 \times 6 + 2\) : 26 n’est pas divisible par 4. Donc 157 326 n’est pas divisible par 4.

d. Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Ici c’est 6 : 157 326 n’est pas divisible par 5.

On applique les critères : unités paires (2), somme des chiffres multiple de 3 (3), deux derniers chiffres multiples de 4 (4), unités 0 ou 5 (5), somme des chiffres multiple de 9 (9).

• 345 : unités 5 ; somme \(3 + 4 + 5 = 12\) (multiple de 3, pas de 9) ; 45 n’est pas multiple de 4.
• 344 : unités 4 ; somme \(3 + 4 + 4 = 11\) ; \(44 = 4 \times 11\).
• 56 241 : unités 1 ; somme \(5 + 6 + 2 + 4 + 1 = 18\), multiple de 3 et de 9 ; 41 n’est pas multiple de 4.
• 56 242 : unités 2 ; somme 19 ; \(42 = 4 \times 10 + 2\), pas multiple de 4.
• 56 243 : unités 3 ; somme 20 ; 43 n’est pas multiple de 4.

Remarque : un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3 (56 241), et un nombre divisible par 4 est toujours divisible par 2 (344).