Corrigé des 30 exercices sur la division euclidienne et décimale en 6ème à télécharger en PDF

Toutefois, 1. a. Pour diviser par 10, 100 ou 1 000, on déplace la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche (chaque chiffre devient 10, 100 ou 1 000 fois plus petit). Puis, Si besoin, on ajoute des zéros à gauche du nombre.

Enfin, b. Faire la division euclidienne d’un nombre entier \(a\) (le dividende) par un nombre entier \(b\) non nul (le diviseur), c’est trouver deux nombres entiers \(q\) (le quotient) et \(r\) (le reste) tels que

\[ a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad r \lt b. \]

Notamment, c. Dans la division posée, le dividende est en haut à gauche, le diviseur en haut à droite (dans la « potence »), le quotient est écrit sous le diviseur, et le reste est le dernier nombre obtenu en bas à gauche.

Par exemple, 2. On déplace la virgule vers la gauche :

• a. \(70 \div 10 = \mathbf{7}\)
• b. \(12\,000 \div 1\,000 = \mathbf{12}\)
• c. \(12\,400 \div 100 = \mathbf{124}\)
• d. \(13\,957{,}82 \div 1\,000 = \mathbf{13{,}957\,82}\)

Puis, 3. On pose chaque division et on vérifie avec l’égalité \(a = b \times q + r\), en contrôlant que le reste est plus petit que le diviseur.

• Enfin, a. \(149 = 8 \times 18 + 5\) : quotient 18, reste 5 (\(5 \lt 8\)).
• b. \(3\,764 = 9 \times 418 + 2\) : quotient 418, reste 2.
• c. \(1\,057 = 3 \times 352 + 1\) : quotient 352, reste 1.
• Car d. \(12\,455 = 265 \times 47 + 0\) : quotient 47, reste 0 (la division « tombe juste »).
• e. \(78\,456 = 49 \times 1\,601 + 7\) : quotient 1 601, reste 7.

Donc, 1. Diviser par 10, 100 ou 1 000, c’est déplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.

• a. \(70 \div 10 = \mathbf{7}\)
• b. \(12\,000 \div 1\,000 = \mathbf{12}\)
• c. \(12\,400 \div 100 = \mathbf{124}\)
• d. \(13\,957{,}82 \div 1\,000 = \mathbf{13{,}957\,82}\)

Car 2. Divisions euclidiennes posées, avec leur vérification :

• a. \(149 = 8 \times 18 + 5\) : quotient 18, reste 5.
• b. \(3\,764 = 9 \times 418 + 2\) : quotient 418, reste 2.
• c. \(1\,057 = 3 \times 352 + 1\) : quotient 352, reste 1.
• d. \(12\,455 = 265 \times 47 + 0\) : quotient 47, reste 0.
• e. \(78\,456 = 49 \times 1\,601 + 7\) : quotient 1 601, reste 7.

3. Chaque tarte coûte 6 €. Ensuite, on cherche combien de fois 6 € « rentrent » dans 85 € : c’est la division euclidienne de 85 par 6.

\[ 85 = 6 \times 14 + 1 \]

Donc, le quotient est 14 et le reste est 1 (on vérifie : \(6 \times 14 = 84\) et \(84 + 1 = 85\)). Puis L’information « pour 4 personnes » ne sert pas au calcul.

Enfin, on déplace la virgule vers la gauche de 1 rang (÷ 10), 2 rangs (÷ 100) ou 3 rangs (÷ 1 000), en ajoutant des zéros si nécessaire.

• a. \(4\,338 \div 10 = \mathbf{433{,}8}\)
• b. \(1\,297 \div 1\,000 = \mathbf{1{,}297}\)
• c. \(12{,}3 \div 10 = \mathbf{1{,}23}\)
• d. \(0{,}87 \div 100 = \mathbf{0{,}008\,7}\)
• e. \(3{,}8 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}003\,8}\)
• f. \(0{,}04 \div 100 = \mathbf{0{,}000\,4}\)
• g. \(354 \div 10 = \mathbf{35{,}4}\)
• h. \(12{,}5 \div 100 = \mathbf{0{,}125}\)

Notamment, contrôle : le résultat doit toujours être plus petit que le nombre de départ.

Sans poser l’opération, on élimine les réponses impossibles grâce à un ordre de grandeur, puis on contrôle par une multiplication.

• \(124{,}42 \div 2\) : environ \(124 \div 2 = 62\), donc B et A sont exclus. La moitié de 124,42 est 62,21 car \(62{,}21 \times 2 = 124{,}42\) (62,2 × 2 ne donne que 124,4). Réponse C : 62,21.
• Enfin, \(5{,}3 \div 4\) : le résultat est plus petit que 5,3 et proche de \(4 \div 4 = 1\) à \(8 \div 4 = 2\). Seul 1,325 convient : \(1{,}325 \times 4 = 5{,}3\). Réponse A : 1,325.
• Ainsi, \(6{,}25 \div 5\) : environ \(6 \div 5\), un peu plus que 1. \(1{,}25 \times 5 = 6{,}25\). Réponse B : 1,25.
• \(81{,}36 \div 18\) : environ \(80 \div 20 = 4\). Entre 4,52 et 3,52 : \(4{,}52 \times 18 = 81{,}36\). Réponse C : 4,52.

Également, pour arrondir, on regarde le chiffre situé juste après le rang demandé : s’il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde le chiffre du rang ; s’il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on l’augmente de 1.

• \(741 \div 35 \approx 21{,}171\) : à l’unité, le chiffre des dixièmes est 1, donc 21 ; au dixième, le chiffre des centièmes est 7, donc 21,2 ; au centième, le chiffre des millièmes est 1, donc 21,17.
• \(12{,}4 \div 6 \approx 2{,}066\) : à l’unité 2 ; au dixième, le chiffre des centièmes est 6, donc 2,1 ; au centième, le chiffre des millièmes est 6, donc 2,07.
• \(42{,}1 \div 3 \approx 14{,}033\) : à l’unité 14 ; au dixième, le chiffre des centièmes est 3, donc 14,0 ; au centième 14,03.

En outre, remarque : on écrit 14,0 (et non 14) pour montrer que l’arrondi est donné au dixième.

Car a. À la calculatrice, en gardant 7 chiffres après la virgule :

(Plus précisément : \(22 \div 7 = 3{,}142\,857\,142\,8\ldots\), \(333 \div 106 = 3{,}141\,509\,433\ldots\) et \(355 \div 113 = 3{,}141\,592\,920\ldots\))

Toutefois, b. Ces trois résultats commencent tous par 3,14 : ce sont des approximations du nombre π (pi), qui sert à calculer le périmètre d’un cercle.

Donc, c. La touche π de la calculatrice affiche 3,141 592 654 (le nombre de chiffres dépend du modèle).

De même, d. On compare chaque quotient à π chiffre par chiffre :

• En outre, 22 ÷ 7 = 3,142 857… : seuls les chiffres 3,14 sont justes (écart d’environ 0,001 3) ;
• En outre, 333 ÷ 106 = 3,141 509… : 3,141 5 est juste (écart d’environ 0,000 08) ;
• Car 355 ÷ 113 = 3,141 592 9… : 3,141 592 est juste (écart d’environ 0,000 000 3).

De même, on pose la division. Alors, Quand les chiffres de la partie entière du dividende sont épuisés, on place la virgule au quotient et on abaisse des zéros (85 = 85,000). Ainsi, de plus, on s’arrête après avoir obtenu 3 chiffres après la virgule au quotient.

• De même, \(85 \div 6\) : quotient au millième 14,166 (reste 0,004).
• Alors, \(10 \div 11\) : quotient au millième 0,909 (reste 0,001).
• Par exemple, \(12 \div 7\) : quotient au millième 1,714 (reste 0,002).
• Car \(51 \div 21\) : quotient au millième 2,428 (reste 0,012).

Par exemple, Vérification : \(6 \times 14{,}166 + 0{,}004 = 85\) et \(21 \times 2{,}428 + 0{,}012 = 51\). Ensuite, ces divisions « ne tombent jamais juste » : le quotient exact a une infinité de chiffres. Toutefois, Si l’on demande l’arrondi au millième, on obtient 14,167 ; 0,909 ; 1,714 et 2,429.

Car on cherche les nombres entiers qui divisent le nombre sans reste, en les trouvant par paires de produits.

a. \(18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6\). Par ailleurs, les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

Puis, b. \(24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6\). Puis les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

En effet, c. Les nombres présents dans les deux listes sont 1, 2, 3 et 6.

Par ailleurs, on remarque que ce sont les diviseurs communs à 18 et 24 ; le plus grand d’entre eux est 6, et ils sont justement tous des diviseurs de 6.

Enfin, a. Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Ensuite, le chiffre des unités de 157 326 est 6 : 157 326 est divisible par 2.

Ainsi, b. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

\[ 1 + 5 + 7 + 3 + 2 + 6 = 24 \quad \text{et} \quad 24 = 3 \times 8. \]

Donc 157 326 est divisible par 3 (\(157\,326 = 3 \times 52\,442\)).

Ainsi, c. Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Puis, Ici ce nombre est 26, et \(26 = 4 \times 6 + 2\) : 26 n’est pas divisible par 4. Donc 157 326 n’est pas divisible par 4.

En outre, d. Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Car Ici c’est 6 : 157 326 n’est pas divisible par 5.

En effet, on applique les critères : unités paires (2), somme des chiffres multiple de 3 (3), deux derniers chiffres multiples de 4 (4), unités 0 ou 5 (5), somme des chiffres multiple de 9 (9).

• De même, 345 : unités 5 ; somme \(3 + 4 + 5 = 12\) (multiple de 3, pas de 9) ; 45 n’est pas multiple de 4.
• 344 : unités 4 ; somme \(3 + 4 + 4 = 11\) ; \(44 = 4 \times 11\).
• Par ailleurs, 56 241 : unités 1 ; somme \(5 + 6 + 2 + 4 + 1 = 18\), multiple de 3 et de 9 ; 41 n’est pas multiple de 4.
• Par exemple, 56 242 : unités 2 ; somme 19 ; \(42 = 4 \times 10 + 2\), pas multiple de 4.
• Ainsi, 56 243 : unités 3 ; somme 20 ; 43 n’est pas multiple de 4.

Ainsi, remarque : un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3 (56 241), et un nombre divisible par 4 est toujours divisible par 2 (344).

Par exemple, chaque case contient un chiffre. Puis on commence par les définitions qui n’ont qu’une seule réponse possible, puis on croise lignes et colonnes.

• Donc, B4 : « diviseur de tous les nombres » : c’est 1.
• Car C (3 chiffres) : les diviseurs de 222 sont 1, 2, 3, 6, 37, 74, 111 et 222. Alors, le seul à 3 chiffres autre que 222 est 111.
• D1 (1 chiffre) : si on lui ajoute 1, on obtient un multiple de 5 qui n’est pas un multiple de 10, donc 5 : D1 = 4.
• D3-D4 : multiple de 12 et de 7, donc de \( 12 \times 7 = 84 \) : c’est 84.
• Colonne 1 : palindrome de 4 chiffres qui se termine par C1 = 1 et D1 = 4 : il se lit 4-1-1-4, donc 4114 ; A1 = 4 et B1 = 1.
• Colonne 2 (3 chiffres, C2 = 1) : si on lui enlève 1, on obtient un multiple de 100, donc il se termine par 01 : B2 = 0.
• Ligne A : A1-A2 est un multiple de 3 et de 5, donc de 15, qui commence par 4 : c’est 45. La colonne 2 vaut alors 501 (et 500 est bien un multiple de 100). Ligne B : 10, multiple de 10.
• Enfin, colonne 3 : C3-D3 = 18, multiple de 2 et de 3.
• Colonne 4 : A4 est un diviseur de 25 (1 ou 5) et A4-B4 est un multiple de 17 qui se termine par 1 : \( 51 = 3 \times 17 \), donc A4 = 5. Alors, D4 = 4 est bien un multiple de 2.

Ainsi, une brique touche deux briques au-dessus et deux briques en dessous. En effet, de plus, on peut descendre vers un diviseur du nombre où l’on est, ou monter vers un multiple. Ensuite, on teste les voisins à chaque étape :

• 180 : en dessous, 60 et 90. Alors, par 60, on descend à 20 et on a beau essayer toutes les briques voisines, on n’atteint jamais 1 : c’est une impasse. On descend donc à 90, puis à 45 (90 = 2 × 45).
• 45 : descendre vers 15 mène aussi à une impasse. On remonte à 135 (135 = 3 × 45), puis à 270 (270 = 2 × 135).
• 270 : on descend à 54 (270 = 5 × 54), puis à 2. On remonte à 126 (126 = 63 × 2), on redescend à 42 (126 = 3 × 42), puis à 14 et à 7.
• 7 : on remonte à 42 (42 = 6 × 7), puis on descend à 6, à 3 et enfin à 1.

Enfin, Vérification des montées : 135 et 270 sont des multiples de 45 et 135, 126 est un multiple de 2, 42 est un multiple de 7. Ensuite, toutes les descentes se font vers un diviseur. Ensuite, C’est le seul chemin possible.

Donc, il y a 11 pirates et leur chef, soit 12 personnes, pour 197 pièces d’or.

Cependant, 1. Si chacun avait 10 pièces, il en faudrait \( 12 \times 10 = 120 \) ; si chacun avait 20 pièces, il en faudrait \( 12 \times 20 = 240 \). Donc, comme \( 120 \lt 197 \lt 240 \), chacun aura entre 10 et 20 pièces : le quotient a 2 chiffres et commence par 1.

Enfin, 2. a. On divise 19 dizaines par 12 : 1 fois, \( 19 – 12 = 7 \). Par ailleurs, on abaisse le 7 : 77 unités divisées par 12 donnent 6 fois, car \( 12 \times 6 = 72 \), et \( 77 – 72 = 5 \).

Toutefois, \[ 197 = 12 \times 16 + 5 \quad \text{avec } 5 \lt 12 \]

Alors, b. Chaque pirate reçoit 16 pièces. Puis le chef reçoit sa part plus les 5 pièces restantes : \( 16 + 5 = 21 \) pièces.

Par ailleurs, 3. Avec la touche de division euclidienne : 2 335 ÷ 12 donne un quotient de 194 et un reste de 7. Vérification : \( 12 \times 194 + 7 = 2\,328 + 7 = 2\,335 \). Ensuite, chaque pirate reçoit 194 pièces et le chef \( 194 + 7 = 201 \) pièces.

Également, la liste étudiée : 14, 18, 60, 132, 724, 913, 1 836, 4 566, 5 697 et 17 340.

Alors, 1. Un nombre divisible par 2 et par 5 se termine par 0. Ensuite, ce sont 60 et 17 340.

Également, 2. a. À la calculatrice, les quotients par 4 tombent juste pour : 60, 132, 724, 1 836 et 17 340.

Donc, b. Nombre formé par les deux derniers chiffres :

En effet, c. Remarque : un nombre est divisible par 4 exactement quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

3. a. Divisibles par 3 : 18, 60, 132, 1 836, 4 566, 5 697 et 17 340. Divisibles par 9 : 18, 1 836 et 5 697.

b. Somme des chiffres :

Donc, c. Remarques : un nombre est divisible par 3 exactement quand la somme de ses chiffres est divisible par 3, et divisible par 9 exactement quand la somme de ses chiffres est divisible par 9. Puis un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3 (mais pas l’inverse : 60 est divisible par 3, pas par 9).

Enfin, 1. La division donne \( 64 = 5 \times 12 + 4 \) : Albertine peut mettre 12 kg dans chacune des 5 caisses, et il lui reste 4 kg de pommes à répartir.

2. a. 1 kg = 10 dixièmes de kilogramme, donc 4 kg = 40 dixièmes de kilogramme.

De même, b. On partage ces 40 dixièmes en 5 : \( 40 \div 5 = 8 \), reste 0. Toutefois, chaque caisse reçoit encore 8 dixièmes de kilogramme, soit 0,8 kg. Ainsi, de plus, dans la division posée, on écrit une virgule après le 12 du quotient, on ajoute un 0 au reste 4 (40 dixièmes) et on trouve le chiffre des dixièmes 8, avec un reste nul.

Puis, c. Masse de chaque caisse : \( 12 + 0{,}8 = 12{,}8 \) kg. Vérification : \( 5 \times 12{,}8 = 64 \).

Ainsi, a. On divise 187 par 15 à la main : 18 dizaines ÷ 15 = 1, reste 3 ; on abaisse le 7 : 37 ÷ 15 = 2, reste 7.

En outre, \[ 187 = 15 \times 12 + 7 \quad \text{avec } 7 \lt 15 \]

On forme donc 12 équipes (un nombre pair, comme le dit l’organisateur) et il reste 7 élèves, qui seront les arbitres.

Par ailleurs, b. Avec 12 équipes, on peut faire jouer toutes les équipes en même temps : \( 12 \div 2 = 6 \) matchs à la fois. Ensuite, il faut 1 arbitre par match, soit 6 arbitres. Également, comme il y a 7 arbitres et \( 7 \gt 6 \), il y en a assez (et il en reste même un de réserve).

Également, il y a deux lignes de 7 piliers, soit \( 2 \times 7 = 14 \) piliers en tout. Par ailleurs, les 266 blocs sont répartis également entre ces 14 piliers :

\[ 266 \div 14 = 19 \]

Par ailleurs, Vérification : \( 14 \times 19 = 266 \), la division tombe juste.

Car pierre a payé 1,20 € pour 15 minutes. Puis le prix d’une minute est \( 1{,}20 \div 15 \).

Ensuite, on pose la division à la main :

• 1 unité ÷ 15 : 0 fois, on écrit 0 au quotient puis la virgule ;
• Par exemple, on abaisse le 2 : 12 dixièmes ÷ 15 : 0 fois, on écrit 0 au chiffre des dixièmes ;
• on abaisse le 0 : 120 centièmes ÷ 15 = 8, car \( 15 \times 8 = 120 \), reste 0.

\[ 1{,}20 \div 15 = 0{,}08 \]

Vérification : \( 15 \times 0{,}08 = 1{,}20 \). Toutefois, autre méthode : 1,20 € = 120 centimes et 120 ÷ 15 = 8 centimes.

Cependant, inès affirme : « un nombre entier dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3 ». Ensuite, pour montrer qu’une affirmation est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple.

Prenons 13 : son chiffre des unités est 3, mais \( 13 = 3 \times 4 + 1 \), le reste n’est pas nul. Puis la somme de ses chiffres \( 1 + 3 = 4 \) n’est d’ailleurs pas divisible par 3. De même, 23, 43 ou 103 ne sont pas divisibles par 3.

Le critère correct ne regarde pas le dernier chiffre : un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible par 3 (par exemple 33, car 3 + 3 = 6).

En effet, la division posée montre que \( 174 = 4 \times 43 + 2 \).

Donc, a. Si Amélie donne 43 € à chacune des 4 personnes, elle distribue \( 4 \times 43 = 172 \) €. Notamment, de plus, il lui reste \( 174 – 172 = 2 \) € à partager : c’est le reste de la division.

Donc, b. On continue la division après la virgule : 2 € = 20 dixièmes d’euro, et \( 20 \div 4 = 5 \) dixièmes, reste 0. De même, chaque personne reçoit encore 0,50 €.

\[ 174 \div 4 = 43{,}5 \]

Vérification : \( 4 \times 43{,}5 = 174 \).

Enfin, chaque ballotin contient 30 chocolats. Ensuite, pour 750 chocolats, il faut \( 750 \div 30 = 25 \) ballotins (la division tombe juste, car \( 30 \times 25 = 750 \)).

Il en reste déjà 17, donc il faut en acheter \( 25 – 17 = 8 \).

Toutefois, autre méthode : les 17 ballotins contiennent \( 17 \times 30 = 510 \) chocolats ; il reste \( 750 – 510 = 240 \) chocolats à emballer, soit \( 240 \div 30 = 8 \) ballotins.

Donc, on utilise l’égalité de la division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste plus petit que le diviseur.

a. \( 560 = \square \times 8 + 0 \), donc le diviseur vaut \( 560 \div 8 = 70 \).

Donc, b. \( \square\square = 6 \times 15 + 4 = 90 + 4 = 94 \) (et \( 4 \lt 6 \)).

c. \( 98 = \square \times 19 + 3 \), donc \( \square \times 19 = 98 – 3 = 95 \) et le diviseur vaut \( 95 \div 19 = 5 \) (le reste 3 est bien plus petit que 5).

a. 827 ÷ 13 : 78 = 13 × 6, et \( 82 – 78 = 4 \). Par ailleurs, on abaisse le 7 : 47. Puis 39 = 13 × 3, et \( 47 – 39 = 8 \).

\[ 827 = 13 \times 63 + 8 \]

Notamment, b. 2 523 ÷ 37, quotient 68 : on retire \( 37 \times 6 = 222 \) de 252, il reste 30 ; on abaisse le 3 : 303. Puis on retire \( 37 \times 8 = 296 \), il reste \( 303 – 296 = 7 \).

\[ 2\,523 = 37 \times 68 + 7 \]

Cependant, c. 4 239 ÷ 56 : on retire \( 56 \times 7 = 392 \) de 423, il reste 31 ; on abaisse le 9 : 319. Ensuite, on retire 280, et \( 280 = 56 \times 5 \) : le chiffre manquant du quotient est 5. Puis il reste \( 319 – 280 = 39 \).

\[ 4\,239 = 56 \times 75 + 39 \]

En outre, vérifications : \( 13 \times 63 + 8 = 827 \) ; \( 37 \times 68 + 7 = 2\,523 \) ; \( 56 \times 75 + 39 = 4\,239 \), et chaque reste est plus petit que le diviseur.

a. \( 10 \times 26 = 260 \) et \( 100 \times 26 = 2\,600 \).

En outre, comme \( 2\,600 \lt 2\,782 \), le quotient de 2 782 par 26 est plus grand que 100 : il a au moins 3 chiffres. De plus, le quotient 17 de Steven est donc faux (d’ailleurs \( 26 \times 17 = 442 \), bien loin de 2 782).

En effet, b. L’erreur de Steven : après avoir abaissé le 8, il obtient 18, qui est plus petit que 26. Ensuite, il fallait alors écrire 0 au quotient avant d’abaisser le chiffre suivant.

• 27 centaines ÷ 26 = 1, reste \( 27 – 26 = 1 \) ;
• Toutefois, on abaisse le 8 : 18 dizaines ÷ 26 = 0, reste 18 ;
• on abaisse le 2 : 182 unités ÷ 26 = 7, car \( 26 \times 7 = 182 \), reste 0.

\[ 2\,782 = 26 \times 107 \]

• Car ligne 1 : avec la touche de division euclidienne, 34 589 ÷ 548 donne un quotient de 63 et un reste de 65. Par ailleurs, Vérification : \( 548 \times 63 + 65 = 34\,524 + 65 = 34\,589 \), et \( 65 \lt 548 \).
• De même, ligne 2 : dividende = diviseur × quotient + reste : \( 53 \times 279 + 24 = 14\,787 + 24 = 14\,811 \).
• Ligne 3 : \( 1\,861 = \square \times 48 + 37 \), donc \( \square \times 48 = 1\,861 – 37 = 1\,824 \) et le diviseur vaut \( 1\,824 \div 48 = 38 \). En outre, le reste 37 est bien plus petit que 38.

Par ailleurs, le motif est formé de 4 carreaux : jaune, rouge, bleu, vert. Par ailleurs, il se répète tous les 4 carreaux : les carreaux 4, 8, 12, 16… (multiples de 4) sont verts, les carreaux 1, 5, 9… sont jaunes.

Puis, a. \( 16 = 4 \times 4 + 0 \) : le 16^e carreau termine le 4^e motif, c’est le dernier carreau du motif : il est vert.

Également, b. On fait la division euclidienne de 102 par 4 : \( 102 = 4 \times 25 + 2 \). Ainsi, après 25 motifs complets (100 carreaux), il reste 2 carreaux : le 102^e carreau est le 2^e carreau du motif, il est rouge.

Par ailleurs, Sacha et Enzo ont raison pour 24 : \( 24 = 2 \times 12 = 4 \times 6 = 8 \times 3 \). Mais Zoé généralise : « un nombre divisible par 4 et par 2 est forcément divisible par 8 ». Puis un seul contre-exemple suffit à montrer qu’elle se trompe.

Prenons 12 : \( 12 = 4 \times 3 \) et \( 12 = 2 \times 6 \), donc 12 est divisible par 4 et par 2. Mais \( 12 = 8 \times 1 + 4 \) : le reste n’est pas nul, 12 n’est pas divisible par 8. Par exemple, même chose pour 4, 20 ou 28.

En fait, tout nombre divisible par 4 est déjà divisible par 2 : savoir qu’il est divisible par 2 n’apporte rien de plus.

Car on repère les multiples de 9 avec le critère : un nombre est divisible par 9 quand la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• Ainsi, 1^re rangée : 27 (9), 54 (9), 99 (18) et 126 (9) sont des multiples de 9 ; 12 (3) et 78 (15) non.
• Enfin, 2^e rangée : 81 (9), 234 (9) et 522 (9) oui ; 19 (10), 62 (8) et 919 (19) non.
• Enfin, 3^e rangée : 18, 36, 108 (9) et 144 (9) oui ; 775 (19) et 74 (11) non.

On avance de pièce en pièce, sans passer en diagonale, uniquement par des multiples de 9 : 9 → 27 → 54 → 81 → 36 → 108 → 144 → 234 → 522 → 99 → 126 → Sortie 1. Ensuite, les sorties 2 et 3 sont gardées par 919 et 74, qui ne sont pas des multiples de 9.

Attention au piège : entre 16 éoliennes alignées, il y a 15 espaces (comme entre les piquets d’une clôture), et non 16.

On convertit : 4,62 km = 4 620 m. Chaque espace mesure :

\[ 4\,620 \div 15 = 308 \text{ m} \]

Vérification : \( 15 \times 308 = 4\,620 \). Comme \( 308 \gt 300 \), la distance minimale est respectée.

a. Paquet en vrac : 24 biscuits pour 3,60 €, donc un biscuit coûte \( 3{,}60 \div 24 = 0{,}15 \) €.

Paquet en sachets : \( 6 \times 4 = 24 \) biscuits aussi, pour 5,76 €, donc un biscuit coûte \( 5{,}76 \div 24 = 0{,}24 \) €.

\( 0{,}15 \lt 0{,}24 \) : le biscuit est moins cher en vrac (9 centimes de moins par biscuit).

Car b. Les deux paquets contiennent 24 biscuits pour un poids net de 0,6 kg = 600 g. Puis un biscuit pèse \( 600 \div 24 = 25 \) g.