Les probabilités en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

a) À chaque lancer, la pièce donne 1 ou 2. L’arbre a donc 2 branches au premier niveau, puis 2 branches à partir de chaque nœud. On note au bout de chaque chemin la somme obtenue.

Les quatre chemins sont (1 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 1) et (2 ; 2), qui donnent les sommes 2, 3, 3 et 4.

b) La pièce est équilibrée : chaque branche a pour probabilité \(\dfrac{1}{2}\). La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches :

\[ P\big((1\,;1)\big) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]

Les quatre chemins ont donc chacun la probabilité \(\dfrac{1}{4}\). Si l’on regroupe par somme obtenue :

Vérification : \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1\).

On compte les boules du sac : 6 boules, dont 1 rouge, 3 bleues et 2 vertes.

a) On tire une boule au hasard : les 6 boules ont la même chance d’être tirées (équiprobabilité). Il y a 3 boules bleues sur 6, donc :

\[ P(\text{bleue}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Félix a raison : on a bien une chance sur deux de tirer une boule bleue.

b) On note la couleur : les issues possibles sont rouge (R), bleue (B) et verte (V). Attention, ces trois issues ne sont pas équiprobables :

\[ P(R) = \dfrac{1}{6}, \qquad P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}, \qquad P(V) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \]

Vérification : \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = 1\).

a) La carte est tirée au hasard : chacune des 32 cartes a la même chance d’être tirée. Une issue est une carte (une couleur et une valeur), on peut donc utiliser le modèle d’équiprobabilité, chaque issue ayant la probabilité \(\dfrac{1}{32}\).

b) En situation d’équiprobabilité, \(P(E) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\).

• Il y a 4 Dames (une par couleur) : \(P(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
• Un jeu de 32 cartes contient 4 couleurs de 8 cartes, donc 8 Cœurs : \(P(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).

Les gains 0, 1, 5, 20 et 1 000 € sont des issues incompatibles : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

A : « On gagne au moins 20 € », c’est-à-dire 20 € ou 1 000 € :

\[ P(A) = 0{,}0098 + 0{,}0002 = 0{,}01 \]

B : « On gagne 5 € au plus », c’est-à-dire 0 €, 1 € ou 5 € :

\[ P(B) = 0{,}7 + 0{,}25 + 0{,}04 = 0{,}99 \]

Remarque : A et B sont contraires (on gagne soit au plus 5 €, soit au moins 20 €), et on retrouve bien \(P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0{,}01 = 0{,}99\).

Les 26 jetons portent chacun une lettre différente et le tirage se fait au hasard : on est en situation d’équiprobabilité, chaque lettre a la probabilité \(\dfrac{1}{26}\).

Événement A. Les voyelles sont A, E, I, O, U, Y : il y en a 6. Les lettres qui ne sont pas des voyelles sont donc au nombre de \(26 – 6 = 20\) :

\[ P(A) = \dfrac{20}{26} = \dfrac{10}{13} \]

Événement B. Les lettres placées avant M sont A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L : il y en a 12 (M est la 13^e lettre, elle n’est pas comptée) :

\[ P(B) = \dfrac{12}{26} = \dfrac{6}{13} \]

Dans les deux cas, la carte est tirée au hasard : on est en situation d’équiprobabilité.

1. a) Un jeu de 32 cartes ne contient, dans chaque couleur, que les cartes du 7 à l’As (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As) : il ne contient aucun 5. L’événement est impossible pour Hugo :

\[ P_{\text{Hugo}}(\text{5 de Carreau}) = \dfrac{0}{32} = 0 \]

1. b) Le jeu de 52 cartes contient un seul 5 de Carreau :

\[ P_{\text{Chloé}}(\text{5 de Carreau}) = \dfrac{1}{52} \]

2. Chaque jeu est partagé en 4 couleurs de même effectif : 8 Cœurs sur 32 cartes et 13 Cœurs sur 52 cartes.

\[ \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4} \]

Inès a raison : les deux probabilités valent \(\dfrac{1}{4}\).

3. Chaque jeu contient 4 As :

\[ P_{\text{Hugo}}(\text{As}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} \qquad \text{et} \qquad P_{\text{Chloé}}(\text{As}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} \]

Comme \(8 \lt 13\), on a \(\dfrac{1}{8} \gt \dfrac{1}{13}\) : c’est Hugo qui a la plus grande probabilité de tirer un As (même nombre d’As, mais moins de cartes).

a) \(R \cup H\) est l’événement « l’élève choisi joue au rugby ou au handball », c’est-à-dire qu’il pratique au moins l’un des deux sports (éventuellement les deux).

b) On applique la formule de la réunion :

\[ \begin{aligned} P(R \cup H) &= P(R) + P(H) – P(R \cap H) \\ &= 0{,}56 + 0{,}37 – 0{,}29 \\ &= 0{,}64 \end{aligned} \]

On retire \(P(R \cap H)\) car les élèves qui pratiquent les deux sports ont été comptés deux fois.

On note A : « l’individu possède le caractère A » et B : « l’individu possède le caractère B ». On a \(P(A) = 0{,}8\), \(P(B) = 0{,}6\) et \(P(A \cap B) = 0{,}45\).

a) « Au moins l’un des deux caractères », c’est l’événement \(A \cup B\) :

\[ \begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) – P(A \cap B) \\ &= 0{,}8 + 0{,}6 – 0{,}45 \\ &= 0{,}95 \end{aligned} \]

b) « Ni A ni B » est l’événement contraire de \(A \cup B\) :

\[ P\big(\overline{A \cup B}\big) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0{,}95 = 0{,}05 \]

Données : \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cup B) = 0{,}6\).

a) \(P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0{,}4 = 0{,}6\).

b) \(P(\overline{B}) = 1 – P(B) = 1 – 0{,}5 = 0{,}5\).

c) De \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\), on tire :

\[ P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 – 0{,}6 = 0{,}3 \]

d) B est formé de la partie commune \(A \cap B\) et de la partie « B sans A » \(\overline{A} \cap B\), incompatibles :

\[ P(\overline{A} \cap B) = P(B) – P(A \cap B) = 0{,}5 – 0{,}3 = 0{,}2 \]

e) De même pour A :

\[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) – P(A \cap B) = 0{,}4 – 0{,}3 = 0{,}1 \]

f) \(\overline{A} \cap \overline{B}\) (« ni A ni B ») est le contraire de \(A \cup B\) :

\[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4 \]

Vérification : les quatre zones totalisent \(0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}4 = 1\).

En assimilant probabilités et fréquences : \(P(M) = 0{,}45\), \(P(N) = 0{,}63\) et, « aucune des deux options » étant l’événement \(\overline{M} \cap \overline{N}\), \(P(\overline{M} \cap \overline{N}) = 0{,}18\).

a) \(P(\overline{M}) = 1 – 0{,}45 = 0{,}55\).

b) \(P(\overline{N}) = 1 – 0{,}63 = 0{,}37\).

c) \(\overline{M} \cap \overline{N}\) : l’étudiant n’a pris ni Marketing ni Négociation. C’est la donnée de l’énoncé : \(P(\overline{M} \cap \overline{N}) = 0{,}18\).

d) « Ne pas être inscrit à M ou à N » revient à n’être inscrit à aucune des deux : \(\overline{M \cup N} = \overline{M} \cap \overline{N}\), donc \(P(\overline{M \cup N}) = 0{,}18\).

e) \(M \cup N\) est le contraire de \(\overline{M \cup N}\) :

\[ P(M \cup N) = 1 – 0{,}18 = 0{,}82 \]

f) On calcule d’abord \(P(M \cap N)\) avec la formule de la réunion :

\[ \begin{aligned} P(M \cap N) &= P(M) + P(N) – P(M \cup N) \\ &= 0{,}45 + 0{,}63 – 0{,}82 \\ &= 0{,}26 \end{aligned} \]

puis \(\overline{M} \cap N\) (inscrit en Négociation mais pas en Marketing) :

\[ P(\overline{M} \cap N) = P(N) – P(M \cap N) = 0{,}63 – 0{,}26 = 0{,}37 \]

Vérification : \(0{,}19 + 0{,}26 + 0{,}37 + 0{,}18 = 1\).