Volume des pyramides et des cônes : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « volume des pyramides et des cônes », question par question.
Voici la correction complète, rédigée comme sur une copie soignée. Chaque calcul de volume suit le même plan : la formule écrite, le calcul de l’aire de la base, puis la multiplication par la hauteur et la division par 3. Pour le cône, tu verras comment garder la valeur exacte en fonction de π avant d’arrondir. Les deux problèmes détaillent le passage du volume à la masse, au nombre de trajets ou de cornets, avec un arrondi adapté à la situation. Le barème précise où vont les points et les pièges signalés t’aideront à ne plus refaire les erreurs habituelles.
L’énoncé complet se trouve ici : Volume des pyramides et des cônes : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : volume des pyramides et des cônes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Unités et formules | 3 points |
| 2. Trois pyramides | 4,5 points |
| 3. Un cône en valeur exacte | 4 points |
| 4. Le tas de sable du chantier | 4 points |
| 5. Les cornets du glacier | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : volume des pyramides et des cônes
Exercice 1 – Unités et formules (3 points)
- \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\), donc \(2{,}5\text{ dm}^3 = 2{,}5 \times 1\,000\text{ cm}^3\). \(2{,}5\text{ dm}^3 = 2\,500\text{ cm}^3\).
- \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\), donc \(750 \div 1\,000 = 0{,}75\). \(750\text{ cm}^3 = 0{,}75\text{ L}\).
- \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L}\), donc \(3{,}2 \times 1\,000 = 3\,200\). \(3{,}2\text{ m}^3 = 3\,200\text{ L}\).
- \(1{,}5\text{ L} = 1{,}5\text{ dm}^3 = 1{,}5 \times 1\,000\text{ cm}^3\). \(1{,}5\text{ L} = 1\,500\text{ cm}^3\).
- L’aire de la base est celle d’un disque, \(\pi \times r^2\). \(V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\).
Piège classique : multiplier par 10 ou par 100 au lieu de 1 000 entre deux unités de volume. Entre dm³ et cm³, chaque dimension est multipliée par 10, donc le volume par \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\).
Exercice 2 – Trois pyramides (4,5 points)
- \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).
Ensuite, l’aire de la base carrée : \(6 \times 6 = 36\text{ cm}^2\).
Ainsi, \(V = \dfrac{36 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = 120\).
Le volume de la pyramide \(SABCD\) est \(120\text{ cm}^3\). - D’abord, l’aire de la base rectangulaire : \(8 \times 5 = 40\text{ cm}^2\).
Ainsi, \(V = \dfrac{40 \times 9}{3} = \dfrac{360}{3} = 120\).
Son volume est \(120\text{ cm}^3\) : les deux pyramides ont le même volume, bien que leurs bases et leurs hauteurs soient différentes. - D’abord, l’aire de la base triangulaire : \(\dfrac{6 \times 4}{2} = 12\text{ cm}^2\).
Ainsi, \(V = \dfrac{12 \times 7}{3} = \dfrac{84}{3} = 28\).
Le volume de la troisième pyramide est \(28\text{ cm}^3\).
Piège classique : oublier de diviser par 2 l’aire du triangle rectangle, ce qui donne 56 cm³ au lieu de 28 cm³. Il y a deux divisions dans ce calcul : par 2 pour le triangle, par 3 pour la pyramide.
Exercice 3 – Un cône en valeur exacte (4 points)
- D’abord, l’aire de la base : \(\pi \times 3^2 = 9\pi\text{ cm}^2\).
\(V = \dfrac{9\pi \times 8}{3} = \dfrac{72\pi}{3} = 24\pi\).
Le volume exact du cône est bien \(24\pi\text{ cm}^3\). - \(24\pi \approx 75{,}398\). Le volume est d’environ \(75\text{ cm}^3\).
- \(1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}\). Le verre contient environ \(75\text{ mL}\) (soit \(7{,}5\text{ cL}\)).
- Puis l’aire de la base : \(\pi \times 6^2 = 36\pi\text{ cm}^2\).
\(V = \dfrac{36\pi \times 8}{3} = \dfrac{288\pi}{3} = 96\pi\text{ cm}^3\).
\(96\pi \div 24\pi = 4\).
Le nouveau volume est \(96\pi\text{ cm}^3\) : il a été multiplié par 4, car le rayon intervient au carré.
Piège classique : penser qu’en doublant le rayon on double le volume. L’aire de la base est multipliée par \(2^2 = 4\), donc le volume aussi.
Exercice 4 – Le tas de sable du chantier (4 points)
- D’abord, le rayon est la moitié du diamètre : \(3 \div 2 = 1{,}5\text{ m}\).
\(V = \dfrac{\pi \times 1{,}5^2 \times 1{,}2}{3} = \dfrac{\pi \times 2{,}25 \times 1{,}2}{3} = \dfrac{2{,}7\pi}{3} = 0{,}9\pi\).
\(0{,}9\pi \approx 2{,}827\).
Le tas contient environ \(2{,}83\text{ m}^3\) de sable. - Ensuite, la masse est proportionnelle au volume : \(0{,}9\pi \times 1{,}6 = 1{,}44\pi \approx 4{,}52\).
Le tas pèse environ \(4{,}5\) tonnes. - \(1{,}44\pi \div 3{,}5 \approx 1{,}29\).
Un seul trajet ne suffit pas (\(3{,}5 < 4{,}52\)) ; deux trajets permettent de transporter \(2 \times 3{,}5 = 7\) tonnes, et \(7 > 4{,}52\).
Il faut 2 trajets à Karim.
Piège classique : utiliser le diamètre 3 m à la place du rayon dans la formule : on obtient alors un volume quatre fois trop grand.
Exercice 5 – Les cornets du glacier (4,5 points)
- \(V = \dfrac{\pi \times 2{,}5^2 \times 12}{3} = \dfrac{\pi \times 6{,}25 \times 12}{3} = \dfrac{75\pi}{3} = 25\pi\).
\(25\pi \approx 78{,}54\).
Un cornet a un volume d’environ \(78{,}54\text{ cm}^3\). - \(5\text{ L} = 5\text{ dm}^3 = 5\,000\text{ cm}^3\).
\(5\,000 \div 25\pi \approx 63{,}66\).
Il faut des cornets remplis entièrement, donc on garde la partie entière.
Élodie peut remplir 63 cornets avec un bac. - D’abord, la recette : \(63 \times 2{,}50 = 157{,}50\) €.
Puis les dépenses : \(18 + 63 \times 0{,}20 = 18 + 12{,}60 = 30{,}60\) €.
Enfin, le bénéfice : \(157{,}50 – 30{,}60 = 126{,}90\).
Elle réalise un bénéfice de \(126{,}90\) € par bac.
Piège classique : arrondir 63,66 à 64 cornets. Le 64e cornet ne serait rempli qu’aux deux tiers : on arrondit ici à l’unité inférieure.
À retenir de ce contrôle
- Le volume d’une pyramide ou d’un cône est égal au tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur.
- Pour un cône de rayon r et de hauteur h, l’aire de la base est π × r², donc le volume vaut π × r² × h ÷ 3.
- Un décimètre cube contient exactement un litre, et un centimètre cube correspond à un millilitre.
- Si l’on double le rayon d’un cône sans changer sa hauteur, son volume est multiplié par 4 et non par 2.
- Dans un problème, on arrondit selon le contexte : un nombre de trajets s’arrondit au-dessus, un nombre d’objets remplis en entier s’arrondit en dessous.
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