Tableau de variations et extremums : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « tableau de variations et extremums », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet t’entraîne à décrire le comportement d’une fonction sans aucun calcul de dérivée, qui sera vue en première. Tu commenceras par lire une courbe pour dresser son tableau de variations, puis tu chercheras son maximum et son minimum sur différents intervalles. Ensuite, un tableau déjà dressé te servira à comparer des images et à compter des solutions.
Tu devras aussi tracer une courbe compatible avec un tableau, puis exploiter le sens de variation d’une fonction dont on ne connaît pas la formule. Enfin, la température d’une serre donne un problème concret. Fais ce contrôle vers novembre, après la leçon sur les extremums.
Ce qu’évalue le contrôle : tableau de variations et extremums
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Variations et fonctions affines (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Lire graphiquement le sens de variation d’une fonction sur un intervalle
- Dresser le tableau de variations d’une fonction à partir de sa courbe ou d’un énoncé
- Déterminer le maximum et le minimum d’une fonction sur un intervalle et les valeurs où ils sont atteints
- Comparer des images en utilisant le sens de variation, sans les calculer
- Tracer une courbe compatible avec un tableau de variations donné
Avant de commencer le devoir
Quand tu lis une courbe, parcours-la toujours de gauche à droite, car une fonction croissante « monte » dans ce sens. Dans un tableau de variations, n’écris que les valeurs de \(x\) où le sens change, ainsi que les bornes. Pour comparer deux images, vérifie d’abord que les deux nombres sont dans un même intervalle où la fonction est monotone. Enfin, distingue bien un extremum (une valeur de \(f(x)\)) de l’abscisse où il est atteint.
Le sujet du contrôle : tableau de variations et extremums
Exercice 1 – Lire les variations sur une courbe (5 points)
La courbe \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous représente une fonction \(f\) dans un repère. Ses deux extrémités sont aussi marquées par un point plein.
- Tout d’abord, sur quel intervalle la fonction \(f\) est-elle définie ?
- Dresse ensuite le tableau de variations de \(f\).
- Donne le maximum et le minimum de \(f\) sur son ensemble de définition, et précise pour quelles valeurs de \(x\) ils sont atteints.
- Détermine aussi le maximum et le minimum de \(f\) sur l’intervalle \([2 \,;\, 5]\).
- Enfin, vrai ou faux : « \(f\) est croissante sur \([-3 \,;\, 1]\) ». Justifie.
Exercice 2 – Exploiter un tableau de variations (5 points)
Voici le tableau de variations d’une fonction \(g\) définie sur \([-4 \,;\, 6]\). Chaque flèche indique que \(g\) est strictement monotone sur l’intervalle correspondant.
- Décris d’abord par une phrase le sens de variation de \(g\) sur chacun des trois intervalles.
- Quels sont ensuite le maximum et le minimum de \(g\) sur \([-4 \,;\, 6]\) ?
- Puis compare \(g(-3)\) et \(g(-2)\), puis \(g(4)\) et \(g(5)\), en justifiant.
- Justifie alors que, pour tout réel \(x\) de \([-4 \,;\, 6]\), on a \(-3 \leq g(x) \leq 5\).
- Combien l’équation \(g(x) = 4\) a-t-elle de solutions ? Explique ta démarche.
Exercice 3 – Une courbe compatible avec un tableau (3 points)
Une fonction \(h\) est définie sur \([0 \,;\, 8]\) et son tableau de variations est donné ci-dessous. On sait de plus que \(h(6) = 0\).
- D’abord, dans un repère, trace une courbe qui pourrait représenter \(h\), en utilisant toutes les informations connues.
- Combien l’équation \(h(x) = 0\) a-t-elle de solutions sur \([0 \,;\, 8]\) ? Justifie.
- Enfin, quel est le signe de \(h(7)\) ? Explique-le sans calculer.
Exercice 4 – Comparer sans calculer (3 points)
On ne connaît pas la formule d’une fonction \(p\), mais on sait qu’elle est strictement croissante sur \([1 \,;\, 10]\). De plus, \(p(1) = -6\), \(p(4) = 0\) et \(p(10) = 12\).
- Tout d’abord, compare \(p(\sqrt{5})\) et \(p(2{,}3)\).
- Donne ensuite le signe de \(p(x)\) selon les valeurs de \(x\) dans \([1 \,;\, 10]\).
- Enfin, encadre \(p(x)\) lorsque \(x\) appartient à \([1 \,;\, 10]\), puis lorsque \(x\) appartient à \([4 \,;\, 10]\).
Exercice 5 – La température de la serre (4 points)
Dans la serre de Mathis, un capteur relève la température \(T(t)\), en °C, en fonction de l’heure \(t\), pour \(t\) entre 0 et 24. À minuit (\(t = 0\)), il fait 14 °C. Ensuite, la température baisse jusqu’à 6 h, où elle atteint 8 °C. Elle monte alors jusqu’à 15 h, où elle vaut 29 °C, puis elle redescend jusqu’à 12 °C à minuit suivant.
- D’abord, dresse le tableau de variations de la fonction \(T\) sur \([0 \,;\, 24]\).
- Quelles sont la température maximale et la température minimale de la journée ? À quelles heures sont-elles atteintes ?
- Les plantes souffrent quand il fait plus de 27 °C. Combien de fois la température est-elle égale à 27 °C dans la journée ? Les plantes ont-elles souffert ?
- Mathis affirme : « À 20 h, il faisait plus chaud qu’à 22 h. » A-t-il raison ? Justifie.
Réviser tableau de variations et extremums avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon variations d’une fonction puis fonction linéaire et affine avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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