Généralités sur les fonctions : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF. à télécharger en PDF

Soit \(V\) la fonction telle que :

\[V : x \mapsto 18\pi\left[\left(1+\dfrac{x}{6}\right)^{3} - 1\right]\]

Sur la figure ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction \(V\) pour \(x\) compris entre 0 et 8.

1. Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l^{\prime}image du nombre 6 par la fonction \(V\).
2. Calculer la valeur exacte de \(V(6)\).
3. En déduire l^{\prime}arrondi à l^{\prime}unité de l^{\prime}image du nombre 6 par la fonction \(V\).
4. Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l^{\prime}antécédent par la fonction \(V\) du nombre 250.

La courbe ci-contre représente la distance \(d\) parcourue par un coureur à pied, en km, en fonction de la durée \(t\) de parcours, en minutes. Ce coureur s’efforce de maintenir, sur terrain plat, une vitesse constante égale à 12 km/h.

1. Peut-on dire que la vitesse du sportif a été constante durant toute sa course ?
2. Le coureur s’est-il arrêté ? Si oui, pendant combien de temps ?
3. Quelle est l’image de 5 par la fonction \(d : t \mapsto d(t)\) ? Que signifie dans la pratique ce résultat ?
4. Quel est l^{\prime}antécédent de 6 par la fonction \(d : t \mapsto d(t)\) ? Quelle a été la durée du parcours de 6 km effectuée par le coureur ?
5. Pendant sa course, le coureur a gravi une côte. Quand a certainement dû débuter l’ascension de cette côte ? Quelle était la longueur de cette côte ?
6. Pourquoi peut-on supposer que les 10 dernières minutes de course furent effectuées en descente ?
7. Quelle a été la vitesse moyenne de ce coureur durant les 10 dernières minutes de course ? Quelle a été la vitesse moyenne de ce coureur sur l’ensemble de sa course ?

rappel : \(v = \dfrac{d}{t}\)

Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction \(h\) pour \(x\) compris entre \(-3\) et 9.

Par lecture graphique, déterminer :

1. L'image par \(h\) du nombre 8 ;
2. \(h(-1)\) ;
3. les antécédents par \(h\) du nombre 0 ;
4. l'image par \(h\) du nombre \(-3\) ;
5. les antécédents par \(h\) du nombre \(-2\) ;
6. les antécédents par \(h\) du nombre 2.

Relier le numérique et la géométrie

1. 1. Construire un triangle EFG tel que : \(EF = 5{,}4\ \text{cm}\), \(EG = 7{,}2\ \text{cm}\), \(FG = 9\ \text{cm}\).
   2. M est le point du segment [EF] tel que \(EM = \dfrac{2}{3} \times EF\). Calculer la longueur EM et placer M.
   3. Par M, tracer la parallèle à la droite (FG) ; elle coupe le segment [EG] en N. Calculer EN.
   4. Démontrer que EFG est un triangle rectangle en E. En déduire l’aire du triangle EMN.
2. Par la suite le point M n’est plus fixe mais mobile sur le segment [EF]. On pose \(EM = x\) (en cm).
   1. Entre quelles valeurs \(x\) est-il compris ?
   2. Exprimer la longueur EN en fonction de \(x\).
   3. On note A la fonction qui à \(x\) associe l’aire en \(\text{cm}^2\) du triangle EMN. Déterminer l^{\prime}expression de \(A(x)\).
   4. Voici le graphique de la fonction A.

Lire une valeur approchée :

• de \(A(3{,}5)\) ;
• de l’antécédent de 12.

Une boite est fabriquée dans une plaque de carton carrée de 20 cm de coté. Pour cela on coupe des carrés de X cm et on plie le long des pointillés.

1. Pourquoi X est compris entre 0 et 10 .
2. Quelle est la hauteur de la boite .
3. Calculer l'aire A(x) du carré au fond de la boite en \(\text{cm}^2\) .
4. Calculer le volume V(x) de la boite en \(\text{cm}^3\).
5. Representer V(x) sur un graphique pour les valeurs precedentes .
6. Conjecturer la valeur X pour laquelle le volume est maximum .

Voici un tableau de valeurs correspondant à une fonction \(g\).

Recopie et complète les égalités suivantes.

a. \(g(-0{,}1) = \ldots\)   d. \(g(\ldots) = -4\)

b. \(g(\ldots) = 1\)   e. \(g(0{,}7) = \ldots\)

Ce graphique représente une fonction h.

a. Quelle est l'image de 0 par la fonction h ?

b. Quels nombres ont pour image 0 par la fonction h ?

c. Donner une valeur approchée de :

- l'image de 4 par la fonction h.

- l'image de \(-3\) par la fonction h.

Le tableau suivant est un tableau de valeurs correspondant à une fonction f.

Dans chaque cas, indiquer, d'après le tableau, le (ou les) antécédents du nombre donné par la fonction f.

a. 3,5   b. \(-2\)   c. 2

Ce graphique représente une fonction \(h\).

Recopie et complète le tableau suivant.

a. Calculer la hauteur puis l'aire d'un triangle équilatéral de côté 5 cm.

b. On note \(x\) le côté d'un triangle équilatéral (en cm).

Exprimer sa hauteur en fonction de \(x\).

c. On appelle \(f\) la fonction qui à \(x\) associe l'aire d'un triangle équilatéral de côté \(x\).

- Déterminer une expression de \(f\).

- Calculer \(f(5)\) ; \(f(3)\) et \(f(\sqrt{3})\).

Pour son chien, Aicko, Mr Martin souhaite réaliser un enclos rectangulaire, le long de son mur.

Il dispose de 21 m de grillage.

Il veut utiliser les 21 m de grillage et donner le maximum d'espace pour Aicko.

1) a. Quelle est la longueur de l'enclos si son maître choisit une largeur de 3 m ? de 7 m ?
    b. Quelle est l'aire dont dispose alors Aicko pour se débattre dans ces deux cas ?

2) Mr Martin souhaite que son chien ait le maximum d'espace.

Notons \(x\) la largeur de l'enclos.
a. Donner un encadrement de \(x\) (quelles sont les largeurs minimales et maximales ?)
b. Exprimer, en fonction de \(x\), la longueur de l'enclos.
c. Prouver alors l'expression de l'aire de l'enclos en fonction de \(x\), est \(21x - 2x^{2}\).

Dire si les représentations graphiques données sont, oui ou non, des représentations de fonctions :

Traduis chaque égalité par une phrase contenant le mot image.

a. \(f(4) = 32\)   b. \(h(12) = -4\)

Traduis chaque égalité par une phrase contenant le mot antécédent.

a. \(g(0) = -2{,}9\)   b. \(k(-4) = 1\)

Traduis chaque phrase par une égalité.

a. 4 a pour image 5 par la fonction \(f\).

b. \(-3\) a pour image 0 par la fonction \(g\).

c. L'image de 17,2 par la fonction \(h\) est \(-17\).

d. L'image de \(-31{,}8\) par la fonction \(k\) est \(-3\).

e. 4 a pour antécédent 5 par la fonction \(f\).

f. \(-3\) a pour antécédent 0 par la fonction \(g\).

g. Un antécédent de 7,2 par la fonction \(h\) est \(-1\).

h. Un antécédent de \(-5\) par la fonction \(k\) est \(-8\).

On considère la fonction \(f\) qui à tout nombre associe son carré. Calcule.

a. \(f(2)=\) ……

b. \(f(-3)=\) ……

c. \(f(1{,}2)=\) ……

d. \(f(-3{,}6)=\) ……

e. Donne un antécédent de 4 par \(f\) : ……

f. Donne un antécédent de 5 par \(f\) : ……

Soit la fonction \(k\) qui, à tout nombre \(x\), associe le nombre \(6x^2-7x-3\). Calcule.

a. \(k(0)=\) ……

b. \(k(-1)=\) ……

c. \(k\left(\dfrac{3}{2}\right)=\) ……

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[f : x \longmapsto \dfrac{x+2}{x-1}.\]

a. Pour quelle valeur de \(x\) cette fonction n'est-elle pas définie ? Justifie.

……

b. Calcule.

• \(f(-2)=\) ……
• \(f(-1)=\) ……
• \(f(-0{,}5)=\) ……
• \(f(0)=\) ……
• \(f(2)=\) ……
• \(f(4)=\) ……

c. Déduis-en un antécédent par \(f\) du nombre :

• \(-2\) : ……
• \(-1\) : ……
• \(-0{,}5\) : ……
• 0 : ……
• 2 : ……
• 4 : ……

On considère la fonction \(f : x \longmapsto -3x+7\).

a. Calcule \(f(8)\).

……

b. Calcule l'image de 0.

……

c. Calcule l'antécédent de 2.

……

d. Calcule le nombre qui a pour image 10.

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=-2x^2+8\).

Détermine les images de :

a. 3 b. \(-8\) c. 2,5 d. \(-0{,}1\) e. \(\dfrac{4}{5}\) f. \(\sqrt{5}\)

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=(x-1)^2-4\).

Détermine les images de :

a. 0 b. 1 c. \(-1\) d. \(\dfrac{2}{5}\) e. \(\dfrac{-1}{4}\)

a. ……

b. ……

c. ……

d. ……

e. ……

Calcul d'antécédents

f. Justifie que 2 a un antécédent par la fonction \(g\).

On appelle \(h\) la fonction qui à un nombre associe son résultat obtenu avec le programme de calcul suivant.

• Choisis un nombre.
• Ajoute-lui \(-5\).
• Calcule le carré de la somme obtenue.

a. Complète le tableau de valeurs suivant.

b. Quelle est l^{\prime}image de 0 par \(h\) ? ……

c. Donne un antécédent de 0 par \(h\). ……

On considère ce programme de calcul.

• Choisis un nombre.
• Ajoute-lui 5.
• Multiplie cette somme par 3.
• Soustrais 6 à ce produit.

a. Teste ce programme avec le nombre 2.

……

b. En notant \(x\) le nombre choisi au départ, détermine la fonction \(g\) qui associe à \(x\) le résultat obtenu avec le programme.

……

c. Détermine \(g(0)\).

……

d. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 18 ?

Voici un tableau de valeurs d'une fonction \(h\).

Complète chacune des égalités suivantes.

a. \(h(-2{,}5)=\) ……

b. \(h(\ldots)=-1{,}8\)

c. \(h(0)=\) ……

d. \(h(\ldots)=-1{,}5\)

e. \(h(-0{,}5)=\) ……

f. \(h(\ldots)=1{,}4\)

Voici des indications sur une fonction \(k\).

• L'image de 2 par \(k\) est 5,5.
• \(k : -10 \longmapsto -6\) et \(k(-6)=2\).
• Un antécédent de \(-4\) par \(k\) est 5,5.
• Les antécédents de 5,5 sont 2, \(-4\) et 125.

Complète le tableau grâce à ces indications.

Voici un tableau de valeurs d'une fonction \(g\).

Complète avec image ou antécédent.

a. 1 est …… de \(-2\) par \(g\).

b. 2 est …… de 3 par \(g\).

c. \(-4\) est …… de 1 par \(g\).

d. 2 est …… de \(-1\) par \(g\).

e. 0 est …… de \(-1\) par \(g\).

f. Combien d'image(s) a le nombre 1 par \(g\) ? ……

Ce graphique représente une fonction \(g\) pour \(x\) compris entre \(-5\) et 12.

a. Place le point E de la courbe d'abscisse 1. Quelle est l'ordonnée de E ? ……

b. Place le point F de la courbe d'abscisse 8. Quelle est l'ordonnée de F ? ……

c. Place les points \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\), … de la courbe qui ont pour ordonnée 1 et donne les coordonnées de chacun de ces points.

……

d. Combien de points ont pour ordonnée \(-2\) ? Écris les coordonnées de ces points.

Ce graphique représente une fonction \(k\) pour \(x\) compris entre 0 et 16.

a. L'image de 8 par la fonction \(k\) est …… .

b. Quels sont les antécédents de 2 par \(k\) ?

……

c. Quels nombres ont pour image \(-2\) par \(k\) ?

……

d. Quels sont les antécédents de 0 par \(k\) ?

……

e. Quels nombres entiers ont deux antécédents ?

Ce graphique représente une fonction \(h\).

Complète.

a. \(h(-2)=\) ……

b. \(h(-1)=\) ……

c. \(h(\ldots)=-4\)

d. \(h(0)=\) ……

e. \(h(1)=\) ……

f. \(h(2)=\) ……

g. \(h(\ldots)=3{,}5\)

h. Quels sont les antécédents de 1 par \(h\) ?

……

Voici la représentation graphique d'une fonction \(k\).

a. Complète le tableau de valeurs suivants.

b. Détermine les images de :

• 0,5 : ……
• 1,5 : ……
• \(-1\) : ……
• \(-2{,}5\) : ……

c. Détermine tous les antécédents de :

• \(-0{,}5\) : ……
• 2 : ……
• 3 : ……
• \(-2{,}5\) : ……

Ce graphique représente la courbe d'une fonction \(g\). Par lecture graphique, complète les phrases.

a. L'image de 1 par la fonction \(g\) est …… .

b. Les antécédents de 0 par la fonction \(g\) sont

……

c. \(g(2)=\) ……

d. Les nombres qui ont pour image \(-3\) par la fonction \(g\) sont …… .

Ce graphique présente les variations de vitesse d'une voiture sur un circuit plat de 3 km au cours du 2^e tour.

Voici le tracé de cinq circuits. Sur lequel de ces circuits la voiture roulait-elle ?

Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l'arc. Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de la flèche est représentée ci-après.

La courbe donne la hauteur (en m) en fonction de la distance horizontale (en m) parcourue par la flèche.

1. Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques.

a. De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?

b. À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol ?

c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?

2. Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des calculs.

La courbe ci-dessus représente la fonction \(f\) définie par \(f(x)=-0{,}1x^2+0{,}9x+1\).

a. Calculer \(f(4)\) et \(f(5)\).

b. La flèche s'élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur ?

soit la fonction \(f\) définie par \(f : x \longmapsto (x-3)^2\)

1) Calculer les images de 2 et de 5 par \(f\).

2) Que représente \(f(-1)\) pour le nombre \(-1\) ?

3) Calculer \(f(-1)\).

soit la fonction \(g\) définie par \(g : x \longmapsto x^2+7\).

1) Calculer les images de 0 et de 2,5 par \(g\).

2) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

Un cycliste effectue une descente sur une route sinueuse. La courbe \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous représente, pour une durée d^{\prime}une minute, la fonction \(f\) qui, à chaque instant, indique la vitesse affichée par son compteur.

1) Que signifie en pratique pour le cycliste l^{\prime}information \(f(10)=55\) ?

2) Lire avec la précision que permet la figure et sans tracés supplémentaires les images : \(f(20)\) ; \(f(30)\) ; \(f(35)\) ; \(f(50)\).

On a fait, à l’aide d’un tableur, une partie de la courbe représentative de la fonction

\(h : x \longmapsto x(17-2x)\)

1) Lire sur le graphique et compléter :

\(h(1)=\ldots\)

\(h(6)=\ldots\)

2) Lire sur le graphique l^{\prime}image de 2 puis le(s) antécédent(s) de 21.

3) Lire sur le graphique quelle semble être la valeur maximum de \(h(x)\).

4) Calculer l’image de 3

5) Calculer le(s) antécédent(s) de 0.

Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction \(h\) pour \(x\) compris entre \(-3\) et 9.

Par lecture graphique, déterminer :

1) L'image par \(h\) du nombre 8 ;

2) \(h(-1)\) ;

3) les antécédents par \(h\) du nombre 0 ;

4) l'image par \(h\) du nombre \(-3\) ;

5) les antécédents par \(h\) du nombre \(-2\) ;

6) les antécédents par \(h\) du nombre 2.

ce graphique définit une fonction \(h\).

1) Déterminer graphiquement :

a) L'image de \(-1\).

b) Le(s) antécédent(s) de 2.

c) L'image de 1,5

d) Le(s) antécédent(s) de \(-1\).

2) Lire \(h(0{,}5)\), \(h(-1{,}5)\) et \(h(0)\).

3) Citer un nombre qui :

a) N'a aucun antécédent ;

b) A un seul antécédent ;

c) A trois antécédents.

\(f\) est la fonction définie par ce graphique.

1. Lire les images de \(0\), de \(2\), de \(5\).
2. Lire les antécédents de \(1\) et de \(-1\).
3. Citer un nombre qui n'a pas d'antécédent.

\(g\) est la fonction définie par ce graphique.

1. Lire l'image de \(0\).
2. Lire les antécédents de \(0\).
3. Lire les antécédents de \(-1\), de \(1\).

Soit \(f\) la fonction pour \(-7 \leqslant x \leqslant 13\).

1. \(f(5)\) ; \(f(10)\)
2. \(f(x) = -1\)
3. Les antécédents de \(4\) puis \(3\).
4. Image de \(2\).

Voici le graphe d'une fonction \(f\).

1. Donner l'image de \(3\) par \(f\).
2. Donner \(f(1)\).
3. Quel est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \(-2\) ?
4. Quels sont les antécédents de \(0\) par \(f\) ?
5. Donner un nombre qui n'a pas d'antécédent par \(f\).

\(f\) désigne une fonction.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

2. Traduire en français l'égalité \(f(-3) = 4\) de deux façons différentes.