Injections, surjections et relations en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Opérations sur trois intervalles

On considère les parties de \(\mathbb{R}\) suivantes : \(U = [-2, 3[\), \(V = ]1, 5]\) et \(W = ]-\infty, 0]\).

1. Écrire sous forme d’intervalles ou de réunions d’intervalles : \(U \cup V\), \(U \cap V\), \(U \setminus V\) et \(V \setminus U\).
2. Déterminer \(U \cap W\), puis son complémentaire dans \(\mathbb{R}\). Déterminer \(V \cap W\).
3. Écrire la liste des éléments de \(\{0, 1\} \times \{a, b, c\}\) et donner son nombre d’éléments.
4. Les ensembles \(U \times V\) et \(V \times U\) sont-ils égaux ?

Exercice 2 – Appartenance ou inclusion dans un ensemble de parties

Soit \(X = \{1, 2, 3\}\).

1. Écrire la liste des éléments de \(\mathcal{P}(X)\).
2. Dire si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse : \(\varnothing \in \mathcal{P}(X)\) ; \(\varnothing \subset \mathcal{P}(X)\) ; \(\{1\} \in \mathcal{P}(X)\) ; \(\{1\} \subset \mathcal{P}(X)\) ; \(\{\{1\}, X\} \subset \mathcal{P}(X)\).
3. Déterminer \(\mathcal{P}(\varnothing)\), puis \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))\).

Exercice 3 – Quatre applications à classer

Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, surjective, bijective. Justifier chaque réponse.

1. \(f_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto 2x – 7\).
2. \(f_2 : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(n \mapsto n + 3\).
3. \(f_3 : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\), \(n \mapsto |n|\).
4. \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto \dfrac{x}{1 + x^2}\). On déterminera aussi \(g(\mathbb{R})\).

Exercice 4 – Images d’intervalles par une parabole

Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = (x – 1)^2\), dont la courbe est tracée ci-dessous.

1. Déterminer \(f([0, 3])\) et \(f([2, 3])\).
2. Déterminer \(f^{-1}([1, 9])\), \(f^{-1}(]-\infty, 0[)\) et \(f^{-1}(\{4\})\).
3. Comparer \(f^{-1}(f([2, 3]))\) et \([2, 3]\).

Exercice 5 – Partitions ou non

Dire, en justifiant, si chaque famille est une partition de l’ensemble indiqué.

1. \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\), \(\{2, 4, 8\}\), \(\{6, 10\}\) pour l’ensemble \(\{1, \ldots, 10\}\).
2. \(\{1, 2, 3\}\), \(\{3, 4, 5\}\), \(\{6, \ldots, 10\}\) pour le même ensemble.
3. \(\varnothing\), \(\{1, \ldots, 5\}\), \(\{6, \ldots, 10\}\) pour le même ensemble.
4. Les intervalles \([k, k + 1[\), pour \(k \in \mathbb{Z}\), pour l’ensemble \(\mathbb{R}\).

Exercice 6 – Premiers calculs avec des fonctions indicatrices

Soient \(U\) et \(V\) deux parties d’un ensemble \(X\).

1. Montrer que \(\mathbf{1}_U^2 = \mathbf{1}_U\) et que \(\mathbf{1}_{U \cap V} = \mathbf{1}_U \mathbf{1}_V\).
2. Montrer que \(\mathbf{1}_{\overline{U}} = 1 – \mathbf{1}_U\), puis que \(\mathbf{1}_{U \cup V} = \mathbf{1}_U + \mathbf{1}_V – \mathbf{1}_U \mathbf{1}_V\).
3. Montrer que \(U \subset V\) si et seulement si \(\mathbf{1}_U \leq \mathbf{1}_V\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Différence symétrique et indicatrices

Pour deux parties \(U\) et \(V\) de \(X\), on pose \(U \Delta V = (U \setminus V) \cup (V \setminus U)\).

1. Montrer que \(\mathbf{1}_{U \Delta V} = \mathbf{1}_U + \mathbf{1}_V – 2\, \mathbf{1}_U \mathbf{1}_V = (\mathbf{1}_U – \mathbf{1}_V)^2\).
2. Démontrer avec les indicatrices que \(\overline{U \cup V} = \overline{U} \cap \overline{V}\).
3. Montrer que, pour toutes parties \(U\), \(V\), \(W\), on a \((U \Delta V) \Delta W = U \Delta (V \Delta W)\).
4. Montrer que \(U \Delta V = \varnothing\) si et seulement si \(U = V\).

Exercice 8 – Image directe d’une intersection

Soit \(f \colon X \to Y\), et soient \(U, V \subset X\) et \(W, T \subset Y\).

1. Montrer que \(f(U \cap V) \subset f(U) \cap f(V)\).
2. Avec \(f \colon x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\), \(U = [-2, -1]\) et \(V = [1, 2]\), montrer que l’inclusion peut être stricte.
3. Montrer que l’égalité est vraie pour toutes parties \(U\) et \(V\) lorsque \(f\) est injective.
4. Montrer que \(f^{-1}(W \cap T) = f^{-1}(W) \cap f^{-1}(T)\) et que \(f^{-1}(Y \setminus W) = X \setminus f^{-1}(W)\).

Exercice 9 – Aller-retour entre image directe et image réciproque

Soit \(f \colon X \to Y\), \(U \subset X\) et \(W \subset Y\).

1. Montrer que \(U \subset f^{-1}(f(U))\) et que \(f(f^{-1}(W)) \subset W\).
2. Avec \(f \colon x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\), calculer \(f^{-1}(f([0, 1]))\) et \(f(f^{-1}([-4, 1]))\).
3. Montrer que si \(f\) est injective, alors \(f^{-1}(f(U)) = U\).
4. Montrer que si \(f\) est surjective, alors \(f(f^{-1}(W)) = W\).

Exercice 10 – Une homographie bijective

Soit \(f \colon \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\}\) définie par \(f(x) = \dfrac{3x + 1}{x – 2}\).

1. Vérifier que \(f\) est bien à valeurs dans \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\).
2. Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
3. Calculer \(f \circ f(0)\) et \(f^{-1}(7)\).

Exercice 11 – Deux applications du plan

On définit \(f, g \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = (x + 2y, x – y)\) et \(g(x, y) = (x + 2y, 2x + 4y)\).

1. Montrer que \(f\) est bijective et expliciter \(f^{-1}\).
2. Déterminer l’image par \(f\) des quatre sommets du carré \([0, 1]^2\).
3. Montrer que \(g\) n’est ni injective ni surjective, et déterminer \(g(\mathbb{R}^2)\).

Exercice 12 – Injectivité et surjectivité d’une composée

Soient \(f \colon X \to Y\) et \(g \colon Y \to Z\).

1. On suppose que la composée \(g \circ f\) est injective. Prouver qu’il en va de même pour \(f\).
2. On suppose cette fois que \(g \circ f\) est surjective. Établir alors que \(g\) l’est aussi.
3. On définit sur \(\mathbb{N}\) les applications \(f(n) = n + 1\), puis \(g(0) = 0\) et \(g(n) = n – 1\) pour \(n \geq 1\). Calculer \(g \circ f\). Que dire de \(f\) et de \(g\) ?
4. Enfin, on suppose \(g \circ f\) bijective et \(g\) injective. Prouver que \(f\) est alors bijective.

Exercice 13 – Relation définie par x² – x = y² – y

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \mathcal{R} y\) si \(x^2 – x = y^2 – y\). La figure montre la courbe de \(\varphi : x \mapsto x^2 – x\).

1. Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence.
2. Montrer que \(x \mathcal{R} y\) si et seulement si \(y = x\) ou \(y = 1 – x\).
3. Décrire la classe de chaque réel. Quels réels ont une classe réduite à un élément ?

Exercice 14 – Une relation sur Z liée au nombre 5

Sur \(\mathbb{Z}\), on pose \(a \mathcal{S} b\) si \(5\) divise \(2a + 3b\).

1. Montrer que \(\mathcal{S}\) est une relation d’équivalence.
2. Montrer que \(a \mathcal{S} b\) si et seulement si \(5\) divise \(a – b\).
3. En déduire le nombre de classes et donner un représentant de chacune.

Exercice 15 – Divisibilité et diviseurs de 18

1. Montrer que la divisibilité est une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}^{*}\). Cet ordre est-il total ?
2. On restreint cet ordre à l’ensemble \(T\) des diviseurs positifs de \(18\). Représenter \(T\) en reliant \(a\) à \(b\) lorsque \(a\) divise \(b\) sans diviseur intermédiaire.
3. La partie \(\{2, 3, 6, 9\}\) admet-elle un plus grand élément, un plus petit élément ? Déterminer ses majorants dans \(T\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Aucune surjection vers l’ensemble des parties

1. Soit \(X = \{1, 2, 3\}\) et \(f \colon X \to \mathcal{P}(X)\) définie par \(f(1) = \{2, 3\}\), \(f(2) = \{2\}\) et \(f(3) = \varnothing\). Déterminer \(T = \{x \in X,\ x \notin f(x)\}\). Est-ce une image par \(f\) ?
2. Soit \(X\) un ensemble quelconque et \(f \colon X \to \mathcal{P}(X)\). Montrer par l’absurde que \(T = \{x \in X,\ x \notin f(x)\}\) n’a pas d’antécédent. Conclure.
3. Soit \(n \geq 1\) et \(X = \{1, \ldots, n\}\). Montrer que \(U \mapsto (\mathbf{1}_U(1), \ldots, \mathbf{1}_U(n))\) est une bijection de \(\mathcal{P}(X)\) sur \(\{0, 1\}^n\). En déduire le nombre de parties de \(X\).

Exercice 17 – Ordre lexicographique sur les couples d’entiers

Sur \(\mathbb{N}^2\), on pose \((a, b) \preccurlyeq (c, d)\) si \(a < c\), ou si \(a = c\) et \(b \leq d\).

1. Montrer que \(\preccurlyeq\) est une relation d’ordre total.
2. On pose \((a, b) \leq_p (c, d)\) si \(a \leq c\) et \(b \leq d\). Montrer que c’est une relation d’ordre, mais qu’elle n’est pas totale.
3. Montrer que toute partie non vide de \(\mathbb{N}^2\) admet un plus petit élément pour \(\preccurlyeq\).
4. Montrer que l’élément \((1, 0)\) a une infinité d’éléments strictement plus petits que lui pour \(\preccurlyeq\). Comparer avec l’ordre usuel de \(\mathbb{N}\).

Exercice 18 – Problème : relation associée à une application

On se donne une application \(f\) de \(X\) vers \(Y\). Ensuite, on déclare deux éléments \(x\) et \(x^{\prime}\) de \(X\) liés, et l’on note \(x \sim x^{\prime}\), lorsqu’ils ont la même image par \(f\).

1. Vérifier d’abord que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
2. Exprimer ensuite la classe de \(x\) à l’aide d’une image réciproque par \(f\).
3. Soit \(Q\) l’ensemble des classes. On veut associer à la classe de \(x\) l’élément \(f(x)\) de \(f(X)\). Justifier que ce procédé a un sens, autrement dit que deux représentants d’une même classe donnent le même résultat. On note \(\Phi\) l’application de \(Q\) vers \(f(X)\) ainsi obtenue.
4. Prouver alors que \(\Phi\) est à la fois injective et surjective.
5. Par ailleurs, caractériser l’injectivité de \(f\) à l’aide du nombre d’éléments de chaque classe.
6. Application : on prend \(X = \mathbb{R}^2\), \(Y = \mathbb{R}\) et \(f(x, y) = x – 2y\). Décrire géométriquement les classes, puis expliciter \(\Phi\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «injections, surjections et relations en maths sup (MPSI) : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 761 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.