QCM : Tonelli, Fubini et jacobien en L3 de maths
Ce QCM Fubini L3 vérifie que tu sais manipuler les intégrales multiples au sens de Lebesgue. On commence par la tribu produit et la mesure produit, puis on passe aux hypothèses exactes du théorème de Tonelli et de celui de Fubini, avec deux contre-exemples où l’interversion échoue. La seconde moitié porte sur le changement de variables : effet d’une application linéaire, coordonnées polaires et sphériques, calcul de volume et produit de convolution.
Pour progresser, réponds aux douze questions sans le cours, au brouillon, en écrivant à chaque fois l’hypothèse que tu utilises avant de calculer. Lis ensuite toutes les explications : elles détaillent le bon raisonnement et nomment l’erreur qui conduit à chaque mauvaise réponse. Un oubli du jacobien ou de la positivité mérite une relecture du théorème.
Les 12 questions
Question 1
Soient \((X,\mathcal{A})\) et \((Y,\mathcal{B})\) deux espaces mesurables. Par définition, la tribu produit \(\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}\) est :
- L’ensemble des pavés \(A\times B\), avec \(A\in\mathcal{A}\) et \(B\in\mathcal{B}\)
- L’ensemble des parties de \(X\times Y\) dont toutes les sections sont mesurables
- La tribu engendrée par les pavés \(A\times B\), avec \(A\in\mathcal{A}\) et \(B\in\mathcal{B}\)
- La tribu engendrée par les réunions \(A\cup B\), avec \(A\in\mathcal{A}\) et \(B\in\mathcal{B}\)
Réponse C.
Les pavés forment seulement une classe stable par intersection finie ; en effet, la réunion de deux pavés n’est pas un pavé, donc cette classe n’est pas une tribu. On prend alors la tribu qu’elle engendre. Le piège des sections est subtil : toute partie de la tribu produit a des sections mesurables, cependant la réciproque est fausse en général.
Question 2
On note \(c\) la mesure de comptage sur \(\{1,2,3\}\) et \(\lambda\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\). Que vaut \((c\otimes\lambda)(\{1,2\}\times[0,5])\) ?
- \(7\)
- \(10\)
- \(15\)
- \(5\)
Réponse B.
Sur un pavé, la mesure produit vaut le produit des mesures : \(c(\{1,2\})\times\lambda([0,5])=2\times 5=10\). Additionner les deux mesures donne 7, ce qui confond produit et somme. Le résultat 15 provient du cardinal de \(\{1,2,3\}\) tout entier. Enfin, 5 revient à oublier la mesure de comptage, comme si le premier facteur était de mesure 1.
Question 3
Soit \(f\) une fonction mesurable positive sur \(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\), muni de \(\lambda\otimes\lambda\). Que faut-il vérifier en plus pour intervertir les deux intégrations grâce au théorème de Tonelli ?
- Que \(f\) soit intégrable pour la mesure produit \(\lambda\otimes\lambda\)
- Que \(f\) soit continue sur \(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\)
- Que \(f\) soit bornée sur \(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\)
- Rien de plus, car \(\lambda\) est σ-finie
Réponse D.
Le théorème de Tonelli s’applique à toute fonction mesurable à valeurs dans \([0,+\infty]\), sur un produit d’espaces σ-finis. Les trois intégrales coïncident alors, quitte à valoir \(+\infty\). Ainsi, l’intégrabilité n’est pas une hypothèse de Tonelli ; c’est le théorème de Fubini qui la réclame pour les fonctions de signe quelconque. Continuité et bornitude sont inutiles.
Question 4
Pour \(f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\) sur \(]0,1[^2\), on trouve \(\displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\) et \(\displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=-\frac{\pi}{4}\). Que peut-on en conclure ?
- \(f\) n’est pas mesurable pour la tribu borélienne de \(\mathbb{R}^2\)
- Le théorème de Fubini est faux pour la mesure de Lebesgue
- \(f\) n’est pas intégrable sur \(]0,1[^2\) pour la mesure \(\lambda\otimes\lambda\)
- La mesure de Lebesgue sur \(]0,1[\) n’est pas σ-finie
Réponse C.
La fonction \(f\) est continue, donc borélienne, et \(\lambda\) est finie sur \(]0,1[\). Si \(f\) était intégrable, le théorème de Fubini imposerait l’égalité des deux intégrales itérées. Par conséquent, \(\int\!\!\int|f|=+\infty\). Le piège consiste à accuser le théorème lui-même : il n’est pas faux, son hypothèse d’intégrabilité n’est simplement pas satisfaite.
Question 5
Sur \([0,1]\times[0,1]\), on considère la diagonale \(\Delta\), la mesure de Lebesgue \(\lambda\) en \(x\) et la mesure de comptage \(c\) en \(y\). On trouve \(\int\!\left(\int\mathbf{1}_\Delta\,\mathrm{d}\lambda(x)\right)\mathrm{d}c(y)=0\), mais \(1\) dans l’autre ordre. Quelle hypothèse de Tonelli manque ?
- La mesurabilité de \(\Delta\) pour la tribu produit
- La positivité de la fonction \(\mathbf{1}_\Delta\)
- La σ-finitude de la mesure de comptage sur \([0,1]\)
- La complétude de la tribu de Lebesgue sur \([0,1]\)
Réponse C.
La diagonale est fermée, donc borélienne dans le carré ; de plus, son indicatrice est positive. En revanche, \([0,1]\) n’est pas une réunion dénombrable de parties de cardinal fini, donc \(c\) n’est pas σ-finie. Le piège est de soupçonner la mesurabilité de \(\Delta\). Ce contre-exemple montre ainsi que l’hypothèse de σ-finitude ne peut pas être retirée.
Question 6
On note \(D\) le disque unité fermé de \(\mathbb{R}^2\) et \(u\) l’application linéaire de matrice \(\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\). Que vaut l’aire \(\lambda_2(u(D))\) ?
- \(6\pi\)
- \(5\pi\)
- \(36\pi\)
- \(\sqrt{6}\,\pi\)
Réponse A.
Pour une application linéaire \(u\) et un borélien \(E\), on a \(\lambda_n(u(E))=|\det u|\,\lambda_n(E)\). Ici, \(\det u=6\) et \(\lambda_2(D)=\pi\), donc l’aire vaut \(6\pi\). Le résultat \(5\pi\) utilise la trace à la place du déterminant. Quant à \(36\pi\), il élève le déterminant au carré, comme on le ferait pour un produit scalaire.
Question 7
Soient \(U\) et \(V\) deux ouverts de \(\mathbb{R}^n\), \(\varphi:U\to V\) un \(C^1\)-difféomorphisme et \(f\) intégrable sur \(V\). Quelle formule de changement de variables est correcte ?
- \(\int_V f(y)\,\mathrm{d}y=\int_U f(\varphi(x))\,\det J_\varphi(x)\,\mathrm{d}x\)
- \(\int_V f(y)\,\mathrm{d}y=\int_U f(\varphi(x))\,|\det J_\varphi(x)|\,\mathrm{d}x\)
- \(\int_V f(y)\,\mathrm{d}y=\int_U \frac{f(\varphi(x))}{|\det J_\varphi(x)|}\,\mathrm{d}x\)
- \(\int_V f(y)\,\mathrm{d}y=\int_U f(\varphi(x))\,\mathrm{d}x\)
Réponse B.
Le jacobien mesure la dilatation locale des volumes ; or une mesure est positive, donc c’est la valeur absolue du déterminant qui intervient. Le signe ne compte qu’en dimension 1, avec des bornes orientées. Diviser par le jacobien revient à confondre \(\varphi\) et sa réciproque. Enfin, l’omettre suppose que \(\varphi\) conserve les volumes, ce qui est faux en général.
Question 8
En coordonnées polaires, que vaut \(\displaystyle\iint_{x^2+y^2\leqslant 4}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) ?
- \(8\pi\)
- \(\dfrac{16\pi}{3}\)
- \(32\pi\)
- \(4\pi\)
Réponse A.
Avec \(x=r\cos\theta\) et \(y=r\sin\theta\), l’élément d’aire devient \(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\). L’intégrale vaut donc \(2\pi\int_0^2 r^3\,\mathrm{d}r=2\pi\times 4=8\pi\). Oublier le facteur \(r\) donne \(2\pi\times\frac{8}{3}=\frac{16\pi}{3}\). De même, \(32\pi\) vient d’une primitive \(r^4\) non divisée par 4.
Question 9
On note \(B\) la boule unité ouverte de \(\mathbb{R}^3\) et \(\|\cdot\|\) la norme euclidienne. Que vaut \(\displaystyle\int_B \frac{\mathrm{d}x}{\|x\|}\) ?
- \(\dfrac{4\pi}{3}\)
- \(4\pi\)
- \(+\infty\)
- \(2\pi\)
Réponse D.
En coordonnées sphériques, l’élément de volume vaut \(r^2\sin\phi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\), et l’intégrale des angles donne \(4\pi\). Il reste \(4\pi\int_0^1 r\,\mathrm{d}r=2\pi\). La valeur \(+\infty\) est un piège : en dimension 3, le facteur \(r^2\) compense largement la singularité en 0. Par ailleurs, \(\frac{4\pi}{3}\) est le volume de la boule.
Question 10
Quel est le volume du solide \(K=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2\leqslant z\leqslant 1\}\), compris sous le plan \(z=1\) et au-dessus d’un paraboloïde ?
- \(\dfrac{\pi}{3}\)
- \(\dfrac{\pi}{2}\)
- \(\pi\)
- \(\dfrac{\pi}{4}\)
Réponse B.
On découpe en tranches horizontales grâce à Tonelli. À la hauteur \(z\in[0,1]\), la section est un disque de rayon \(\sqrt{z}\), donc d’aire \(\pi z\). Ainsi, le volume vaut \(\int_0^1\pi z\,\mathrm{d}z=\frac{\pi}{2}\). La réponse \(\frac{\pi}{3}\) correspond au cône de même hauteur. Quant à \(\pi\), c’est le volume du cylindre qui contient \(K\).
Question 11
On pose \(g=\mathbf{1}_{[0,1]}*\mathbf{1}_{[0,1]}\), c’est-à-dire \(g(x)=\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{[0,1]}(t)\,\mathbf{1}_{[0,1]}(x-t)\,\mathrm{d}t\). Que vaut \(g\!\left(\frac{3}{2}\right)\) ?
- \(\dfrac{1}{2}\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(\dfrac{1}{4}\)
Réponse A.
Le produit des deux indicatrices vaut 1 exactement lorsque \(t\in[0,1]\cap[x-1,x]\). Pour \(x=\frac{3}{2}\), cette intersection est \(\left[\frac{1}{2},1\right]\), de longueur \(\frac{1}{2}\). Répondre 0 revient à croire que la convolée garde le support \([0,1]\) ; en réalité, son support est \([0,2]\). De plus, \(g\) est la fonction triangle, qui vaut 1 seulement en \(x=1\).
Question 12
Soient \(f(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x)\) et \(h=\mathbf{1}_{[0,2]}\). Sans calculer \(f*h\), que vaut \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}(f*h)(x)\,\mathrm{d}x\) ?
- \(1\)
- \(1-e^{-2}\)
- \(2\left(1-e^{-2}\right)\)
- \(2\)
Réponse D.
Les deux fonctions sont positives et mesurables ; on peut donc appliquer Tonelli à \((x,t)\mapsto f(t)h(x-t)\). En intégrant d’abord en \(x\), on obtient \(\int f*h=\int f\times\int h=1\times 2=2\). La réponse \(1-e^{-2}\) restreint à tort \(\int f\) à l’intervalle \([0,2]\). Quant à 1, il oublie la longueur du support de \(h\).
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L3 de maths sur tonelli, Fubini et jacobien
- S’exercer : exercices corrigés sur tonelli, Fubini et jacobien
- QCM précédent : QCM : Théorèmes de convergence de Lebesgue en L3 de maths
- QCM suivant : QCM : Hölder, Minkowski et Riesz-Fischer en L3 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
