QCM : Holomorphie et formule de Cauchy en L3 de maths

Réponse A.

Avec \(u=x^2-y^2\) et \(v=axy\), les conditions de Cauchy-Riemann s’écrivent \(u_x=v_y\) et \(u_y=-v_x\). La première donne \(2x=ax\), la seconde \(-2y=-ay\) ; ainsi, \(a=2\), et \(f(z)=z^2\). Le piège \(a=-2\) vient d’une erreur de signe dans la seconde condition. Quant à \(a=0\), il fournit une fonction réelle non constante, jamais holomorphe.

Réponse D.

Ici, \(u=x^2+y^2\) et \(v=0\). Les conditions de Cauchy-Riemann imposent \(2x=0\) et \(2y=0\), donc seule l’origine peut convenir. De fait, \(|h|^2/h=\bar{h}\) tend vers 0, si bien que la dérivée en 0 existe et vaut 0. La fonction n’est cependant holomorphe sur aucun ouvert. Le piège « aucun point » oublie ce cas isolé, tandis que l’axe réel ne vérifie que la première condition.

Réponse A.

En écrivant \(z=x+iy\), on a \(e^z=e^x e^{iy}\). Il faut donc \(e^x=2\), soit \(x=\ln 2\), et \(e^{iy}=-1\), soit \(y\) multiple impair de \(\pi\). Le piège \(\ln 2+2ik\pi\) résout \(e^z=2\), en oubliant le signe. Le piège « \(\ln 2+i\pi\) seulement » oublie la périodicité : l’exponentielle complexe est \(2i\pi\)-périodique, donc elle n’est pas injective.

Réponse C.

Par définition, l’intégrale vaut \(\int_0^{2\pi}e^{-it}\,ie^{it}\,\mathrm{d}t=\int_0^{2\pi}i\,\mathrm{d}t=2i\pi\). On peut aussi remarquer que \(\bar{z}=1/z\) sur le cercle. Le piège 0 applique le théorème de Cauchy à \(\bar{z}\), qui n’est pas holomorphe. La réponse \(2\pi\) oublie le facteur \(i\) de \(\gamma^{\prime}(t)\).

Réponse C.

Sur un ouvert étoilé, toute fonction holomorphe admet une primitive, donc son intégrale sur un lacet est nulle. Or \(\mathbb{C}^*\) n’est étoilé par rapport à aucun point, à cause du trou en 0. D’ailleurs, l’intégrale non nulle prouve que \(1/z\) n’a pas de primitive sur \(\mathbb{C}^*\) : un logarithme continu y est impossible. Le piège sur l’holomorphie est faux, car \(1/z\) est bien holomorphe.

Réponse B.

Les racines du dénominateur sont \(1\pm 2i\), de module \(\sqrt{5}\). Une fonction holomorphe sur le disque \(D(0,r)\) y est développable en série entière ; donc le rayon vaut au moins \(\sqrt{5}\). Il ne peut pas être plus grand, car \(|f|\) tend vers l’infini près de \(1+2i\). Le piège 5 confond le module et son carré. La réponse 1 ne regarde que la partie réelle des pôles.

Réponse D.

La fonction \(e^z\) est entière, et le point 1 se trouve à l’intérieur de \(C_2\). La formule intégrale de Cauchy donne donc \(2i\pi\,e^1\). Le piège \(2i\pi\) évalue l’exponentielle en 0, le centre du cercle, au lieu du point singulier. Quant à 0, il serait juste si le point 1 était hors du disque, par exemple sur un cercle de rayon \(\frac{1}{2}\).

Réponse B.

La formule de Cauchy pour les dérivées donne \(\int_{C_1}\frac{g(z)}{z^{n+1}}\,\mathrm{d}z=\frac{2i\pi}{n!}g^{(n)}(0)\). Ici, \(n=2\) et \(\cos^{\prime\prime}(0)=-1\), donc on obtient \(\frac{2i\pi}{2}\times(-1)=-i\pi\). Le piège \(-2i\pi\) oublie la factorielle. De même, \(i\pi\) oublie le signe de la dérivée seconde du cosinus.

Réponse A.

Sur le disque \(D(0,1)\), \(f\) et \(z/(1+z)\) coïncident en les points \(\frac{1}{n}\), qui s’accumulent en 0. Par le principe des zéros isolés, puis par prolongement à l’ouvert connexe \(\mathbb{C}\setminus\{-1\}\), elles sont égales. Ainsi, \(f\) serait non bornée près de \(-1\), ce qui est absurde pour une fonction entière. Affirmer que \(f(z)=\frac{z}{1+z}\) convient oublie le pôle. Le piège \(\frac{1}{1+z}\) se trompe de formule : en \(z=\frac{1}{n}\), \(\frac{1}{1+z}\) vaut \(\frac{n}{n+1}\).

Réponse B.

On pose \(g=e^{f}\), qui est entière et vérifie \(|g|=e^{\mathrm{Re}\,f}\leqslant e^4\). D’après le théorème de Liouville, \(g\) est constante ; donc \(g^{\prime}=f^{\prime}e^{f}=0\), puis \(f^{\prime}=0\). Le piège « rien de plus » croit que Liouville exige une borne sur \(|f|\) : en réalité, on se ramène à ce cas en composant. Enfin, rien n’impose la valeur 0.

Réponse C.

Comme \(P\) ne s’annule pas, \(1/P\) est entière. De plus, \(|P(z)|\) tend vers l’infini avec \(|z|\), donc \(1/P\) est bornée hors d’un disque, et aussi sur ce disque compact. Par Liouville, \(1/P\) est constante, ce qui contredit le fait que \(P\) ne l’est pas. L’argument « \(P\) entière et bornée » échoue : un polynôme non constant n’est jamais borné. L’argument « \(1/P\) tend vers 0 » conclut à une constante nulle, impossible pour \(1/P\).

Réponse D.

Le maximum du module d’une fonction holomorphe sur un disque fermé est atteint sur le cercle. Pour \(|z|=1\), on a \(|z^2+2z|=|z|\,|z+2|=|z+2|\leqslant 3\), avec égalité en \(z=1\). Le piège 1 confond le maximum de \(|z|\) avec celui de \(|z^2+2z|\). La réponse \(\sqrt{5}\) correspond à la valeur en \(z=i\), qui n’est pas optimale.