QCM : Projection orthogonale en L2 de maths

Réponse A.

La forme quadratique associée vaut \(2x^2+2xy+y^2=x^2+(x+y)^2\), strictement positive hors de l’origine : la forme est donc définie positive. Le piège \(xs+xt+sy+yt\) donne \((x+y)^2\), nul pour \((1,-1)\) : elle n’est pas définie. Le piège \(xs-yt\) prend des valeurs négatives. Enfin, \(x^2+6xy+y^2\) est négatif en \((1,-1)\).

Réponse D.

L’expression est le produit scalaire de \((x,y,z)\) avec \(w=(2,-1,2)\), de norme \(\sqrt{4+1+4}=3\). L’inégalité de Cauchy-Schwarz la majore donc par 3, avec égalité pour \((x,y,z)=\frac{w}{3}\). Le piège 5 additionne les valeurs absolues des coefficients. La réponse 9 oublie la racine carrée. Quant à \(\sqrt{5}\), il ne garde que deux coordonnées.

Réponse B.

Le produit scalaire vaut \(3+2a-1=2+2a\), nul pour \(a=-1\). Le théorème de Pythagore donne alors \(\|u\|^2+\|v\|^2=6+11=17\). On le vérifie avec \(u+v=(4,1,0)\). Le piège \(a=-2\) fait une erreur de signe sur le produit \(-1\times 1\). Le piège \(\|u+v\|^2=\sqrt{17}\) confond le carré de la norme avec la norme.

Réponse C.

Dans une base orthonormée, chaque coordonnée est un produit scalaire. On obtient \(\langle x,e_1\rangle=3+8=11\) et \(\langle x,e_2\rangle=4-6=-2\). On vérifie : \(11e_1-2e_2\) redonne bien \((5,10)\). Le piège \((55,-10)\) utilise les vecteurs \((3,4)\) et \((4,-3)\), non normés. La réponse \((2{,}2\,;-0{,}4)\) divise par 5 une fois de trop. Enfin, \((-2,11)\) inverse l’ordre des vecteurs.

Réponse D.

On retire à \(v_2\) sa composante sur \(v_1\) : le coefficient vaut \(\frac{\langle v_2,v_1\rangle}{\|v_1\|^2}=\frac{2}{2}=1\). Donc \(v_2-v_1=(1,1,-1)\), orthogonal à \(v_1\), puis on normalise. Le piège \((3,1,1)\) ajoute \(v_1\) au lieu de le retrancher. Le vecteur \((2,1,0)\) oublie l’orthogonalisation. Enfin, diviser par 3 au lieu de \(\sqrt{3}\) ne donne pas un vecteur unitaire.

Réponse C.

L’équation s’écrit \(\langle(1,-2,3),(x,y,z)\rangle=0\). Ainsi, \(P\) est exactement l’orthogonal du vecteur normal \((1,-2,3)\), et \(P^{\perp}\) est la droite qu’il engendre, de dimension \(3-2=1\). Le piège du plan parallèle confond orthogonal et translaté : ce plan n’est même pas un sous-espace. Les deux autres droites ne sont pas normales à \(P\).

Réponse B.

Le projeté vaut \(\frac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}u=\frac{6}{3}u\). On vérifie que \(x-(2,2,2)=(0,-1,1)\) est orthogonal à \(u\). Le piège \((6,6,6)\) oublie de diviser par \(\|u\|^2\). La réponse \((0,-1,1)\) est la composante orthogonale, et non le projeté. Enfin, \(\frac{2}{\sqrt{3}}u\) divise par \(\|u\|^2\) une fois de trop après avoir normalisé \(u\).

Réponse B.

La distance au plan est la norme du projeté sur la normale \(u=(1,1,1)\). D’après la question précédente, ce projeté vaut \((2,2,2)\), de norme \(2\sqrt{3}\). On retrouve la formule \(\frac{|\langle x,u\rangle|}{\|u\|}=\frac{6}{\sqrt{3}}\). Le piège 6 oublie de diviser par \(\|u\|\). La réponse \(\sqrt{2}\) est la distance à la droite \(D\), et non au plan.

Réponse A.

Un projecteur est orthogonal si et seulement si son noyau est orthogonal à son image, ce qui revient à dire que \(p\) est autoadjoint : on peut faire passer \(p\) d’un côté à l’autre du produit scalaire. Cette propriété se lit sur la matrice en base orthonormée seulement. Le piège des supplémentaires décrit tous les projecteurs. Enfin, un projecteur qui conserve la norme est l’identité, puisqu’il ne peut raccourcir aucun vecteur.

Réponse D.

On calcule \(\langle u,u\rangle=|1+i|^2+|2|^2=2+4=6\). La conjugaison garantit un résultat réel et positif. Le piège \(4+2i\) calcule \((1+i)^2+2^2\) sans conjuguer, comme dans le cas réel ; il n’obtient donc pas un réel. La réponse 4 oublie la première coordonnée. Quant à \(\sqrt{6}\), c’est la norme, et non son carré.

Réponse A.

On projette le vecteur \(Y=(2,3,7)\) sur la droite engendrée par \(X=(1,2,3)\). Ainsi \(a=\frac{\langle X,Y\rangle}{\|X\|^2}=\frac{2+6+21}{1+4+9}\). Le piège 2 calcule le rapport des sommes, \(\frac{12}{6}\), qui n’est pas un projeté. La réponse \(\frac{29}{6}\) divise par la somme des abscisses au lieu de celle de leurs carrés. Enfin, \(\frac{14}{29}\) inverse la fraction.

Réponse C.

Les équations normales \(A^{\top}AX=A^{\top}Y\) s’écrivent \(5a+3b=10\) et \(3a+3b=7\). Par soustraction, \(a=\frac{3}{2}\), puis \(b=\frac{5}{6}\). On vérifie que la droite passe par le point moyen \(\left(1,\frac{7}{3}\right)\). Le piège \(b=1\) force la droite à passer par le premier point. Quant à la pente \(\frac{5}{3}\), elle provient d’une somme des \(x_iy_i\) mal calculée.