QCM : Logique et types de démonstration en L1 de maths

Réponse D.

La table de vérité de l’implication ne contient qu’une seule ligne fausse : hypothèse vraie et conclusion fausse. Ainsi, une implication dont l’hypothèse est fausse est toujours vraie. Le piège « \(P\) fausse et \(Q\) vraie » confond avec la réciproque \(Q\Rightarrow P\). De même, les deux autres réponses oublient que le faux implique n’importe quoi.

Réponse A.

Une disjonction prend la valeur faux seulement lorsque ses deux membres sont faux, ici pour \(P\) vraie avec \(Q\) fausse. C’est donc exactement l’implication. Le piège \(P\text{ et }(\text{non }Q)\) en est au contraire la négation. Ensuite, la version avec « et » est fausse dès que \(P\) et \(Q\) sont toutes deux vraies. Enfin, \(Q\Rightarrow P\) est la réciproque, qui n’a pas la même table.

Réponse C.

La négation d’une conjonction est la disjonction des négations : \(\text{non}(A\text{ et }B)\) équivaut à \((\text{non }A)\text{ ou }(\text{non }B)\). De plus, la négation de \(x\geq 0\) est l’inégalité stricte \(x<0\). Le piège avec « et » oublie de changer le connecteur, et il décrit d’ailleurs un ensemble vide. Ensuite, les inégalités larges gardent à tort 0 et 1.

Réponse D.

Dans la bonne réponse, l’entier \(b\) peut dépendre de \(a\) : le successeur \(a+1\) convient. En revanche, quand « il existe \(b\) » est placé en tête, le même \(b\) doit majorer tous les entiers naturels. Ce serait donc un plus grand entier, ce qui est impossible, même avec l’inégalité large. Enfin, la dernière affirmation échoue dès que \(b\) est égal à \(a\).

Réponse C.

Pour contraposer, on échange hypothèse et conclusion, puis on nie chacune d’elles. On obtient un énoncé équivalent à celui de départ. Le piège « quand 3 divise \(m\) » donne la réciproque, qui est vraie ici mais par un autre argument. Ensuite, nier sans échanger donne l’inverse. Enfin, « quand 3 divise \(m^2\), 3 ne divise pas \(m\) » nie seulement la conclusion.

Réponse B.

Si \(x=2\), alors \(x^2=4\) : l’implication est vraie. Sa réciproque, « \(x^2=4\Rightarrow x=2\) », est cependant fausse, car \(x=-2\) en est un contre-exemple. Le piège qui cite \(-2\) l’utilise contre la mauvaise implication. Ainsi, pour \(x=-2\), l’hypothèse \(x=2\) est fausse et l’implication reste vraie. Il n’y a donc pas d’équivalence.

Réponse B.

La négation d’un énoncé universel est existentielle : il suffit d’un seul réel tel que \(x^2<x\). Or \(x=\frac{1}{2}\) convient, puisque \(\frac{1}{4}<\frac{1}{2}\). Le piège \(x=2\) donne un exemple qui vérifie l’énoncé, donc il ne réfute rien. Ensuite, \(x=-1\) repose sur une inégalité fausse. Enfin, \(x=1\) réalise l’égalité, qui satisfait l’inégalité large.

Réponse D.

On change « pour tous » en « il existe », puis on nie l’implication. Or la négation de « \(A\) entraîne \(B\) » est « \(A\) et non \(B\) ». Ainsi, un seul couple mal ordonné par \(g\) suffit. Le piège « pour tous \(s,t\) » décrit une fonction strictement décroissante, ce qui est bien plus fort. Ensuite, nier aussi l’hypothèse est une erreur. Enfin, garder une implication après « il existe » donne un énoncé presque toujours vrai.

Réponse A.

On échange chaque quantificateur et on nie seulement la propriété finale. Or la négation de l’inégalité stricte \(|a_k-3|<\eta\) est l’inégalité large \(|a_k-3|\geq\eta\) : le piège avec \(|a_k-3|>\eta\) garde à tort une inégalité stricte. Ensuite, les conditions \(\eta>0\) et \(k\geq K\) décrivent le domaine des variables : elles restent inchangées. Enfin, garder « pour tout \(k\) » oublie un échange de quantificateur.

Réponse A.

On suppose la négation de la conclusion, puis on aboutit à une contradiction. En effet, ce nouvel entier possède un facteur premier, et aucun \(q_i\) ne le divise, puisque le reste vaut 1. C’est donc un raisonnement par l’absurde. Le piège de la contraposition demande une implication \(P\Rightarrow Q\), absente ici. Ensuite, l’analyse-synthèse cherche à déterminer des objets. Enfin, aucun passage de \(n\) à \(n+1\) n’intervient.

Réponse B.

Dans l’analyse, on suppose la décomposition acquise : \(f(x)=g(x)+h(x)\) et \(f(-x)=g(x)-h(x)\). En additionnant ces deux lignes, on trouve \(2g(x)\) égal à \(f(x)+f(-x)\), d’où l’unicité. La synthèse vérifie ensuite que ce choix convient. Le piège avec le signe moins donne \(h(x)\), la partie impaire. Quant à la somme sans division, elle oublie le facteur \(\frac{1}{2}\).

Réponse C.

Pour \(n=40\), on obtient \(1600+40+41=1681=41^2\), qui n’est pas premier. L’assertion universelle est donc fausse. Cependant, l’expression donne un nombre premier pour tous les entiers de 0 à 39. Par exemple, 1601, 47 et 43 sont premiers. Le piège consiste à croire qu’une longue liste d’exemples prouve un énoncé universel.