QCM : Taylor-Young et DL usuels en L1 de maths

Réponse D.

Par définition, \(f=o(g)\) en \(0\) signifie que \(f/g\) tend vers \(0\). Or \(x^3/x^2=x\) tend bien vers \(0\). Le piège classique vient du réflexe acquis en \(+\infty\) : près de \(0\), ce sont les grandes puissances qui sont négligeables. Par ailleurs, \(3x^2/x^2=3\) ne tend pas vers \(0\) ; un facteur constant ne rend jamais une fonction négligeable devant elle-même.

Réponse A.

On utilise \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\), donc la différence vaut \(-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\). Le piège \(0\) vient d’une soustraction d’équivalents : \(\ln(1+x)\sim x\) ne permet pas d’écrire \(\ln(1+x)-x\sim 0\). D’ailleurs, aucune fonction non nulle n’est équivalente à \(0\). Ensuite, la réponse \(\frac{x^2}{2}\) se trompe de signe dans le DL usuel.

Réponse C.

Taylor-Young décrit le comportement près d’un point : le reste est négligeable devant \((x-a)^n\), sans aucune valeur chiffrée. En revanche, Taylor-Lagrange borne le reste par \(M\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\), où \(M\) majore \(|f^{(n+1)}|\) sur l’intervalle. Elle sert donc à estimer des erreurs d’approximation. Le piège consiste à croire que ces deux formules disent la même chose.

Réponse A.

Cette formule se démontre par récurrence sur \(n\), grâce à une intégration par parties à chaque étape. Pour \(n=0\), elle doit redonner le théorème fondamental de l’analyse, ce qui permet de contrôler la puissance et la factorielle. Ainsi l’exposant \(n+1\) est faux. De même, le facteur \((t-a)^n\) se trompe de borne, et la factorielle \((n+1)!\) est celle qui apparaît dans Lagrange.

Réponse C.

On applique \((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)\) avec \(\alpha=\frac{1}{2}\). Le coefficient de \(x^2\) vaut donc \(\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})\times\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}\). Le signe plus oublie que \(\alpha-1\) est négatif. Ensuite, \(-\frac{1}{4}\) oublie la division par \(2\). Enfin, \(1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}\) est le DL de \(\frac{1}{\sqrt{1+x}}\).

Réponse B.

Si \(f(x)=\sum a_kx^k+o(x^5)\), alors \(f(-x)\) admet le DL \(\sum a_k(-x)^k+o(x^5)\). Comme \(f(-x)=f(x)\), l’unicité du DL impose \(a_k=(-1)^ka_k\), donc \(a_k=0\) pour \(k\) impair. Annuler les puissances paires échange pair et impair. Par ailleurs, \(\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\dots\) montre que la constante et le terme en \(x^2\) peuvent être non nuls.

Réponse D.

On multiplie \(1+x+\frac{x^2}{2}\) par \(x-\frac{x^3}{6}\) puis on tronque au degré \(3\). On obtient \(x+x^2+\frac{x^3}{2}-\frac{x^3}{6}=x+x^2+\frac{x^3}{3}\). Le coefficient \(\frac{1}{2}\) devant \(x^3\) oublie le terme \(-\frac{x^3}{6}\) du sinus. Le coefficient \(\frac{2}{3}\) l’ajoute au lieu de le soustraire. Enfin, le terme \(-x^2\) se trompe de signe sur le produit \(x\times x\).

Réponse C.

On pose \(u=\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\), qui tend vers \(0\). Ensuite, \(e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+o(u^3)\), avec \(u^2=x^2+o(x^3)\) et \(u^3=x^3+o(x^3)\). Les termes en \(x^3\) valent donc \(-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=0\). La réponse avec \(+\frac{x^3}{6}\) recopie le DL de \(e^x\). Celle avec \(-\frac{x^3}{6}\) oublie le terme \(\frac{u^3}{6}\).

Réponse B.

Comme \(F(0)=\ln 1=0\), on intègre terme à terme le DL de la dérivée. Ainsi \(-\frac{x^2}{2}\) devient \(-\frac{x^3}{6}\), et \(\frac{3x^4}{8}\) devient \(\frac{3x^5}{40}\). Le piège principal recopie les coefficients sans diviser par le nouvel exposant. Par ailleurs, le signe plus devant \(\frac{x^3}{6}\) confond avec le DL de \(\arcsin x\), dont la dérivée est \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Réponse A.

On remplace \(u\) par \(2x\) dans \(\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)\). On trouve donc \(\ln(1+2x)=2x-2x^2+o(x^2)\), puis le quotient tend vers \(-2\). Le piège \(-\frac{1}{2}\) oublie d’élever le facteur \(2\) au carré. Ensuite, \(-4\) oublie la division par \(2\) du DL. Enfin, \(0\) vient d’un DL arrêté à l’ordre \(1\).

Réponse B.

Le produit des DL donne \(f(x)=1+x+0\cdot x^2-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\), car les termes en \(x^2\) se compensent. Ainsi la tangente est \(y=1+x\), et l’écart vaut environ \(-\frac{x^3}{3}\), qui change de signe en \(0\). On a donc un point d’inflexion. Le piège est de s’arrêter à l’ordre \(2\) et de conclure à tort sur la position.

Réponse D.

On factorise : \(f(x)=x\sqrt{1+\frac{5}{x}}\), puis on développe avec \(h=\frac{5}{x}\) qui tend vers \(0\). On obtient \(f(x)=x+\frac{5}{2}-\frac{25}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\). Le terme \(-\frac{25}{8x}\) est négatif, donc la courbe est au-dessous. Le piège \(y=x+5\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\). Quant à \(y=x\), il néglige le terme constant.