QCM : Rayon et somme d’une série entière en maths spé (MP)

Réponse B.

Le lemme d’Abel affirme ceci : quand \((a_nz_0^n)\) reste bornée, \(\sum a_nz^n\) est absolument convergente dès que \(|z|<|z_0|\). Ici \(z_0=3\), donc le rayon vaut au moins \(3\). Cependant, il peut être plus grand : avec \(a_n=5^{-n}\), la suite est bornée et \(R=5\). Le piège \(R\leq 3\) inverse le sens de l’inégalité. Quant à \(\frac{1}{3}\), il confond le point et son inverse.

Réponse A.

La convergence en un point de module \(2\) impose \(R\geq 2\). De même, la divergence en un point de module \(5\) impose \(R\leq 5\). Ainsi les deux bornes peuvent être atteintes, car le comportement sur le cercle de convergence n’est pas fixé. Par exemple, \(\sum z^n/5^n\) a pour rayon \(5\) et diverge en \(-5\). Le piège est d’exclure les bornes par réflexe.

Réponse C.

Le rapport \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{(n+1)^3}{5n^3}\) a pour limite \(\frac{1}{5}\). D’après d’Alembert, \(R\) est l’inverse de cette limite, soit \(5\). Le piège \(\frac{1}{5}\) oublie de prendre l’inverse. Ensuite, la réponse \(1\) croit que le facteur \(n^3\) impose le rayon, alors qu’un facteur polynomial ne change jamais le rayon. Enfin, \(+\infty\) ignore la puissance de \(5\).

Réponse B.

Les coefficients d’indice non multiple de \(3\) sont nuls. On étudie donc directement la série positive de terme \(2^n|z|^{3n}=(2|z|^3)^n\), qui est géométrique. Elle converge exactement lorsque \(2|z|^3<1\), d’où \(|z|<2^{-1/3}\). Le piège \(\frac{1}{2}\) oublie l’exposant \(3n\) de \(z\). Ensuite, \(2^{1/3}\) oublie d’inverser. Enfin, \(\frac{1}{8}\) élève au cube au lieu de prendre la racine cubique.

Réponse D.

On a toujours \(|a_n|\leq 3^n\), donc par comparaison \(R\geq\frac{1}{3}\). Cependant, pour \(n\) pair, \(a_n=3^n\), donc en \(|z|=\frac{1}{3}\) le terme général vaut \(1\) une fois sur deux et ne tend pas vers \(0\). Par conséquent, \(R=\frac{1}{3}\). Le piège \(\frac{1}{2}\) fait une moyenne entre \(1\) et \(3\). Par ailleurs, d’Alembert ne s’applique pas, car le quotient n’a pas de limite.

Réponse A.

Sur le disque de rayon \(2\), les deux séries convergent absolument, donc leur produit de Cauchy aussi : ainsi \(R\geq 2\). Cependant, des simplifications peuvent agrandir le rayon. Par exemple, \(\frac{1}{1-z/2}\) et \(\frac{1-z/2}{1-z/5}\) ont pour rayons \(2\) et \(5\), alors que leur produit \(\frac{1}{1-z/5}\) a pour rayon \(5\). Le piège consiste à croire que le minimum est toujours atteint.

Réponse C.

Pour \(|z|\leq r<1\), on majore \(|z^n|\) par \(r^n\), et \(\sum r^n\) converge : on a donc la convergence normale sur ce disque fermé. En revanche, \(|z^n|\) s’approche de \(1\) quand \(|z|\) s’approche de \(1\), si bien que la borne supérieure de \(|z^n|\) sur \(D\) vaut \(1\). Ainsi il n’y a ni convergence normale ni convergence uniforme sur \(D\). Le piège est de confondre disque ouvert et disques fermés inclus.

Réponse D.

Multiplier les coefficients par \(n\) ne change pas le rayon, car \(n^{1/n}\) tend vers \(1\). Cependant, le bord se comporte autrement : \(\sum\frac{x^n}{n^2}\) converge en \(1\), alors que sa dérivée \(\sum\frac{x^{n-1}}{n}\) y diverge. Par conséquent, on ne peut rien transférer au bord sans étude. Le piège du rayon plus petit surestime l’effet du facteur \(n\).

Réponse D.

Le produit de Cauchy de \(\sum(-x)^n\) par elle-même a pour coefficient \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k(-1)^{n-k}=(n+1)(-1)^n\). Pour \(|x|<1\), la somme vaut donc \(\frac{1}{(1+x)^2}\). Avec \(x=\frac{1}{4}\), on trouve \(\frac{1}{(5/4)^2}=\frac{16}{25}\). Le piège \(\frac{16}{9}\) oublie le signe alterné. Ensuite, \(\frac{4}{5}\) ne met pas au carré, tandis que \(\frac{4}{25}\) multiplie à tort par \(x\).

Réponse B.

La série dérivée a le même rayon, et l’on reconnaît \(\sum\frac{x^{n-1}}{4^n}=\frac{1}{4-x}\). Ensuite, on intègre depuis \(0\), où la somme est nulle, et l’on obtient \(-\ln(4-x)+\ln 4\), soit \(-\ln(1-\frac{x}{4})\). Le piège sans signe moins donne une somme négative pour \(x>0\), ce qui est absurde. Par ailleurs, \(\frac{1}{4-x}\) est seulement la dérivée.

Réponse C.

Le théorème d’Abel radial assure la continuité de \(S\) en \(1\) le long du rayon réel. En revanche, la réciproque est fausse : pour \(a_n=(-1)^n\), on a \(S(x)=\frac{1}{1+x}\), qui tend vers \(\frac{1}{2}\), alors que \(\sum(-1)^n\) diverge. De même, \(\sum\frac{(-1)^n}{n}\) converge sans convergence absolue. Enfin, rien n’est dit en \(-1\), où la série peut diverger.

Réponse A.

On pose \(T(x)=\sum\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\), de rayon \(1\). Sa dérivée vaut \(\sum x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)\). En intégrant depuis \(0\), on obtient \(T(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\), puis \(T(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\ln 2\). Le piège \(\ln 2\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\). Ensuite, \(\ln\frac{3}{2}\) garde aussi les puissances paires. Enfin, l’arctangente correspondrait à des signes alternés.