Calculs d’intégrales et sommes de Riemann : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « calculs d’intégrales et sommes de Riemann », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur le chapitre de l’intégrale de Riemann et de ses techniques de calcul. Vous commencerez par des intégrations par parties, simples puis doubles, avant trois changements de variable dont un sert à comparer deux intégrales sans les calculer.
Ensuite, vous reconnaîtrez des sommes de Riemann et justifierez par un dessin de rectangles l’encadrement d’une intégrale. Une fonction définie par une intégrale à bornes variables est ensuite dérivée et majorée. Enfin, le problème étudie une suite d’intégrales qui conduit au logarithme de 3/2. Faites ce sujet au milieu du second semestre.
Ce qu’évalue le contrôle : calculs d’intégrales et sommes de Riemann
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Intégrale de Riemann et théorème fondamental (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer une intégrale par une ou deux intégrations par parties
- Choisir et justifier un changement de variable adapté
- Reconnaître une somme de Riemann et en déduire la limite d’une suite
- Encadrer une intégrale par des rectangles et majorer l’erreur commise
- Dériver et étudier une fonction définie par une intégrale à bornes variables
Avant de commencer le devoir
Pour chaque intégration par parties, précisez les fonctions choisies et leur classe C1 sur le segment. Lors d’un changement de variable, transformez à la fois l’élément différentiel et les deux bornes, puis vérifiez que la nouvelle fonction est bien continue. Devant une somme, factorisez d’abord par 1/n afin de faire apparaître k/n. Enfin, dans le problème, utilisez la relation de récurrence plutôt que de recalculer chaque intégrale.
Le sujet du contrôle : calculs d’intégrales et sommes de Riemann
Exercice 1 – Intégrations par parties (4 points)
Calculer les trois intégrales suivantes. Pour chacune, préciser les fonctions choisies et justifier qu’elles sont de classe \(C^1\) sur le segment d’intégration.
- \(I = \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \sqrt{x}\,\ln x \,\mathrm{d}x\).
- \(J = \displaystyle\int_0^{\pi} x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\), à l’aide de deux intégrations par parties successives.
- \(K = \displaystyle\int_0^{1} \arctan x \,\mathrm{d}x\).
Exercice 2 – Trois changements de variable (4 points)
Dans chaque question, on justifiera la validité du changement de variable proposé, puis on transformera soigneusement les bornes.
- À l’aide de \(u = \sqrt{x + 1}\), calculer \(\displaystyle\int_0^{3} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \,\mathrm{d}x\).
- En posant \(u = \ln x\), calculer ensuite \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \frac{(\ln x)^2}{x} \,\mathrm{d}x\).
- Grâce au changement \(t = \frac{\pi}{2} – x\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \,\mathrm{d}x\). En déduire alors la valeur commune de ces deux intégrales, sans linéariser.
Exercice 3 – Sommes de Riemann et rectangles (4 points)
La figure représente la fonction \(f : x \mapsto \dfrac{1}{1 + x}\) sur \([0\,;\,1]\), ainsi que six rectangles de largeur \(\frac{1}{6}\) dont la hauteur est la valeur de \(f\) au bord droit de chaque intervalle.
- Énoncer le théorème de convergence des sommes de Riemann pour une fonction continue sur \([0\,;\,1]\).
- Déterminer la limite de \(a_n = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}}\).
- De même, trouver la limite de \(b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n + k)^2}\).
- On pose \(S_n = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)\) et \(L = \displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\). En vous appuyant sur un dessin des rectangles inférieurs et supérieurs, montrer que \(0 \leq L – S_n \leq \dfrac{1}{2n}\). Quelle valeur de \(n\) garantit alors une erreur inférieure à \(10^{-2}\) ?
Exercice 4 – Une intégrale à bornes variables (3 points)
On note \(\varphi(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + t^4}}\) et, pour tout réel \(x\), \(H(x) = \displaystyle\int_x^{3x} \varphi(t)\,\mathrm{d}t\). La figure illustre \(H(0{,}5)\) comme l’aire sous la courbe de \(\varphi\) entre \(0{,}5\) et \(1{,}5\).
- Justifier que \(H\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), puis calculer \(H^{\prime}(x)\).
- Montrer que \(H\) est impaire.
- Établir que \(0 \leq H(x) \leq \dfrac{2}{3x}\) pour tout \(x > 0\). En déduire les limites de \(H\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice 5 – Problème : une suite d’intégrales et le logarithme de 3/2 (5 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(J_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{2 + x}\,\mathrm{d}x\). On note aussi \(\lambda = \ln\frac{3}{2}\).
- Calculer \(J_0\).
- Montrer que \(J_{n+1} + 2J_n = \dfrac{1}{n + 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Prouver que \((J_n)\) est décroissante, puis que \(\dfrac{1}{3(n + 1)} \leq J_n \leq \dfrac{1}{2(n + 1)}\).
- À l’aide des questions b) et c), établir que \(J_n \leq \dfrac{1}{3n}\) pour \(n \geq 1\). Déterminer alors la limite de \(nJ_n\).
- On pose \(\sigma_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k\,2^k}\). Démontrer par récurrence que \(J_n = (-2)^n(\lambda – \sigma_n)\) pour tout \(n \geq 1\).
- En déduire que \(\sigma_n\) tend vers \(\lambda\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Réviser calculs d’intégrales et sommes de Riemann avant le contrôle
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