Bases et dimension de sous-espaces : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « bases et dimension de sous-espaces », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente évalue le cœur du chapitre sur les espaces vectoriels. D’abord, vous examinerez quatre parties pour décider si ce sont des sous-espaces vectoriels. Ensuite, vous calculerez le rang d’une famille de \(\mathbb{R}^4\) afin d’en extraire une base et de la compléter.
Les exemples changent ensuite de cadre : polynômes de degré au plus trois, puis suites définies par une relation de récurrence linéaire. Vous montrerez aussi que deux plans sont supplémentaires. Enfin, le problème réunit tout le chapitre autour de l’intersection de deux sous-espaces et de la formule de Grassmann. Traitez ce sujet après le cours sur la dimension, avant d’aborder les applications linéaires.
Ce qu’évalue le contrôle : bases et dimension de sous-espaces
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Espaces vectoriels : bases et dimension (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Prouver qu’une partie de R^4 ou d’un espace de polynômes est un sous-espace vectoriel, ou réfuter cette propriété par un contre-exemple
- Calculer le rang d’une famille de vecteurs et en extraire une base de l’espace engendré
- Déterminer une base et la dimension d’un espace de polynômes ou de suites récurrentes
- Prouver que deux sous-espaces sont supplémentaires et décomposer un vecteur sur leur somme
- Utiliser la formule de Grassmann pour étudier une somme de sous-espaces
Avant de commencer le devoir
Pour un sous-espace, vérifiez toujours la présence du vecteur nul avant la stabilité par combinaison linéaire. Quand une partie semble ne pas convenir, cherchez donc un contre-exemple explicite avec des valeurs simples. Pour un rang, échelonnez la famille ou exhibez une relation de liaison. De plus, utilisez la dimension dès que possible : une famille libre de \(n\) vecteurs dans un espace de dimension \(n\) est une base. Enfin, vérifiez chaque décomposition en refaisant la somme obtenue.
Le sujet du contrôle : bases et dimension de sous-espaces
Exercice 1 – Quatre parties à examiner (3 points)
Dans \(\mathbb{R}^4\), les vecteurs sont notés \((x, y, z, t)\). On note aussi \(\mathbb{R}_3[X]\) l’espace des polynômes réels de degré au plus \(3\). Pour chaque partie ci-dessous, démontrer qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel, ou bien justifier le contraire par un argument précis.
- \(A = \left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid 2x – y + 3t = 0\right\}\).
- \(B = \left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y + z + t = 1\right\}\).
- \(C = \left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x^2 = t^2\right\}\). La figure montre, dans le plan des coordonnées \((x, t)\), les vecteurs de \(C\) dont les coordonnées \(y\) et \(z\) sont nulles.
- \(D = \left\{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(1) + P^{\prime}(0) = 0\right\}\).
Exercice 2 – Une famille de quatre vecteurs (4 points)
On considère tout d’abord les vecteurs suivants de \(\mathbb{R}^4\) :
\[u_1 = (1, 2, 0, -1), \quad u_2 = (0, 1, 1, 2), \quad u_3 = (2, 3, -1, -4), \quad u_4 = (1, 1, 1, 1).\]
On note ensuite \(G = \mathrm{Vect}(u_1, u_2, u_3, u_4)\) le sous-espace qu’ils engendrent.
- Exprimer \(u_3\) comme combinaison linéaire de \(u_1\) et \(u_2\). Que peut-on alors dire de la famille \((u_1, u_2, u_3, u_4)\) ?
- Prouver que la famille \((u_1, u_2, u_4)\) est libre. En déduire alors le rang de la famille initiale, une base de \(G\) et sa dimension.
- Déterminer une équation cartésienne de \(G\), de la forme \(ax + by + cz + dt = 0\), puis justifier que cette équation caractérise bien \(G\).
- Compléter enfin la base trouvée en une base de \(\mathbb{R}^4\) à l’aide d’un vecteur de la base canonique, en justifiant ce choix.
Exercice 3 – Polynômes et suites récurrentes (4 points)
Partie A. Dans \(\mathbb{R}_3[X]\), on pose \(F = \left\{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(2) = 0 \text{ et } P^{\prime}(2) = 0\right\}\).
- Montrer que \(F\) est exactement l’ensemble des polynômes \((X – 2)^2(aX + b)\), où \(a\) et \(b\) sont réels. En déduire ainsi une base de \(F\) et sa dimension.
- Justifier que \(\left(1, X – 2, (X – 2)^2, (X – 2)^3\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_3[X]\), puis calculer les coordonnées de \(X^3\) dans cette base.
Partie B. On note \(S\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)\) qui vérifient \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\) pour tout entier naturel \(n\). On pose ensuite \(g_n = 3^n\) et \(h_n = (-2)^n\). Par ailleurs, la figure représente les premiers termes de ces deux suites.
- Établir que \(S\) est stable par combinaison linéaire et contient la suite nulle. Vérifier ensuite que \(g\) et \(h\) appartiennent à \(S\).
- Prouver de plus que la famille \((g, h)\) est libre.
- Soit \(u\) une suite de \(S\). Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que la suite \(w = u – \alpha g – \beta h\) vérifie \(w_0 = w_1 = 0\). Conclure alors que \((g, h)\) est une base de \(S\) et donner la dimension de \(S\).
Exercice 4 – Deux plans supplémentaires (3 points)
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère \(F = \left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z – t = 0\right\}\). Soit aussi \(H = \mathrm{Vect}(w_1, w_2)\), avec \(w_1 = (1, 0, 1, 0)\) et \(w_2 = (0, 1, 0, 1)\).
- Déterminer d’abord une base de \(F\) et sa dimension.
- Démontrer ensuite que \(F\) et \(H\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\).
- Décomposer le vecteur \(v = (3, 1, 2, 0)\) sous la forme \(v = f + k\), avec \(f \in F\) et \(k \in H\).
Exercice 5 – Problème : intersection et somme dans un espace de polynômes (6 points)
On travaille dans \(E = \mathbb{R}_3[X]\), espace de dimension \(4\). Tout polynôme de \(E\) s’écrit \(P = a + bX + cX^2 + dX^3\), avec des coefficients réels. On définit alors deux parties de \(E\) :
\[U = \left\{P \in E \mid P(1) = P(-1)\right\}, \quad V = \left\{P \in E \mid P(0) = 0 \text{ et } P(2) = 0\right\}.\]
Par exemple, la figure montre les courbes de deux polynômes de \(V\), qui s’annulent tous deux en \(0\) et en \(2\).
- Montrer que \(U\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Traduire ensuite la condition \(P(1) = P(-1)\) sur les coefficients, puis en déduire une base de \(U\) et sa dimension.
- Vérifier que \(X^2 – 2X\) et \(X^3 – 2X^2\) appartiennent à \(V\). Prouver ensuite que ces deux polynômes forment une base de \(V\).
- Déterminer alors \(U \cap V\) et en donner une base.
- Calculer la dimension de \(U + V\) grâce à la formule de Grassmann. La somme \(U + V\) est-elle directe ?
- Montrer que la droite \(D = \mathrm{Vect}(X)\) est un supplémentaire de \(U\) dans \(E\). Décomposer enfin \(X^3\) suivant la somme directe \(E = U \oplus D\).
Réviser bases et dimension de sous-espaces avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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