Distances et produit vectoriel : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « distances et produit vectoriel », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur la géométrie affine et euclidienne de l’espace. Il commence par le calcul d’un produit vectoriel et d’un produit mixte, que vous interpréterez en aire et en volume. Ensuite, vous écrirez l’équation cartésienne d’un plan passant par trois points, puis vous chercherez la droite d’intersection de deux plans.
Les deux derniers exercices sont consacrés aux distances : distance d’un point à une droite, puis distance d’un point à un plan dans un cube placé dans un repère orthonormé. Vous y calculerez aussi le volume d’un tétraèdre de deux façons. Traitez ce sujet à la fin du chapitre sur les droites et les plans, avant les révisions du partiel.
Ce qu’évalue le contrôle : distances et produit vectoriel
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Droites, plans et produit vectoriel dans l’espace (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer un produit vectoriel et un produit mixte, puis les interpréter en aires et en volumes
- Écrire l’équation cartésienne d’un plan défini par trois points grâce à un vecteur normal
- Déterminer la droite d’intersection de deux plans sécants sous forme paramétrique
- Calculer la distance d’un point à un plan ou à une droite et le projeté orthogonal correspondant
- Étudier une section plane d’un cube dans un repère orthonormé
Avant de commencer le devoir
Dans tout le sujet, le repère est orthonormé direct, ce qui autorise les formules de distance. Pour un plan donné par trois points, calculez d’abord le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires, puis vérifiez l’orthogonalité par deux produits scalaires. De plus, testez chaque équation obtenue sur les points de départ, car une erreur de signe se repère ainsi immédiatement. Enfin, laissez les racines carrées sous forme exacte, puisque la calculatrice est interdite.
Le sujet du contrôle : distances et produit vectoriel
Exercice 1 – Produit vectoriel et produit mixte (3 points)
Dans tout le sujet, l’espace est muni d’un repère orthonormé direct. On considère ici les vecteurs \(\vec{u} = (2, -1, 3)\), \(\vec{v} = (1, 4, -2)\) et \(\vec{w} = (0, 1, 1)\).
- Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), puis vérifier par deux produits scalaires que ce vecteur est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
- En déduire l’aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- Calculer le produit mixte \(\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right]\). Que peut-on alors dire de la famille \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) ? Donner aussi le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs.
- Déterminer enfin le réel \(\lambda\) pour lequel les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{a} = (1, \lambda, 0)\) sont coplanaires.
Exercice 2 – Le plan passant par trois points (4 points)
On donne les points \(A(1, 0, 2)\), \(B(3, 1, 1)\), \(C(0, 2, 4)\) et \(M(6, -5, 5)\), représentés sur la figure. La figure n’est pas à l’échelle.
- Montrer d’abord que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
- Calculer \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et justifier que c’est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P} = (ABC)\).
- En déduire une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\), puis la vérifier sur les trois points.
- Donner ensuite une représentation paramétrique de \(\mathcal{P}\).
- Calculer alors la distance du point \(M\) au plan \(\mathcal{P}\).
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{P}\).
Exercice 3 – Deux plans sécants (4 points)
On considère les plans \(\mathcal{P}_1 : x + y – z = 1\) et \(\mathcal{P}_2 : 2x – y + z = 5\).
- Justifier tout d’abord que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.
- Déterminer un vecteur directeur de leur droite d’intersection \(\mathcal{D}\) à l’aide d’un produit vectoriel, puis un point de \(\mathcal{D}\). En déduire une représentation paramétrique de \(\mathcal{D}\).
- Soit \(\mathcal{P}_3 : y – z = 4\). Montrer que \(\mathcal{D}\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}_3\), puis calculer la distance de \(\mathcal{D}\) à \(\mathcal{P}_3\).
- Soit enfin \(\mathcal{P}_4 : x + 2y + z = 6\). Déterminer le point d’intersection de \(\mathcal{D}\) et de \(\mathcal{P}_4\).
Exercice 4 – Distance d’un point à une droite (3 points)
Soit \(\Delta\) la droite passant par \(A(1, 2, 0)\) et dirigée par \(\vec{d} = (1, 0, 1)\). On considère aussi le point \(M(3, 1, 4)\).
- Calculer la distance de \(M\) à \(\Delta\) grâce à la formule \(\dfrac{\left\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{d}\right\|}{\left\|\vec{d}\right\|}\).
- Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\Delta\), puis retrouver ainsi la distance précédente.
- Dans le plan muni d’un repère orthonormé, calculer par ailleurs la distance du point \(N(3, -1)\) à la droite d’équation \(3x + 4y – 10 = 0\).
Exercice 5 – Problème : une section plane du cube (6 points)
Soit \(ABCDEFGH\) un cube d’arête \(2\). On le place dans le repère orthonormé direct d’origine \(A\) où \(B(2, 0, 0)\), \(D(0, 2, 0)\) et \(E(0, 0, 2)\). On note \(I\) le milieu de l’arête \([EF]\) et \(J\) le milieu de l’arête \([CG]\). La figure montre le cube et le triangle \(DIJ\), qui traverse l’intérieur du cube.
- Donner les coordonnées des points \(C\), \(F\), \(G\), \(I\) et \(J\).
- Calculer \(\overrightarrow{DI} \wedge \overrightarrow{DJ}\), puis en déduire une équation cartésienne du plan \((DIJ)\).
- Calculer les distances des sommets \(A\) et \(G\) au plan \((DIJ)\). Ces deux points sont-ils du même côté de ce plan ?
- Déterminer ensuite l’aire du triangle \(DIJ\).
- Calculer le volume du tétraèdre \(ADIJ\) à l’aide d’un produit mixte. Retrouver alors la distance de \(A\) au plan \((DIJ)\) par une autre méthode.
- La diagonale \([AG]\) coupe le plan \((DIJ)\) en un point \(K\). Déterminer les coordonnées de \(K\).
Réviser distances et produit vectoriel avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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