Dénombrements et variables aléatoires finies : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « dénombrements et variables aléatoires finies », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce dernier contrôle de l’année réunit le dénombrement et les probabilités finies. Vous justifierez d’abord la formule des combinaisons, puis vous compterez des entiers avec l’inclusion-exclusion. Ensuite, des mains de cinq cartes tirées d’un jeu de trente-deux cartes vous feront manipuler les coefficients binomiaux et le complémentaire.
Le troisième exercice demande un arbre pondéré, car il porte sur des probabilités conditionnelles et la formule de Bayes. Vous étudierez aussi la loi d’une variable aléatoire, avec son espérance et sa variance. Enfin, le problème suit le plus grand numéro de trois jetons tirés au hasard. Faites ce sujet en fin de semestre, une fois le chapitre entièrement traité.
Ce qu’évalue le contrôle : dénombrements et variables aléatoires finies
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Combinatoire et probabilités finies (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Dénombrer des mains de cartes à l’aide des combinaisons et du passage au complémentaire
- Appliquer la formule d’inclusion-exclusion à trois ensembles finis
- Construire un arbre pondéré, puis utiliser les probabilités totales et la formule de Bayes
- Déterminer la loi, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire finie
- Reconnaître une loi binomiale et exploiter des identités sur les coefficients binomiaux
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, décrivez précisément l’univers : tirage simultané ou successif, avec ou sans remise. Pour un événement du type « au moins un », passez donc au complémentaire. Dans l’arbre, vérifiez que les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à \(1\). Pour une loi, contrôlez aussi que la somme des probabilités vaut \(1\). Enfin, dans le problème, testez chaque formule générale sur la valeur numérique de la première partie.
Le sujet du contrôle : dénombrements et variables aléatoires finies
Exercice 1 – Questions de cours et inclusion-exclusion (3 points)
Dans les questions a) et b), \(n\) et \(k\) désignent deux entiers tels que \(1 \leq k \leq n\), et \(E\) un ensemble à \(n\) éléments.
- Dénombrer les \(k\)-listes d’éléments distincts de \(E\). En déduire que \(E\) possède \(\frac{n!}{k!\,(n – k)!}\) parties à \(k\) éléments.
- Prouver, par un double dénombrement de comités de \(k\) personnes munis d’un président, que \(k\binom{n}{k} = n\binom{n – 1}{k – 1}\).
- Combien d’entiers de l’ensemble \(\{1, 2, \ldots, 60\}\) sont divisibles par \(2\), par \(3\) ou par \(5\) ? Utiliser ainsi la formule d’inclusion-exclusion pour trois ensembles.
Exercice 2 – Mains de cinq cartes (4 points)
Un jeu de \(32\) cartes comporte quatre couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) et, dans chaque couleur, huit valeurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as. Clémence reçoit une main de cinq cartes, tirées simultanément et au hasard. Les résultats sont donc attendus sous forme d’entiers calculés à la main, car la calculatrice est interdite.
- Combien de mains différentes Clémence peut-elle recevoir ?
- Dénombrer les mains qui contiennent exactement deux as. Donner ensuite la probabilité de cet événement sous forme de fraction irréductible.
- Calculer le nombre de mains qui contiennent au moins un cœur, en passant par l’événement contraire.
- Une main contient « exactement une paire » lorsque deux de ses cartes ont la même valeur, et que les trois autres ont des valeurs distinctes entre elles et de celle de la paire. Dénombrer ces mains.
Exercice 3 – Les trajets d’Ilyes (4 points)
Chaque matin, Ilyes rejoint l’université en tram avec une probabilité de \(\frac{1}{2}\), en bus avec une probabilité de \(\frac{3}{10}\), et à vélo sinon. Lorsqu’il prend le tram, il arrive en retard avec une probabilité de \(\frac{1}{10}\). Ce retard survient avec une probabilité de \(\frac{1}{5}\) en bus, mais seulement de \(\frac{1}{20}\) à vélo. On note \(T\), \(B\), \(V\) les événements liés au moyen de transport et \(R\) l’événement « Ilyes arrive en retard ».
- Construire un arbre pondéré qui décrit la situation.
- Justifier que \((T, B, V)\) est un système complet d’événements, puis calculer \(P(R)\).
- Un matin, Ilyes arrive en retard. Calculer la probabilité qu’il ait pris le bus. Les événements \(R\) et \(T\) sont-ils indépendants ?
- On observe cinq matins, et on suppose les trajets indépendants. Soit \(X\) le nombre de retards : donner sa loi, son espérance, ainsi que la probabilité d’au moins un retard.
Exercice 4 – Tirages sans remise jusqu’à la première boule blanche (3 points)
Une urne contient trois boules rouges et deux boules blanches, indiscernables au toucher. On tire les boules une à une, sans remise, et on s’arrête dès qu’une boule blanche sort. On note alors \(X\) le rang de ce tirage.
- Préciser l’ensemble des valeurs prises par \(X\), puis déterminer sa loi.
- Calculer l’espérance \(E(X)\).
- Calculer \(E\left(X^2\right)\), puis en déduire la variance de \(X\).
Exercice 5 – Problème : le plus grand de trois jetons (6 points)
Un sac contient \(n\) jetons numérotés de \(1\) à \(n\), avec \(n \geq 3\). Soraya en tire trois simultanément, au hasard. On note ensuite \(M\) le plus grand des trois numéros obtenus. La figure montre un tirage possible pour \(n = 10\) : les jetons 2, 5 et 8 sortent, donc \(M = 8\).
Partie A : le cas \(n = 10\)
- Combien de tirages différents Soraya peut-elle donc obtenir ?
- Calculer \(P(M = 10)\), puis \(P(M = 9)\).
- Décrire l’événement \(M \leq 6\) à l’aide des jetons tirés, puis calculer sa probabilité.
Partie B : le cas général
- Pour tout entier \(k\) tel que \(3 \leq k \leq n\), exprimer \(P(M \leq k)\) à l’aide de coefficients binomiaux. En déduire alors que \(P(M = k) = \binom{k – 1}{2} \Big/ \binom{n}{3}\).
- Établir l’identité \(\sum_{k=3}^{n} \binom{k – 1}{2} = \binom{n}{3}\).
- Vérifier que \(k\binom{k – 1}{2} = 3\binom{k}{3}\) pour \(k \geq 3\). On admet que \(\sum_{k=3}^{n} \binom{k}{3} = \binom{n + 1}{4}\) : montrer que \(E(M) = \frac{3(n + 1)}{4}\), puis vérifier ce résultat pour \(n = 10\).
Réviser dénombrements et variables aléatoires finies avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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