Suites et définition epsilon en L1 de maths : cours et méthodes

Un réel \(M\) qui dépasse tous les termes, au sens où \(u_n \leqslant M\) quel que soit \(n\), s’appelle un majorant de la suite. Lorsqu’un tel \(M\) existe, on dit que \((u_n)\) est majorée. De façon symétrique, un réel \(m\) situé sous tous les termes est un minorant, et la suite est alors minorée. Une suite bornée possède les deux. De manière équivalente, une constante \(K\) contrôle \(|u_n|\) pour chaque indice.

On qualifie \((u_n)\) de croissante lorsque chaque terme est au moins égal au précédent : \(u_n \leqslant u_{n+1}\) quel que soit \(n\). À l’inverse, elle est décroissante quand chaque terme est au plus égal au précédent. Le mot monotone regroupe ces deux situations.

Pour étudier le sens de variation d’une suite, on dispose de trois outils.

1. Étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\), souvent après mise au même dénominateur.
2. Si tous les termes sont strictement positifs, comparer le quotient \(u_{n+1}/u_n\) à 1.
3. Si \(u_n = g(n)\) avec \(g\) dérivable sur \([0,+\infty[\), étudier le signe de \(g^{\prime}\).

Soit \(u_n = \dfrac{7n+2}{2n+1}\). Nous écrivons d’abord \(u_n = \dfrac{7}{2} – \dfrac{3}{2(2n+1)}\). En effet, \(\dfrac{7}{2}(2n+1) = 7n + \dfrac{7}{2}\), et l’écart avec \(7n+2\) vaut \(\dfrac{3}{2}\). Le terme soustrait décroît quand \(n\) augmente, donc la suite est croissante. Par conséquent, elle est minorée par \(u_0 = 2\). De plus, elle est majorée par \(\dfrac{7}{2}\), puisqu’on retranche une quantité positive.

Soit \(\ell \in \mathbb{R}\). La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ |u_n – \ell| \leqslant \varepsilon.\]

Une suite qui converge vers un réel est dite convergente. Sinon, elle est divergente.

On écrit \(u_n \to \ell\), ou \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell\). Cette seconde notation n’a de sens qu’une fois l’unicité de la limite établie.

Pour prouver que \(u_n \to \ell\) avec epsilon :

1. Calculer et simplifier \(|u_n – \ell|\).
2. Le majorer par une expression simple \(b_n\) qui tend visiblement vers 0, par exemple \(\dfrac{c}{n}\) ou \(\dfrac{c}{\sqrt{n}}\).
3. Fixer \(\varepsilon > 0\) et résoudre \(b_n \leqslant \varepsilon\) pour en tirer un rang \(N\).
4. Conclure : pour \(n \geqslant N\), \(|u_n – \ell| \leqslant b_n \leqslant \varepsilon\).

Montrons que \(u_n = \dfrac{7n+2}{2n+1}\) converge vers \(\dfrac{7}{2}\). D’après le calcul précédent, \(\left|u_n – \dfrac{7}{2}\right| = \dfrac{3}{4n+2}\). Comme \(4n + 2 > 4n\), on a \(\left|u_n – \dfrac{7}{2}\right| \leqslant \dfrac{3}{4n}\) pour \(n \geqslant 1\).

Soit \(\varepsilon > 0\). L’inégalité \(\dfrac{3}{4n} \leqslant \varepsilon\) équivaut à \(n \geqslant \dfrac{3}{4\varepsilon}\). Posons donc \(N = \left\lfloor \dfrac{3}{4\varepsilon} \right\rfloor + 1\). Pour tout \(n \geqslant N\), on obtient \(\left|u_n – \dfrac{7}{2}\right| \leqslant \varepsilon\). Par exemple, pour \(\varepsilon = 10^{-3}\), le rang \(N = 751\) convient.

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et vers \(\ell^{\prime}\), alors \(\ell = \ell^{\prime}\).

Raisonnons par l’absurde et supposons \(\ell \neq \ell^{\prime}\). Posons \(\varepsilon = \dfrac{|\ell – \ell^{\prime}|}{3}\), qui est strictement positif. La définition fournit un rang \(N_1\) au-delà duquel \(|u_n – \ell| \leqslant \varepsilon\). Elle fournit aussi un rang \(N_2\) au-delà duquel \(|u_n – \ell^{\prime}| \leqslant \varepsilon\). Prenons alors \(n = \max(N_1, N_2)\). L’inégalité triangulaire donne

\[|\ell – \ell^{\prime}| \leqslant |\ell – u_n| + |u_n – \ell^{\prime}| \leqslant 2\varepsilon = \frac{2}{3}|\ell – \ell^{\prime}|.\]

En divisant par l’écart, qui n’est pas nul, on obtiendrait \(1 \leqslant \dfrac{2}{3}\). C’est absurde, d’où \(\ell = \ell^{\prime}\).

Toute suite convergente est bornée.

Supposons \(u_n \to \ell\). Avec \(\varepsilon = 1\), il existe \(N\) tel que \(|u_n – \ell| \leqslant 1\) pour \(n \geqslant N\). Pour ces indices, \(|u_n| \leqslant |\ell| + 1\). Il reste un nombre fini de termes, \(u_0, \dots, u_{N-1}\). Ainsi, \(K = \max\left(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1\right)\) majore \(|u_n|\) pour tout \(n\).

La réciproque est fausse. La suite \(\left((-1)^n\right)\) est bornée par 1. Pourtant, elle ne converge pas. En effet, si elle tendait vers \(\ell\), le choix \(\varepsilon = \dfrac{1}{2}\) placerait à la fois 1 et \(-1\) dans un intervalle de longueur 1, ce qui est absurde.

Supposons \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell^{\prime}\), avec \(\ell, \ell^{\prime}\) réels, et soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :

• \(u_n + v_n \to \ell + \ell^{\prime}\) et \(\lambda u_n \to \lambda \ell\) ;
• \(u_n v_n \to \ell \ell^{\prime}\) ;
• si \(\ell^{\prime} \neq 0\), alors \(v_n\) ne s’annule plus au-delà d’un certain rang, et le quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}\) admet pour limite \(\dfrac{\ell}{\ell^{\prime}}\).

Traitons le produit, qui contient l’idée essentielle. On ajoute et on retranche \(\ell^{\prime} u_n\), ce qui donne

\[u_n v_n – \ell \ell^{\prime} = \ell^{\prime}(u_n – \ell) + (v_n – \ell^{\prime})\, u_n.\]

La suite \((u_n)\) converge, donc elle est bornée par un réel \(K > 0\). Soit \(\varepsilon > 0\). D’abord, il existe \(N_1\) tel que \(|v_n – \ell^{\prime}| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2K}\) pour \(n \geqslant N_1\). Ensuite, il existe \(N_2\) tel que \(|u_n – \ell| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2(|\ell^{\prime}| + 1)}\) pour \(n \geqslant N_2\). Pour \(n \geqslant \max(N_1, N_2)\), on obtient \(|u_n v_n – \ell \ell^{\prime}| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\).

La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe \(N\) tel que \(u_n \geqslant A\) pour tout \(n \geqslant N\). Elle tend vers \(-\infty\) si \((-u_n)\) tend vers \(+\infty\).

Les règles usuelles s’étendent aux limites infinies : \(+\infty + \ell = +\infty\), \(\ell \times (+\infty) = +\infty\) si \(\ell > 0\), et \(\dfrac{1}{u_n} \to 0\) si \(|u_n| \to +\infty\). Quatre situations restent indéterminées : \(\infty – \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) et \(\dfrac{0}{0}\).

Supposons \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell^{\prime}\). Lorsque l’inégalité \(u_n \leqslant v_n\) est vraie pour tous les \(n\) assez grands, les limites restent dans le même ordre : \(\ell \leqslant \ell^{\prime}\).

On suppose qu’au-delà d’un rang \(N_0\), le terme \(u_n\) est coincé entre \(a_n\) et \(b_n\). Lorsque les deux suites extérieures partagent une limite réelle \(\ell\), la suite du milieu converge elle aussi, et sa limite vaut \(\ell\).

Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang au-delà duquel \(a_n \geqslant \ell – \varepsilon\), et un autre au-delà duquel \(b_n \leqslant \ell + \varepsilon\). Prenons \(N\) supérieur à ces deux rangs et à \(N_0\). Pour \(n \geqslant N\), on a \(\ell – \varepsilon \leqslant a_n \leqslant u_n \leqslant b_n \leqslant \ell + \varepsilon\). Le terme \(u_n\) reste donc dans la bande voulue.

Soit \(w_n = 2 + \dfrac{\sin(3n)}{\sqrt{n}}\) pour \(n \geqslant 1\). Comme \(-1 \leqslant \sin(3n) \leqslant 1\), on obtient

\[2 – \frac{1}{\sqrt{n}} \leqslant w_n \leqslant 2 + \frac{1}{\sqrt{n}}.\]

Les deux gendarmes tendent vers 2. Par conséquent, \(w_n \to 2\). On n’a jamais eu besoin de comprendre le comportement de \(\sin(3n)\), seulement de le borner.

Toute suite croissante et majorée converge, vers la borne supérieure de l’ensemble de ses termes. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\). Les énoncés symétriques valent pour les suites décroissantes.

Soit \((u_n)\) croissante et majorée. L’ensemble \(E = \{u_n,\ n \in \mathbb{N}\}\) est non vide et majoré. Il admet donc une borne supérieure \(s\). Soit \(\varepsilon > 0\). Le réel \(s – \varepsilon\) ne majore pas \(E\), donc il existe \(N\) tel que \(u_N > s – \varepsilon\). Ensuite, pour \(n \geqslant N\), la croissance donne \(u_n \geqslant u_N > s – \varepsilon\). De plus, \(u_n \leqslant s\) puisque \(s\) majore \(E\). Finalement, \(|u_n – s| \leqslant \varepsilon\).

Une suite croissante dont les accroissements tendent vers 0 peut quand même tendre vers \(+\infty\). C’est le cas de \(u_n = \sqrt{n}\) : en effet \(u_{n+1} – u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0\), et pourtant \(u_n\) n’est pas majorée.

On dit que \((a_n)\) et \((b_n)\) forment un couple de suites adjacentes lorsque \((a_n)\) croît, \((b_n)\) décroît et que la différence \(b_n – a_n\) a pour limite 0.

Un couple de suites adjacentes converge, et ses deux suites partagent la même limite \(\ell\). En outre, \(\ell\) reste toujours coincée entre elles : \(a_n \leqslant \ell \leqslant b_n\) à chaque rang.

Posons \(d_n = b_n – a_n\). On a \(d_{n+1} – d_n = (b_{n+1} – b_n) – (a_{n+1} – a_n) \leqslant 0\), si bien que \((d_n)\) décroît vers sa limite 0. Elle reste alors positive : sinon, un terme négatif \(d_p < 0\) imposerait \(d_n \leqslant d_p\) pour \(n \geqslant p\), et la limite serait au plus \(d_p\). Ainsi, \(a_0 \leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant b_0\). La suite \((a_n)\) est croissante et majorée par \(b_0\), donc elle converge vers un réel \(\ell\). De même, \((b_n)\) converge vers \(\ell^{\prime}\). Enfin, \(\ell^{\prime} – \ell = \lim d_n = 0\).

Partons de \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 7\), puis posons \(a_{n+1} = \dfrac{2a_n + b_n}{3}\) et \(b_{n+1} = \dfrac{a_n + 2b_n}{3}\). On calcule \(b_{n+1} – a_{n+1} = \dfrac{b_n – a_n}{3}\). Donc \(b_n – a_n = 6 \times 3^{-n}\), qui est positif et tend vers 0. Ensuite, \(a_{n+1} – a_n = \dfrac{b_n – a_n}{3} \geqslant 0\) et \(b_{n+1} – b_n = -\dfrac{b_n – a_n}{3} \leqslant 0\). Les suites sont donc adjacentes.

Pour trouver la limite, on remarque que \(a_{n+1} + b_{n+1} = a_n + b_n\). La somme reste égale à 8. Par passage à la limite, \(2\ell = 8\), donc \(\ell = 4\).

Soit \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante. La suite de terme général \(u_{\varphi(n)}\) s’appelle une suite extraite de \((u_n)\), ou encore une sous-suite. L’application \(\varphi\) choisit les indices conservés.

Si \(u_n \to \ell\), avec \(\ell\) réel ou infini, alors toute suite extraite de \((u_n)\) tend aussi vers \(\ell\).

Traitons le cas \(\ell\) réel. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) le rang donné par la définition. Pour \(n \geqslant N\), on a \(\varphi(n) \geqslant n \geqslant N\). Le terme \(u_{\varphi(n)}\) appartient donc à l’intervalle \([\ell – \varepsilon, \ell + \varepsilon]\).

Pour prouver qu’une suite \((u_n)\) n’a pas de limite :

1. Chercher deux suites extraites aux comportements simples, souvent selon une période ou la parité.
2. Calculer leurs limites.
3. Si elles diffèrent, ou si l’une d’elles diverge, conclure que \((u_n)\) n’a pas de limite, par contraposée de la propriété.

Soit \(u_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n+1}\). Les termes pairs valent \(u_{2n} = 1 + \dfrac{1}{2n+1}\), qui tend vers 1. Quant aux termes impairs, ils valent \(u_{2n+1} = -1 + \dfrac{1}{2n+2}\), qui tend vers \(-1\). Les deux limites diffèrent, donc \((u_n)\) diverge.

Soit \((u_n)\) une suite réelle bornée. Il existe alors une application \(\varphi\) strictement croissante telle que la suite \(\left(u_{\varphi(n)}\right)\) soit convergente.

Nous procédons par dichotomie. Tous les termes sont dans un segment \([a_0, b_0]\). Coupons-le en son milieu. Les indices \(n\) sont en nombre infini, donc l’une des deux moitiés reçoit des termes pour une infinité d’indices. Appelons-la \([a_1, b_1]\). Puis on coupe à nouveau, et ainsi de suite. Au bout du compte, on dispose de segments emboîtés \([a_k, b_k]\), de longueur \(\dfrac{b_0 – a_0}{2^k}\), qui attirent chacun une infinité de termes.

Les suites \((a_k)\) et \((b_k)\) sont adjacentes, donc elles convergent vers un même réel \(\ell\). Posons ensuite \(\varphi(0) = 0\). Puis, pour \(k \geqslant 1\), prenons un indice \(\varphi(k) > \varphi(k-1)\) dont le terme tombe dans le \(k\)-ième segment. Ce choix reste possible, puisque ce segment attire une infinité de termes. Finalement, \(a_k \leqslant u_{\varphi(k)} \leqslant b_k\), et les gendarmes donnent \(u_{\varphi(k)} \to \ell\).

Si \(u_n \to \ell\), si \(\ell \in I\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Autrement dit, la seule limite finie possible est un point fixe de \(f\).

Pour étudier \(u_{n+1} = f(u_n)\) :

1. Trouver un intervalle stable contenant \(u_0\).
2. Chercher les points fixes en résolvant \(f(x) = x\).
3. Si \(f\) est croissante sur l’intervalle stable, la suite est monotone : comparer \(u_1\) et \(u_0\), puis raisonner par récurrence.
4. Conclure par la limite monotone, puis identifier la limite parmi les points fixes.

Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\). La fonction \(f(x) = \sqrt{x+6}\) est croissante et continue sur \([0, 3]\). Comme \(f(0) = \sqrt{6}\) et \(f(3) = 3\), on a \(f([0,3]) \subset [0,3]\). L’intervalle est donc stable.

Ensuite, \(u_1 = \sqrt{6} \geqslant u_0\). Si \(u_n \leqslant u_{n+1}\), la croissance de \(f\) donne \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\). Par récurrence, la suite est croissante. Elle est majorée par 3, donc elle converge vers \(\ell \in [0, 3]\). Enfin, \(\ell = \sqrt{\ell + 6}\) donne \(\ell^2 – \ell – 6 = 0\), soit \(\ell = 3\) ou \(\ell = -2\). Comme \(\ell \geqslant 0\), on conclut \(\ell = 3\).

Soit \(\Delta = a^2 + 4b\) le discriminant de \(r^2 – ar – b = 0\).

• Deux racines réelles distinctes \(r_1, r_2\) (cas \(\Delta > 0\)) : les solutions sont les \(A r_1^{\,n} + B r_2^{\,n}\).
• Une racine double \(r\) (cas \(\Delta = 0\)) : les solutions sont les \((A + Bn)\, r^{\,n}\).
• Deux racines complexes conjuguées \(\rho \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}\theta}\) (cas \(\Delta < 0\)) : les solutions sont les \(\rho^{\,n} \left(A \cos n\theta + B \sin n\theta\right)\).

Les deux constantes réelles \(A\) et \(B\) se déterminent à l’aide de \(u_0\) et \(u_1\).

Soit \(u_0 = 5\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\). L’équation \(r^2 – r – 2 = 0\) a pour racines 2 et \(-1\). Donc \(u_n = A\, 2^n + B (-1)^n\). Les conditions initiales donnent \(A + B = 5\) et \(2A – B = 4\), donc \(A = 3\) et \(B = 2\). Finalement, \(u_n = 3 \times 2^n + 2(-1)^n\), qui tend vers \(+\infty\).

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