Quantificateurs, injections et surjections : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : quantificateurs, injections et surjections

Le sujet du contrôle : quantificateurs, injections et surjections

Exercice 1 – Quatre propriétés d’une fonction cubique (4 points)

Soit \(f\) une fonction réelle définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier. On considère d’abord les quatre propriétés suivantes.

\((\mathcal{P}_1)\) : \(\exists A \in \mathbb{R},\ \forall t \in \mathbb{R},\ f(t) \leq A\) ;
\((\mathcal{P}_2)\) : \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2,\ a < b \Rightarrow f(a) < f(b)\) ;
\((\mathcal{P}_3)\) : \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2,\ \left(f(a) = 0 \text{ et } f(b) = 0\right) \Rightarrow a = b\) ;
\((\mathcal{P}_4)\) : \(\exists \tau > 0,\ \forall t \in \mathbb{R},\ f(t + \tau) = f(t)\).

On étudie ensuite la fonction \(h : t \mapsto t^3 – 3t\), dont la courbe est tracée ci-dessous.

1. Traduire chaque propriété par une phrase en français, puis écrire sa négation avec des quantificateurs, sans utiliser le mot « non ». (2 points)
2. Démontrer alors que la fonction \(h\) ne vérifie aucune des quatre propriétés. Pour \((\mathcal{P}_4)\), on pourra raisonner par l’absurde et compter les zéros de \(h\). (2 points)

Exercice 2 – Une suite définie par la partie entière (3 points)

On définit une suite d’entiers \((u_n)_{n \geq 1}\) par \(u_1 = 1\) et, pour tout entier \(n \geq 2\), \(u_n = u_{\lfloor n/2 \rfloor} + 1\), où \(\lfloor t \rfloor\) désigne la partie entière du réel \(t\). Ainsi chaque terme dépend d’un terme de rang environ deux fois plus petit.

1. Calculer d’abord \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\), \(u_5\), \(u_6\), \(u_7\) et \(u_8\). (0,5 point)
2. Démontrer ensuite par récurrence forte que, pour tout \(n \geq 1\), \(2^{u_n – 1} \leq n < 2^{u_n}\). (2 points)
3. Justifier que, pour \(n\) fixé, il existe un seul entier \(k\) tel que \(2^{k-1} \leq n < 2^{k}\). Donner enfin \(u_{1000}\) sans calculer les termes précédents. (0,5 point)

Exercice 3 – Somme et produit de deux réels (4 points)

On associe à tout couple \((x, y)\) de réels le couple \(\varphi(x, y) = (x + y, xy)\), ce qui définit une application \(\varphi\) du plan dans lui-même. On note aussi \(E\) la partie du plan formée des couples \((s, p)\) tels que \(s^2 \geq 4p\), représentée ci-dessous sous la parabole d’équation \(p = \frac{s^2}{4}\).

1. Montrer que \(\varphi\) n’est pas injective. (0,5 point)
2. Prouver que le couple \((0, 1)\) n’a aucun antécédent par \(\varphi\), puis indiquer la propriété de \(\varphi\) qui tombe ainsi en défaut. (0,5 point)
3. Démontrer que \(\varphi(\mathbb{R}^2) = E\) par double inclusion. (1,5 point)
4. Soit \(\Delta\) l’ensemble des couples \((x, y)\) tels que \(x \leq y\), et soit \(\psi : \Delta \to E\) l’application définie par \(\psi(x, y) = \varphi(x, y)\). Montrer que \(\psi\) est bijective et expliciter sa bijection réciproque. (1,5 point)

Exercice 4 – Images réciproques et composées (4 points)

Dans les questions 1 à 3, \(E\), \(F\) et \(G\) sont trois ensembles, \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications, et \(A\), \(B\) deux parties de \(F\).

1. Démontrer l’égalité \(f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\). (1 point)
2. Montrer que \(f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B\), puis prouver l’égalité dans le cas où \(f\) est surjective. Avec \(f : x \mapsto x^2\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \(B = [-4\,;9]\), calculer ensuite \(f^{-1}(B)\) et \(f\left(f^{-1}(B)\right)\). (1 point)
3. Prouver que l’injectivité de \(g \circ f\) entraîne celle de \(f\). De même, établir que la surjectivité de \(g \circ f\) entraîne celle de \(g\). (1 point)
4. Le diagramme sagittal ci-dessous définit deux applications \(f : \{1, 2\} \to \{a, b, c\}\) et \(g : \{a, b, c\} \to \{\alpha, \beta\}\). Vérifier que \(g \circ f\) est bijective, mais que \(f\) ne prend pas toutes les valeurs de son ensemble d’arrivée et que \(g\) prend deux fois la même valeur. Que montre donc cet exemple au sujet des réciproques de la question 3 ? (1 point)

Exercice 5 – Problème : des paraboles comme classes d’équivalence (5 points)

Sur le plan \(\mathbb{R}^2\), on définit la relation \(\sim\) par

\[(x, y) \sim (x^{\prime}, y^{\prime}) \iff y – x^2 = y^{\prime} – x^{\prime 2}.\]

On note \(\mathrm{cl}(x, y)\) la classe d’un couple \((x, y)\) et \(\mathcal{Q}\) l’ensemble de toutes les classes.

1. Démontrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(\mathbb{R}^2\). On pourra introduire l’application \(\theta : (x, y) \mapsto y – x^2\). (1,5 point)
2. Décrire les classes de \((0, 0)\), de \((1, 3)\) et de \((2, 1)\), puis représenter ces trois classes dans un repère. Plus généralement, quelle est la nature géométrique d’une classe ? (1,5 point)
3. Montrer que chaque classe contient un et un seul point de l’axe des ordonnées. Établir ensuite que \(c \mapsto \mathrm{cl}(0, c)\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathcal{Q}\). (1 point)
4. On note cette fois \(\mathcal{R}\) la relation définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : \((x, y)\,\mathcal{R}\,(x_1, y_1)\) lorsque \(\theta(x, y) \leq \theta(x_1, y_1)\). Cette relation est-elle réflexive ? transitive ? Est-ce par conséquent une relation d’ordre sur \(\mathbb{R}^2\) ? (1 point)

Réviser quantificateurs, injections et surjections avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours quantificateurs, raisonnements et rédaction puis ensembles, injections, surjections et relations ; entraînez-vous sur les exercices quantificateurs, raisonnements et rédaction et ensembles, injections, surjections et relations avant de retenter le sujet.

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