Séries de Bertrand et comparaisons : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « séries de Bertrand et comparaisons », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au début du semestre 3 de licence, juste après le cours sur les séries à termes positifs. Vous commencerez par quatre natures obtenues par équivalents ou par négligeabilité. Ensuite, vous établirez la nature des séries de Bertrand dans les cas où l’exposant de n diffère de 1, puis dans un cas limite. La règle de d’Alembert intervient alors sur deux quotients factoriels. Puis un reste de série de Riemann sera encadré par des intégrales, ce qui donne un équivalent du reste. Enfin, le problème étudie la somme partielle d’une série divergente très lente, grâce à la comparaison série-intégrale. Toutes les séries de ce sujet sont à termes positifs.
Ce qu’évalue le contrôle : séries de Bertrand et comparaisons
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Séries positives : Riemann, Bertrand et comparaison (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Déterminer la nature d’une série à termes positifs par équivalent ou par négligeabilité devant une série de Riemann
- Établir la nature des séries de Bertrand selon les valeurs de leurs deux exposants
- Appliquer la règle de d’Alembert en calculant soigneusement la limite du quotient
- Encadrer un reste ou une somme partielle par des intégrales grâce à une fonction décroissante
- Obtenir un équivalent de somme partielle et la convergence d’une suite de type Euler
Avant de commencer le devoir
Avant toute comparaison, vérifiez que le terme général est positif, au moins à partir d’un certain rang, car les équivalents n’ont de valeur que dans ce cadre. Pour un logarithme, comparez à une puissance intermédiaire de n plutôt qu’à n elle-même. Dans les encadrements par des intégrales, faites d’abord un dessin des rectangles : il indique le sens de chaque inégalité. Enfin, précisez toujours les bornes des sommes, car un décalage d’indice fausse vite un reste.
Le sujet du contrôle : séries de Bertrand et comparaisons
Exercice 1 – Quatre natures par comparaison (4 points)
Déterminer la nature de chacune des séries suivantes, de premier terme d’indice \(n = 1\), en justifiant la positivité puis la comparaison utilisée.
- \(\displaystyle \sum \frac{2n + 5}{n^3 – n + 4}\)
- \(\displaystyle \sum \left(1 – \cos\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right)\)
- \(\displaystyle \sum n^2\,\mathrm{e}^{-\sqrt{n}}\)
- \(\displaystyle \sum \frac{\ln n}{n\sqrt{n}}\)
Exercice 2 – Les séries de Bertrand (4 points)
Pour des réels \(\alpha\) et \(\beta\), on étudie la série de terme général \(b_n = \frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}}\), pour \(n \geq 2\). Ce terme est strictement positif.
- On suppose \(\alpha > 1\). En posant \(\gamma = \frac{1 + \alpha}{2}\), montrer que \(b_n = o\left(\frac{1}{n^{\gamma}}\right)\), puis conclure quel que soit \(\beta\).
- On suppose maintenant \(\alpha < 1\). Étudier la limite de \(n\,b_n\) et en déduire la nature de la série.
- Enfin, soit \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\). Justifier que \(t \mapsto \frac{1}{t(\ln t)^{\beta}}\) décroît sur \(\left]1, +\infty\right[\), puis majorer les sommes partielles par une intégrale et conclure.
Exercice 3 – Deux quotients de d’Alembert (3 points)
Dans cet exercice, \(n \geq 1\) et les termes sont strictement positifs.
- Déterminer la nature de la série de terme général \(v_n = \frac{2^n\,n!}{n^n}\).
- De même, déterminer la nature de la série de terme général \(w_n = \frac{1}{7^n}\binom{3n}{n}\).
Exercice 4 – Reste d’une série de Riemann (3 points)
La série \(\sum \frac{1}{k^3}\) converge ; on note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^3}\) son reste d’ordre \(n \geq 1\). La figure compare la courbe de \(t \mapsto \frac{1}{t^3}\) à des rectangles de largeur 1.
- Établir l’encadrement \(\frac{1}{2(n + 1)^2} \leq R_n \leq \frac{1}{2n^2}\).
- En déduire un équivalent simple de \(R_n\).
- À partir de quel rang l’encadrement garantit-il que la somme partielle approche la somme de la série à \(10^{-4}\) près ? Montrer aussi que \(R_{69} > 10^{-4}\).
Exercice 5 – Problème : la série de terme 1/(k ln k) (6 points)
On pose \(f(t) = \frac{1}{t\ln t}\) pour \(t > 1\) et, pour tout entier \(n \geq 2\), \(S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k\ln k}\). La figure représente \(f\) et les points de coordonnées \((k, f(k))\).
- Justifier que \(f\) est décroissante sur \(\left]1, +\infty\right[\) et en donner une primitive. Établir ensuite, pour \(n \geq 2\), l’encadrement \[\ln\ln(n + 1) – \ln\ln 2 \leq S_n \leq \frac{1}{2\ln 2} + \ln\ln n – \ln\ln 2.\]
- En déduire la nature de la série \(\sum \frac{1}{k\ln k}\), puis montrer que \(S_n \sim \ln\ln n\).
- On pose \(a_n = S_n – \ln\ln n\) pour \(n \geq 2\). Montrer que la suite \((a_n)\) est décroissante et minorée, puis qu’elle converge.
- Quelle est enfin la nature de la série \(\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n\,S_n^2}\) ? On pourra comparer \((\ln\ln n)^2\) à \(\ln n\).
Réviser séries de Bertrand et comparaisons avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours séries positives ; entraînez-vous sur les exercices séries positives avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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