Puissances de matrices et suites récurrentes : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « puissances de matrices et suites récurrentes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au milieu du semestre 3 de licence, juste après le chapitre sur la réduction des endomorphismes. Vous calculerez d’abord un polynôme caractéristique et les vecteurs propres associés. Ensuite, une famille de matrices dépendant d’un paramètre vous fera comparer la multiplicité d’une valeur propre à la dimension du sous-espace propre. Le troisième exercice exige la matrice de passage, son inverse, puis le calcul explicite de \(A^n\). Une figure vous permettra aussi de retrouver une matrice à partir de ses directions propres. Enfin, le problème ramène deux suites récurrentes couplées à une puissance de matrice, afin d’obtenir leur terme général et leur comportement asymptotique.
Ce qu’évalue le contrôle : puissances de matrices et suites récurrentes
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Diagonaliser une matrice et applications (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer le polynôme caractéristique, le spectre et les sous-espaces propres d’une matrice carrée
- Décider de la diagonalisabilité en comparant multiplicité algébrique et dimension du sous-espace propre
- Former la matrice de passage, calculer son inverse et en déduire la puissance n-ième d’une matrice
- Reconstituer une matrice à partir de ses éléments propres lus sur une figure
- Exprimer le terme général de deux suites récurrentes couplées grâce à la réduction
Avant de commencer le devoir
Commencez par le polynôme caractéristique, puis vérifiez vos valeurs propres avec la trace et le déterminant : leur somme et leur produit doivent coïncider. Quand vous inversez une matrice de passage, contrôlez ensuite que le produit \(PP^{-1}\) redonne bien l’identité. De plus, testez toujours votre formule de \(A^n\) pour \(n = 0\) et \(n = 1\), car une erreur de signe y apparaît aussitôt. Dans le problème, écrivez enfin le système sous la forme \(X_{n+1} = TX_n\) avant tout calcul.
Le sujet du contrôle : puissances de matrices et suites récurrentes
Exercice 1 – Éléments propres d’une matrice 2×2 (3 points)
On considère la matrice réelle \(A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).
- Calculer le polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = \det(XI_2 – A)\), puis en déduire le spectre de \(A\).
- Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres de \(A\).
- Justifier que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Exercice 2 – Une famille de matrices triangulaires (4 points)
Pour tout réel \(a\), on pose \(M_a = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\).
- Donner le polynôme caractéristique de \(M_a\), son spectre et la multiplicité algébrique de chaque valeur propre.
- Selon la valeur de \(a\), calculer la dimension du sous-espace propre \(E_2(M_a)\).
- En déduire les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(M_a\) est diagonalisable. Dans ce cas, donner alors une base de \(\mathbb{R}^3\) formée de vecteurs propres.
Exercice 3 – Puissances par diagonalisation (5 points)
On reprend la matrice \(A\) de l’exercice 1 et on note \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).
- Former une matrice inversible \(P\) telle que \(A = PDP^{-1}\), puis calculer \(P^{-1}\) et vérifier le produit \(PP^{-1}\).
- Montrer par récurrence que \(A^n = PD^nP^{-1}\) pour tout entier naturel \(n\).
- En déduire les quatre coefficients de \(A^n\) en fonction de \(n\), puis contrôler le résultat pour \(n = 1\).
- Déterminer enfin la limite de la matrice \(3^{-n}A^n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 4 – Une matrice lue sur une figure (2 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la figure représente deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), ainsi que leurs images par l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) canoniquement associé à une matrice \(M\). Les extrémités des flèches sont des points du quadrillage.
- Lire les coordonnées de \(f(\vec{u})\) et de \(f(\vec{v})\), puis en déduire deux valeurs propres de \(M\) et des vecteurs propres associés.
- Calculer la matrice \(M\) à l’aide d’une matrice de passage.
- Vérifier que \(M^2 = M + 2I_2\).
Exercice 5 – Problème : deux suites liées (6 points)
Un programme met à jour, à chaque étape, deux compteurs entiers \(u_n\) et \(v_n\). Le schéma indique comment les valeurs de l’étape \(n + 1\) se calculent à partir de celles de l’étape \(n\) : chaque flèche porte le coefficient multiplicateur, puis les contributions arrivant sur un même compteur s’ajoutent. Au départ, \(u_0 = 4\) et \(v_0 = 0\).
- Écrire les relations de récurrence, puis une matrice \(T\) telle que \(X_{n+1} = TX_n\), où \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\). Justifier ensuite que \(X_n = T^nX_0\).
- Déterminer les valeurs propres de \(T\) et une base de chaque sous-espace propre.
- Donner une matrice de passage \(Q\) qui diagonalise \(T\), ainsi que son inverse.
- Calculer \(T^n\) pour tout entier naturel \(n\).
- En déduire \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).
- Montrer que \(v_n\) est un multiple de 4 pour tout entier \(n\).
- Déterminer la limite de \(\frac{u_n}{v_n}\) pour \(n \geq 1\), puis un équivalent simple de \(u_n\).
Réviser puissances de matrices et suites récurrentes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours diagonaliser une matrice et applications ; entraînez-vous sur les exercices diagonaliser une matrice et applications avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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