Points critiques et points selles : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « points critiques et points selles », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les extrema libres des fonctions de deux variables, étudiés au semestre 3 de la licence. Vous calculerez d’abord des dérivées partielles secondes, puis vous vérifierez le théorème de Schwarz sur un exemple. Ensuite, vous classerez les points critiques d’un polynôme grâce à la matrice hessienne, et vous confirmerez la présence d’un point selle par deux restrictions. Le troisième exercice montre qu’une hessienne dégénérée ne permet pas de conclure. Vous démontrerez aussi la condition suffisante d’ordre 2. Enfin, le problème cherche le maximum et le minimum d’une température sur une plaque triangulaire, donc sur un compact.
Ce qu’évalue le contrôle : points critiques et points selles
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Hessienne, Taylor à l’ordre 2 et extrema libres (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer les dérivées partielles secondes d’une fonction et vérifier la conclusion du théorème de Schwarz
- Trouver les points critiques d’une fonction polynomiale de deux variables et conclure sur leur nature par la hessienne
- Prouver qu’un point critique est un point selle à l’aide de deux restrictions à des courbes
- Démontrer la condition suffisante d’ordre 2 à partir de la formule de Taylor-Young
- Déterminer les extrema globaux d’une fonction continue sur un compact du plan
Avant de commencer le devoir
Résolvez le système des dérivées partielles avec soin, car un point critique oublié fausse tout l’exercice. Pour la nature d’un point, calculez le déterminant et la trace de la hessienne avant de conclure. Quand ce déterminant est nul, revenez à la fonction elle-même : une identité remarquable ou une restriction à une courbe tranche alors la question. Sur un compact, enfin, examinez chaque bord séparément, puis comparez toutes les valeurs obtenues.
Le sujet du contrôle : points critiques et points selles
Exercice 1 – Dérivées secondes et théorème de Schwarz (3 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = x^2 \sin y + y^3 \mathrm{e}^{x}\).
- Calculer les deux dérivées partielles premières de \(f\), puis ses quatre dérivées partielles secondes.
- Énoncer le théorème de Schwarz. Expliquer ensuite pourquoi ses hypothèses sont remplies ici, et vérifier sa conclusion sur les calculs précédents.
- Écrire la matrice hessienne de \(f\) au point \((1, 0)\). Le point \((1, 0)\) est-il critique ? Donner alors le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 de \(f(1 + h, k)\) quand \((h, k)\) tend vers \((0, 0)\).
Exercice 2 – Deux points critiques de natures opposées (5 points)
On étudie la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(g(x, y) = x^3 + 3y^2 – 6xy + 1\). La figure donne quelques lignes de niveau de \(g\) ; la ligne de niveau 1, en orange, passe par l’origine \(O\).
- Déterminer tout d’abord les points critiques de \(g\).
- Calculer la hessienne de \(g\) en chacun de ces points, puis en déduire leur nature.
- Sans utiliser la hessienne, étudier les fonctions \(y \mapsto g(0, y)\) et \(t \mapsto g(t, t)\) au voisinage de \(0\). Retrouver ainsi la nature de l’origine.
- L’extremum local trouvé à la question 2 est-il global ? Justifier par le calcul de \(g(x, 0)\).
Exercice 3 – Une hessienne qui ne conclut pas (3 points)
Pour un réel \(a\), on définit sur \(\mathbb{R}^2\) la fonction \(h_a(x, y) = x^2 + 2a\,x y^2 + y^4\).
- Vérifier que \((0, 0)\) est un point critique de \(h_a\), puis calculer la hessienne de \(h_a\) en ce point. Pourquoi ne permet-elle pas de conclure ?
- Établir l’identité \(h_a(x, y) = \left(x + a y^2\right)^2 + \left(1 – a^2\right) y^4\).
- On suppose \(|a| < 1\). Montrer que \(h_a\) admet en \((0, 0)\) un minimum global strict.
- On suppose maintenant \(|a| > 1\). En évaluant \(h_a\) sur l’axe des abscisses, puis aux points \(\left(-a y^2, y\right)\), prouver que l’origine est un point selle.
- Que se passe-t-il enfin lorsque \(|a| = 1\) ?
Exercice 4 – Preuve de la condition d’ordre 2 (3 points)
Soient \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), une fonction \(F : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^2\) et un point critique \(p\) de \(F\). Notons \(H\) la hessienne de \(F\) en \(p\), puis \(\lambda_1 \leq \lambda_2\) ses valeurs propres. Pour \(v \in \mathbb{R}^2\), on note \(\|v\|\) sa norme euclidienne et \(q(v) = v^{T} H v\).
- Justifier que \(H\) est diagonalisable dans une base orthonormée. En déduire que \(\lambda_1 \|v\|^2 \leq q(v) \leq \lambda_2 \|v\|^2\) pour tout vecteur \(v\).
- On suppose \(\lambda_1 > 0\). À l’aide de la formule de Taylor-Young à l’ordre 2, montrer que \(F\) admet en \(p\) un minimum local strict.
- On suppose maintenant \(\det H < 0\). Montrer que \(p\) est un point selle, en considérant \(F\) le long de deux droites dirigées par des vecteurs propres.
Exercice 5 – Problème : température sur une plaque triangulaire (6 points)
Une fine plaque métallique occupe le triangle plein \(K\) de sommets \(O(0\,;0)\), \(A(4\,;0)\) et \(B(0\,;4)\), représenté ci-dessous. En régime stationnaire, sa température au point \((x, y)\), en degrés, vaut \(T(x, y) = x^2 – xy + y^2 – 3x\). Un technicien veut donc repérer le point le plus chaud et le point le plus froid de la plaque.
- Décrire \(K\) par des inégalités, puis justifier que \(T\) atteint sur \(K\) un maximum et un minimum.
- Déterminer les points critiques de \(T\) situés à l’intérieur de \(K\), ainsi que leur nature.
- Étudier \(T\) sur chacun des trois côtés du triangle, en donnant ses valeurs extrêmes sur chaque côté.
- En déduire la température maximale et la température minimale de la plaque, ainsi que les points où elles sont atteintes.
- Vérifier que \(T(x, y) + 3 = (x – 2)^2 – (x – 2)(y – 1) + (y – 1)^2\). Le minimum trouvé est-il aussi le minimum de \(T\) sur \(\mathbb{R}^2\) tout entier ?
Réviser points critiques et points selles avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours hessienne, taylor à l’ordre 2 et extrema libres ; entraînez-vous sur les exercices hessienne, taylor à l’ordre 2 et extrema libres avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «points critiques et points selles : contrôle de maths en L2» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
