Matrices symétriques et isométries : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « matrices symétriques et isométries », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au semestre 4, juste après le cours sur les isométries et le théorème spectral. D’abord, une question de cours vous fait manipuler l’adjoint d’un endomorphisme. Ensuite, vous classez deux isométries de l’espace : une rotation, dont il faut trouver la droite fixe et le sens, puis une réflexion. Le troisième exercice demande une diagonalisation en base orthonormée d’une matrice symétrique d’ordre 3. Une famille de matrices tridiagonales teste ensuite la notion de matrice définie positive. Enfin, le problème construit la racine carrée d’une matrice positive, puis la décomposition polaire, avec une illustration dans le plan. Les formes quadratiques restent hors du sujet.
Ce qu’évalue le contrôle : matrices symétriques et isométries
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Isométries et endomorphismes symétriques (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Établir les propriétés de l’adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien
- Retrouver, à partir de sa matrice, la droite fixe d’une rotation de R3 puis le signe de son angle
- Reconnaître une réflexion et préciser son plan à partir de sa matrice
- Diagonaliser une matrice symétrique réelle dans une base orthonormée de vecteurs propres
- Caractériser une matrice définie positive par son spectre et construire une décomposition polaire
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul sur une matrice d’ordre 3, vérifiez la propriété demandée par un test rapide : produit scalaire des colonnes, trace ou image d’un vecteur simple. Pour l’angle de la rotation, la trace donne seulement le cosinus ; c’est pourquoi le signe d’un déterminant doit fixer l’orientation. Ensuite, dans le problème, l’unicité de la racine carrée repose sur une idée clé : un endomorphisme qui commute avec \(S\) laisse stables ses sous-espaces propres. Enfin, relisez chaque vecteur propre trouvé en calculant son image.
Le sujet du contrôle : matrices symétriques et isométries
Exercice 1 – Question de cours sur l’adjoint (3 points)
Dans tout l’exercice, \(E\) désigne un espace euclidien de dimension \(n \geq 1\), dont le produit scalaire se note \((x \mid y)\), et \(u\) un endomorphisme de \(E\).
- Énoncer la définition de l’adjoint \(u^{*}\) de \(u\). Montrer ensuite son existence et son unicité à l’aide d’une base orthonormée \(\mathcal{B}\) de \(E\), en précisant la matrice de \(u^{*}\) dans \(\mathcal{B}\).
- Prouver l’égalité \(\ker(u^{*}) = (\mathrm{Im}\, u)^{\perp}\), puis en déduire que \(u\) et \(u^{*}\) ont le même rang.
- Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(u\). Démontrer que \(F^{\perp}\) est alors stable par \(u^{*}\).
Exercice 2 – Une rotation et une réflexion de l’espace (4,5 points)
On travaille dans \(\mathbb{R}^3\) avec le produit scalaire usuel, et l’orientation fixée par la base canonique. Voici deux matrices réelles d’ordre 3 :
\[A = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & -4 \\ -4 & 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \frac{1}{49}\begin{pmatrix} 41 & -12 & -24 \\ -12 & 31 & -36 \\ -24 & -36 & -23 \end{pmatrix}.\]
On note \(u\) et \(v\) les endomorphismes de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associés à \(A\) et à \(B\). La figure rappelle la situation d’une rotation \(u\) d’axe \(D\) dirigé et orienté par un vecteur \(a\) : tout vecteur \(x\) du plan \(P = D^{\perp}\) tourne de l’angle \(\theta\) dans ce plan.
- Montrer que \(A\) appartient à \(\mathrm{O}_3(\mathbb{R})\), puis calculer \(\det A\).
- Déterminer l’axe \(D\) de la rotation \(u\).
- Orienter \(D\) par le vecteur \(a = (2, 2, 1)\) et déterminer l’angle \(\theta\) de \(u\), en justifiant son signe.
- Vérifier que \(B\) est symétrique et que \(B\,n = -n\) pour \(n = (2, 3, 6)\). Sachant que \(B\) est orthogonale, identifier alors la nature géométrique de \(v\) et donner une équation de son plan.
Exercice 3 – Diagonalisation orthogonale (4 points)
On considère la matrice symétrique réelle
\[S = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.\]
- Sans aucun calcul, expliquer pourquoi \(S\) se diagonalise dans une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\).
- Calculer \(S\,w_1\) et \(S\,w_2\) pour \(w_1 = (2, 1, 1)\) et \(w_2 = (0, 1, -1)\). En déduire deux valeurs propres de \(S\), puis la troisième grâce à la trace.
- Expliciter \(P \in \mathrm{O}_3(\mathbb{R})\) et \(D\) diagonale vérifiant \(S = P D P^{\top}\).
- Montrer que \(S\) est définie positive. Déterminer ensuite la plus petite valeur de \(\langle S x, x \rangle\) lorsque \(x\) parcourt les vecteurs unitaires de \(\mathbb{R}^3\), ainsi qu’un vecteur qui la réalise.
Exercice 4 – Une famille de matrices tridiagonales (3 points)
Rappel : une matrice réelle \(M\), carrée d’ordre \(n\) et égale à sa transposée, sera dite définie positive quand \(X^{\top} M X > 0\) pour toute colonne \(X\) non nulle.
- Soit \(M\) une telle matrice symétrique réelle. Démontrer l’équivalence entre les deux propriétés suivantes : \(M\) est définie positive ; le spectre de \(M\) est inclus dans \(]0, +\infty[\).
- Pour tout réel \(a\), on pose
\[T_a = \begin{pmatrix} 3 & a & 0 \\ a & 3 & a \\ 0 & a & 3 \end{pmatrix}.\]
Calculer les valeurs propres de \(T_a\), puis déterminer l’ensemble des réels \(a\) pour lesquels \(T_a\) est définie positive.
Exercice 5 – Problème : racine carrée et décomposition polaire (5,5 points)
Dans ce problème, \(\mathcal{P}_n\) désigne l’ensemble des matrices réelles symétriques d’ordre \(n\) vérifiant \(X^{\top} M X \geq 0\) pour toute colonne \(X\), et \(\mathcal{P}_n^{*}\) la partie de \(\mathcal{P}_n\) formée des matrices définies positives.
Partie A : racine carrée d’une matrice positive
On fixe \(S\) dans \(\mathcal{P}_n\).
- Prouver l’existence d’une matrice \(R\) de \(\mathcal{P}_n\) dont le carré vaut \(S\).
- Soit \(R\) une telle matrice. Vérifier d’abord que \(R\) commute avec \(S\). Puis, pour chaque valeur propre \(\lambda\) de \(S\), montrer que \(R\) induit sur \(E_{\lambda}(S)\) l’homothétie de rapport \(\sqrt{\lambda}\). Conclure à l’unicité de \(R\).
Partie B : décomposition polaire
Soit \(M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\).
- Montrer que \(M^{\top} M\) appartient à \(\mathcal{P}_n^{*}\). On note \(S\) sa racine carrée positive : justifier que \(S\) est inversible, puis que \(O = M S^{-1}\) est orthogonale.
Partie C : un exemple dans le plan
On prend \(n = 2\) et \(M = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}\). La figure montre le cercle unité \(\mathcal{C}\) et son image \(M(\mathcal{C})\), qui est une ellipse.
- Calculer \(M^{\top} M\), la diagonaliser en base orthonormée, puis en déduire sa racine carrée positive \(S\).
- Calculer \(O = M S^{-1}\) et reconnaître l’isométrie associée. Expliquer alors pourquoi les demi-axes de l’ellipse \(M(\mathcal{C})\) mesurent 15 et 5.
Réviser matrices symétriques et isométries avant le contrôle
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Sujets proches à faire ensuite
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